STATICA PUNCTULUI MATERIAL

2. Reducerea sistemelor de forte concurente

Se considera un punct material de masa m actionat de fortele F₁ . F _n (fig. 2.1). Fortele care actioneaza asupra unui punct material de masa m sunt forte concurente.

Forta este un vector legat .

Problema care se pune este de a reduce acest sistem

de forte .

Fig. 2.1

A reduce un sistem de forte inseamna a-l inlocui cu un sistem mai simplu care sa fie echivalent cu sistemul dat .

Metode de rezolvare : a) grafica - paralelogramului

- triunghiului

- poligonului

b) analitica

a) Metoda grafica (fig. 2.2)

reg. paralelogramului reg. triunghiului reg. poligonului

R=F₁+F₂

Fig. 2.2

b) Metoda analitica (fig. 2.3)

Se considera un triedru de referinta triortogonal

drept xOyz si punctul material de masa m situat

in centrul O actionat de fortele concurente F_i .

F_i face cu axele x , y , z unghiurile a_i , b_i , g_i .

Fig. 2.3

Tipuri de probleme :

b₁) Date : Fi a_i , b _i, g_i

Se cer : X_i, Y_i, Z_i

X_i = F_i cosa_i

Y_i = F_i cosb_i cos²a_i + cos² b_i + cos² g_i = 1

Z_i = F_i cosg_i

b₂) Date : X_i ,Y_i , Z_i

Se cer : Fi a_i , b _i, g_i

b₃) Caz particular : Forte in plan

(fig. 2.4)

Date : Fi a_i , b _i, =a_i - π/2

Se cer : X_i ,Y_i

Fig. 2.4

2.1. Teorema proiectiilor

Se considera un sistem de forte concurente F₁ .F₂ care actioneaza asupra unui punct material .

Descompunand fortele pe cele trei directii x , y , z putem scrie :

.

(4)

Facand suma relatiilor Þ

(5)

Notam : - vector rezultant ( rezultanta ) (6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Teorema proiectiilor: Proiectia vectorului rezultant pe o axa D este egala cu suma proiectiilor vectorilor componenti pe acea axa .

(11)

Observatie Proiectia unui vector pe o axa este un scalar, proiectia unui vector pe un plan este un vector .

Concluzie : Un sistem de forte concurente care actioneaza asupra unui punct material este echivalent cu o forta unica rezultanta R .

- modul (12)

; ; - directie (13)

Caz particular : forte in plan :

- modul (14)

si - directie (15)

2.2. Cazuri de reducere a fortelor concurente

Aplicatie

Sa se determine rezultanta sistemului de forte reprezentate in fig. 2.5. Fortele F₂ si F₃ sunt continute in planul xOy , F₁ este continuta in planul yOz , iar forta F₄ in planul xOz.

F₁ = 2P

F₂ = F₃ = 4P

F₄ = 6P

Proiectam fortele pe axele de coordonate:

Fig. 2.5

X = P(2√3+2√2+3√2)=P(2√3+5√2)=10,5P (16)

Y=P+2√2P=1,82P (17)

Z=P√3+3√2P=5,95P (18)

(19)

iar cosinusurile directoare sunt:

3. Echilibrul punctului material

3.1. Echilibrul punctului material liber

Punctul material liber este punctul care poate sa ocupe orice pozitie in spatiu (nu are nici o obligatie geometrica).

Pozitia sa la un moment dat este definita prin coordonatele scalare x, y, z, adica prin 3 parametrii independenti, se spune ca punctul material liber are 3 grade de libertate.

Fie un punct material liber oarecare M, a carui pozitie este raportata la un sistem de referinta convenabil ales si sistemul de forte concurente F_i ( i = 1 , 2 . n ) care actioneaza asupra punctului considerat , (fig. 3.1).

Fig. 3.1

Conditia necesara si suficienta ca punctul material liber sa fie in echilibru este ca sistemul de forte sa fie echivalent cu zero .

Deci conditia necesara si suficienta de echilibru se poate scrie:

Rezultanta R a fortelor care actioneaza asupra punctului material proiectata pe axe:

Relatiile (1) si (2) scrise scalar devin:

Probleme posibile :

se dau fortele ; se cere pozitia de echilibru.

se da pozitia de echilibru ; se cer fortele.

se dau partial fortele si partial pozitia de echilibru ; se cer complet fortele care actioneaza asupra punctului material si complet pozitia de echilibru.

Aplicatia 1 :

Date : |G| , |P| , |Q| (fig. 3.2)

Se cer : pozitia de echilibru a si b = ?

Obs: Firele sunt considerate complet flexibile si inextensibile.

(pot fi supuse numai la tensiuni)

Fig. 3.2

Conditia de echilibru vectorial :

(4)

(5)

Alegem un sistem de referinta convenabil xOy .

Relatia (4) proiectata pe axele de coordonate devine

(fig. 3.3) :

Obs .Probleme de statica in care numarul necunoscutelor scalare depaseste numarul ecuatiilor de echilibru si care nu ofera alte relatii suplimentare independente intre aceste necunoscute se numesc probleme static nedeterminate .

3.2. Echilibrul punctului material cu legaturi

Legatura in mecanica este o obligatie geometrica (obligativitatea punctului material de a ramane pe o suprafata, pe o curba sau intr-un punct fix) .

O legatura poate fi inlocuita cu o forta denumita forta de legatura sau reactiune .

Un punct material aflat pe o suprafata are 2 grade de libertate (fig. 3.4)

Fig. 3.4

Un punct material aflat pe o curba are un grad de libertate (fig. 3.5)

Fig. 3.5

Un punct material fixat in spatiu nu are nici un grad de libertate (fig. 3.6)

Fig. 3.6

Axioma legaturii: Orice legatura poate sa fie inlocuita cu o forta de legatura sau un sistem de forte de legatura .

forta de legatura = reactiune (N)

3.2.1. Echilibrul punctului material cu legaturi ideale (fara frecare)

Se numesc legaturi ideale acele legaturi care nu comporta frecari .

Conditia de echilibru - sistemul de forte alcatuit din fortele efectiv aplicate si fortele de legatura sa fie echivalent cu zero .

Σ Fi - fortele efectiv aplicate

N - rezultanta fortelor de legatura

Sub actiunea fortelor efectiv aplicate si a fortelor de legatura, punctul material poate fi considerat punct material liber si echilibrul se poate studia ca la punctul 3. 1.

Legaturi : 1) bilaterale - legatura pe care punctul material nu o poate parasi in nici un sens (fig. 3.7)

2) unilaterale - legatura pe care o poate parasi (fig. 3.8)

1)

cursor bara tor

Fig. 3.7

2)

interior cilindru sfera fir fir

Fig. 3.8

Solutiile care sunt posibile pentru legaturi bilaterale nu sunt posibile pentru legaturi unilaterale .

Aplicatia 2

Date : G , a, (fig. 3.9)

Se cere : F = ? pentru echilibru

Conditia de echilibru :

G + F + N = 0 (11)

Fig. 3.9

Descompusa pe axe relatia (11) devine:

3.2.2. Echilibrul punctului material cu legaturi cu frecare

La considerarea fortelor de legatura ale punctului material rezemat pe o suprafata sau o curba, trebuie sa tinem seama si de componenta tangentiala (T) a acestora denumita forta de frecare de alunecare, care se opune miscarii sau tendintei de miscare a punctului material .

Se considera o suprafata rugoasa pe care se afla un corp de greutate G tras cu o forta orizontala F

(fig. 3.10) .

Fig. 3.10

Se asimileaza corpul cu un punct material si se izoleaza prin introducerea reactiunii normale la plan.

Conditia vectoriala de echilibru este :

G+F+N = 0 (15)

Prin proiectare pe axe relatia (15) devine: (fig. 3.11) Þ

G + N = 0 F = 0 (16)

Fig. 3.11

Experimental se constata ca miscarea nu are loc chiar pentru F ¹ 0 . Aceasta a dus la concluzia ca exista o forta T care se opune miscarii numita forta de frecare la alunecare .

Deci conditia corecta de echilibru este (fig. 3.12) :

G+F+N+T = 0 (17)

R R_t

forte efectiv aplicate forte de legatura

Fig. 3.12

3.2.2.1. Frecarea de alunecare. Legile frecarii ( Coulomb 1779 )

Valoarea maxima a fortei de frecare de alunecare nu depinde de viteza relativa a corpului si de marimea suprafetei de contact cu planul.

Forta de frecare de alunecare maxima este proportionala cu reactiunea normala N .

|Tmax|=μ|N| m - coeficient de frecare adimensional (18)

Proprietatile lui T :

directia ei este tangenta la suprafata sau curba de reazem a punctului material

sensul ei este invers tendintei de alunecare a punctului material

echilibrul se realizeaza pentru valori ale fortei de frecare T £ m N -conditia de echilibru.

Conditia de echilibru pentru un punct material supus la legaturi cu frecare :

3.2.2.2. Unghi de frecare

Se noteaza cu α unghiul dintre N si R_t (fig. 3.13)

La limita T = Tmax si notand α_max = φ =>

Echilibrul se realizeaza pentru T ≤ T_max │: N Fig. 3.13

Conditia a £ j rezida in faptul ca rezultanta fortelor exterioare R = G + F sa faca cu normala in punctul de contact un unghi mai mic decat unghiul de frecare .

Aplicatia 3

Date : G , a , m (fig. 3.14)

Se cere : F = ? pentru echilibru

Cazul 1 (fig. 3.15)

Conditia de echilibru :

G + F + N + T =0 (22) Fig. 3.14

Fig. 3.15

Proiectata pe axe relatia (22) devine (fig. 3.16) :

Cazul 2 (fig. 3.17)

Conditia de echilibru :

G+F+N + T =0 (27)

Fig. 3.17

Proiectata pe axe relatia (27) devine: