Pogresii geometrice

1.DEFINITIA PROGRESIEI GEOMETRICE

Fie un sir (Bn) n>=1 , B <>0

Spunem ca termenii sirului (Bn) sunt in progresie geometrica daca fiecare termen incepand cu al doilea se obtine din precedentul inmultit cu un numar constant q >0, numit ratie.

Bn = Bn-1 *q

2.NOTATIE :-: (Bn) n>=1

3.PROPRIETATI

P1: Daca avem " n " termeni ai unei progresii geometrice atunci Bn este egal cu primul termen ori q la o putere de cati termeni sunt inaintea lui.

Bn = B *q(la puterea n-1)

P2: Daca B , B , . , Bn sunt " n " termeni ai unei progresii geometrice atunci produsul termenilor egali departati de extreme este egal cu produsul extremelor.

B *Bn = B *Bn-1 = . = Bi*Bn-i+1

P3: Daca Bk-1, Bk, Bk+1 sunt trei termeni consecutivi pozitivi ai unei progresii geometrice atunci cel din mijloc este media geometrica al celorlalti doi.

Bk(la puterea 2) = Bk-1*Bk+1

R3: Daca 3 termeni consecutivi ai unui sir de numere pozitive verifica relatia cel di mijloc este media geometrica a celorlalti doi atunci siruleste o progresie geometrica.

P4: Suma primilor " n " termeni consecutivi ai unei progresii geometrice este :

Sn = B * q(la puterea n)-1/q-1

4.APLICATII

26(pag.73). Sa se scrie primii cinci termeni ai progresiei geometrice (Bn) daca :

a)     B = 6 , q = 2

B = B *q = 12

B = B *q = 24

B = B *q = 48

B = B *q = 96

b) B = -10 , q = 1/2

B = B /q = -20

B = B *q = -5

B = B *q = -5/2

B = B *q = -5/4

27(pag.73). Sa se gaseasca primi doi termeni ai progresiei geometrice (Yn) , data astfel :

a)     Y , Y

36 = 24*q => q = 36/24 = 3/2

24 = Y *q => 24 = Y *3/2 => Y

16 = Y *q => 16 = Y *3/2 => Y

b)    Y , Y

-135 = 225*q => q = -135/225 = -9/17

225 = Y *q => 225 = Y *-9/17 => Y

-425 = Y *-9/17 => Y

28(pag.784). Daca se cunosc doi termeni ai unei progresii geometrice (Bn

a)     B = 6 , B = 24 , sa se gaseasca B , B , B

B = B *q(la puterea 2)

B = B *q(la puterea 4)

=> 6/24 = q(la puterea -2) => q = 2

B = B *q(la puterea 2) => B

=> B = B *q(la puterea 6) = 3/2*64 = 96

=> B = B *q(la puterea 8) = 3/2*256 = 384

=>B = B *q(la puterea 9) = 3/2*512 = 768

30(pag.74). Sa se scrie formula termenului al n-lea al progresiei geometrice date prin :

a)     B

Bn+1 = 3*Bn

Bn = B *q(la puterea n-1) = 2*q(la puterea n-1)

Bn+1 = Bn*q => 3*Bn = Bn*q => q = 3

ð         Bn = 2/3*3(la puterea n)

Rezolvati ecuatia : 1+X+X²+.+X¹ºº = 0

Sn = 1*(1- X¹º¹)/(1- X)

X <>0 => X<>1

=> 1- X¹º¹ = 0 => X¹º¹ = 1 => X¹º¹ = cos0 +i*sin0

=> Xk = ¹º¹ cos0 + i*sin0 = cos2k /101 + i*sin2k

k=0 => X=1 (nu convine)

k=1 => X=cos2 /101 + i*sin2

k=100 => X=cos200 /101 + i*sin200

Intr-o progresie geometrica avem S = 40, S = 60. Sa se gaseasca S

S = B *(q³-1)/(q-1)

S = B *(q -1)/(q-1)

=> S /S = (q³-1)/(q -1)= 2/3

=> 3*q³-3 = 2*q -2

=> 2*q +3*q³-1= 0[G1] 

Notam: q³ = y

=> 2*y²-3*y+1= 0

= 1 => y =2, y

=> q³=1 => q=1(nu convine)

=> q³=2 => q=³

=> S = B *(q³-1)/(q-1)= 40 => B =40(³

=>S = B1*(q -1)/(q-1) = 280

Sa se determine x astfel incat numerele a+x, b+x, c+x sa fie in progresie geometrica.

(b+x)² = (a+x)*(c+x)

b² + 2bx + x² = ac +ax +cx +x²

b²-ac = x( a+c-2b)

=> x =(b²-ac)/(a+c-2b)

Gasiti primul termen si ratia intr-o progresie geometrica daca:

A + A

A - A + A

A *q³ + A =7/16 => A (q³ + 1)=7/16

A q² -A *q +A =7/8 => A (q² -q +1)=7/8

=> (q³+1)/(q² -q +1)=1/2 => q+1=1/2 => q= -1/2

=> A (-1/8 +1) =7/16 => A