Aplicatii la ecuatii integrale

Aplicatii la ecuatii integrale

1. Vom considera ecuatia integrala

in ipoteza ca nucleul este continut in patratul Daca termenul integral este privit ca operator liniar in spatiul atunci ecuatia (1) este de tipul ecuatiilor studiate in paragrafele anterioare.

Am putea considera ecuatii integrale mai generale decat (1) si anume

unde T este o multime inchissa arbitrar in spatiul euclidian n dimensional Dar tot ce va fi demonstrat pentru ecuatia (1) poate fi generalizat la ecuatia fara nici o schimbare esentiala a demonstratiilor ; avand in vedere acest fapt vom considera cazul simplu reprezentat de (1)

Operatorul integral U

considerat ca operator din are norma

si este compact (IX.2.1.)

Scriem ecuatia (1) sub forma

Solutia a acestei ecuatii, se exprima in functie de y prin formula

si conform teoremei 4.1. poate fi dezvoltata in serie de puteri

convergenta pentru orice

unde

iar r este distanta de la punctul la multimea caracteristica a operatorului U . In acest caz seria (4) este convergenta pentru

Dupa cum s-a aratat in V.3.8. puterile operatorului U sunt de asemenea operatori integrali. Anume

unde sunt nuclee iterate

Inlocuind (5) in (4) obsinem dezvoltarea in serie dupa puterile parametrului a solutiei ecuatiei integrale (1)

Seria este uniforma convergenta in raport cu

Intrucat seria

.. (6)

converge in spatiul operatorilor din

Ca urmare pentru orice fixat , seria

    (7)

converge in spatiul uniform in raport cu . Suma acestei serii, functia se numeste rezolventa ecuatiei integrale(1). Este limpede ca

si ca urmare a formulei (4) poate fi scrisa sub forma

Daca conform teoremei 1.3. sirul de aproximatii succesive pentru ecuatia (3) converge ceea ce aplicat la ecuatia integrala (1) conduce la urmatorul rezultat : pentru valorile indicate ale lui solutia ecuatiei (1) poate fi obtinuta ca limita unui sir uniform convergent de functii continue definite prin formula de recurenta

unde este o functie continua arbitrara.

2. Daca nucleul se anuleaza pentru atunci ecuatia (1) poate fi scrisa sub forma

Ecuatiile de acest tip se numesc ecuatii integrale Volterra.

Este usor de verificat ca nucleele iterate ale ecuatiei Volterra de asemenea se anuleaza pentru

Presupunand ca nucleul este continuu pentru vom demonstra ca dezvoltarea (4) este adevarata pentru orice complex adica

Intradevar pentru marginirea este trivial satisfacuta si daca (9) este adevarata pentru atunci

de unde

Rezulta in acest mod ca si ca un operator integral de tip Volterra nu are valori caracteristice.

3. Vom demonstra din nou ecuatia (1). Deoarece operatorul (2) este compact pentru ecuatia (3) este adevarata alternativa Fredholm. Aceasta conduce la urmatorul rezultat privind ecuatia (1)

Teorema 1. Sau ecuatia (1) are solutia continua oricare ar fi functia continua sau ecuatia

are un numar infinit de solutii liniar independente In aceaste conditii ecuatia

are de asemenea n solutii continue liniar independente In acest caz ecuatia (1) are solutie daca si numai daca

Valorile pentru care ecuatia (10) admite solutii nenule se numesc valori caracteristice ale ecuatiei (1) sau ale nucleului Astfel spus valorile caracteristice ale ecuatiei (1) nu sunt altceva decat valori caracteristice ale operatorului U . Ca urmare pentru cea mai mica in modul valoare caracteristica a ecuatiei integrale este adevarata estimarea

Utilizand dependenta de a solutiei ecuatiei 3 pe baza teoremei 4.5. obtinem urmatorul rezultat.

Teorema 2. Intr-o vecinatate a unei valori caracteristice solutia ecuatiei (1) poate fi reprezentata sub forma

unde sunt functii ce depind numai de y. Seria din membrul drept converge uniform in raport cu

In acest mod este pentru orice valoare fixa a lui s o funcsie meromorfa decu poli in valorile caracteristice

4. Vom considera spatiul este un domeniu marginit in spatiul n dimensional si ecuatia integrala

Presupunem ca nucleul satisface conditiile teoremei adica

Atunci conform teoremei amintite mai sus, operatorul intergal U cu nucleul este un operator compact din si ca urmare a ecuatiei (11) I se aplica toate cele afirmate la relativ la ecuatia (1). In particular daca nucleul este de tip potential adica

unde este o functie marginita, continua pentru atunci conditiile enumerate mai sus sunt indeplinite.

Daca in plus este o functie continua si

atunci conform teoremei XI.3.7. operatorul U aplica astfel ca in acest caz seriile de puteri care reprezinta solutia in vecinatatea valorilor caracteristice sau vecinatatea originii converg uniform.

Formularea detaliata este lasata pe seama cititorului.