Schema lui Pascal (binomiala cu exponent negativ) - Probabilitati

Schema lui Pascal (binomiala cu exponent negativ)

Sa consideram ca un experimant se repeta in aceleasi conditii, repetarile fiind independente. La fiecare repetare se urmeste aparitia aceluiasi eveniment, care apare cu aceeasi probabilitate. Vrem sa determinam probabilitatea ca pana la cea de-a a aparitie a evenimentului considerat, sa se fi obtinut contrarul evenimentului de ori.

Modelul probabilistic se realizeaza printr-o urna ce contine bile de doua culori, albe si negre. Se extrag bile din urna, una cate una, cu intoarcerea bilei extrase in urna, dupa ce s-a constatat culoarea ei. Vom spune ca avem succes cand se obtine bila de culoare alba, respectiv insucces cand se obtine bila de culoare neagra. La fiecare extragere succesul apare cu probabilitatea p, iar insuccesul cu probabilitatea

Vrem sa determinam probabilitatea ca la aparitia celui de-al lea succes, sa fi obtinut k insuccese.

Daca notam prin evenimentul ca pana la aparitia celui de-al lea succes sa fi obtinut k insuccese, atunci S-a notat prin evenimantul ca la primele extrageri sa se obtina succese, iar prin se noteaza evenimentul ca la extragerea de rang sa se obtina succes.

Deoarece bila extrasa, de fiecare data, se reintroduce in urna, avem ca evenimentele si sunt independente, prin urmare se poate scrie .

Evident ca iar cealalta probabilitate se calculeaza cu schema lui Bernoulli cu bila intoarsa, adica Prin urmare, probabilitatea , ce vrem sa o calculam este data prin formula

sau avand in vedere proprietatea de complementaritate a numarului combinarilor, se obtine ca

Observatia 2.13. Probabilitatea se obtine ca fiind coeficientul lui din seria de puteri

deci din seria binomiala. De aici si denumirea de schema binomiala cu exponent negativ pentru aceasta schema de probabilitate.

Observatia 2.14 Daca adica daca se cere probabilitatea ca pana la aparitia primului succes sa se fi obtinut insuccese, se obtine ca

In acest caz particular, se obtine ceea ce se numeste schema geometrica, deoarece probabilitatea este coeficientul lui din seria geometrica

Exemplul 2.15. Dintr-un studiu statistic efectuat la un magazin de produse cosmetice se cunoaste ca un client care intra in magazin devine cumparator cu probabilitatea . Vrem sa calculam probabilitatea evenimentelor : ca pana la primul cumparator in magazin sa fi intrat 5 clienti, respectiv ca pana la al treilea cumparator in magazin sa fi intrat 7 clienti.

Probabilitatile pentru cele doua evenimente se calculeaza cu schema geometrica si respectiv cu schema lui Pascal. Deoarece , avem ca . Astfel, se obtine ca

si