Determinarea functiei de gradul al doilea cand se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele varfului, intersectii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Reamintim ca functia de gradul al doilea are forma generala

f : R R,     f(x) = ax² + bx + c, unde numerele reale a, b, c (cu a 0 ) se numesc coeficientii ecuatiei.

A determina o functie de gradul al doilea (sau, in general o functie a carei expresie este polinomiala) inseamna a-i determina coeficientii a, b si c.

Graficul sau G_f este o parabola asezata:

a). cu ramurile in sus (respectiv cu varful in jos ), daca a >

b). cu ramurile in jos (respectiv cu varful in sus ), daca a <

Varful acestei parabole este determinat in functie de coeficientii a, b si c ai ecuatiei. Astfel, avem V, unde D = b - 4ac este discriminantul ecuatiei de gradul al doilea ax² + bx + c = 0 atasata functiei.

Varful parabolei reprezinta si punctul de extrem al functiei. Astfel,

a). daca a > 0, ramurile parabolei sunt indreptate in sus, deci V va fi punct de minim. Se spune ca este minimum-ul functiei f, care se realizeaza pentru x = .

Evident, are loc relatia f = .

b). daca a < 0, V este un punct de maxim. Deci maximum-ul lui f este , care se realizeaza in x=, adica f( ) = .

Din punct de vedere geometric, abscisele punctelor de intersectie ale graficului lui f cu axa Ox sunt radacinile ecuatiei de gradul al doilea atasate (evident, in cazul in care graficul intersecteaza axa absciselor).

Deci:

a). daca D > 0, rezulta ca ecuatia are doua radacini reale si distincte, deci G_f intersecteaza Ox in doua puncte distincte, avand abscisele respectiv , .

b). daca D = 0, avem doua radacini reale si egale, deci graficul lui f intersecteaza Ox intr-un singur punct, avand abscisa . Spunem ca graficul lui f este tangent axei Ox. ( In acest caz, cele doua radacini sunt egale intre ele si egale cu abscisa varfului parabolei ).

c). daca D < 0, graficul lui f nu intersecteaza axa Ox.

Axa de simetrie a parabolei este dreapta perpendiculara pe Ox si care trece prin varful acesteia. Ecuatia ei este: x = .

In general, un punct M( )G_f , unde f este o functie oarecare, daca si numai daca f() = .

Probleme rezolvate

Sa se determine functia de gradul al doilea al carei grafic trece prin punctele A(1,-8), B(-1,-10) si taie axa yy' in C(0,-10).

Rezolvare

Functia este de forma f(x) = ax² + bx + c.

Cele trei puncte apartinand graficului lui f, coordonatele lor verifica ecuatia graficului. Astfel, A(1,-8) G_f f(1) = -8 ,

B(-1,-10) G_f f(-1) = -10,

C(0,-10) G_f f(0) = -10.

Inlocuind in forma functiei, avem:

Rezolvand sistemul, obtinem: a = 1, b = 1, c = -10.

Deci, functia cautata este de forma: f(x) = x² + x - 10.

Sa se determine functia de gradul al doilea al carei grafic are varful V(1,2) si taie axa yy' in punctul M(0,-3).

Rezolvare

Fie f(x) = ax² + bx + c. Vom determina coeficientii. Din faptul ca V(1,2) este varful parabolei si tinand cont de faptul ca V are coordonatele , vom arata ca: =1 si =2.

A treia relatie, adica f(0) = -3 va rezulta din M(0,-3)G_f.

Rezolvand sistemul format de cele trei relatii, obtinem a = -5, b = 10 si c = =-3.

Se da functia f(x) = |ax² - 3x + c|. Daca 0 < a < 2 si c < 0, sa se determine a si c astfel incat f(0) = 4 si f(1 )= 6.

Rezolvare

f(0) = 4 |a0² - 30 + c| = 4 |c| = 4 cI

Dar, cum c < 0, vom avea ca c = -4.

Cum f(1) = 6, avem ca a - 7 = 6, de unde a - 7 I . Deci a - 7 =-6

de unde a = 1 sau a - 7 = 6, de unde a = 13.

Dar a I 2], deci valoarea a = 1 este cea care convine.

Asadar functia cautata este f(x) = x² - 3x - 4

Fie functia f(x) = x² - 6x + 5. Notam cu S aria cuprinsa intre graficul acestei functii si axa Ox. Sa se arate ca 10 < S <

Rezolvare

Calculam punctele in care G_f intersecteaza axa Ox - adica radacinile ecuatiei atasate - si coordonatele varfului parabolei. Obtinem x₁ = 1, x₂ = 5 si

V(3, -4). In continuare, reprezentam grafic functia.

Ideea unei astfel de probleme este sa incadram aria figurii cuprinse intre grafic si axa Ox - adica S - intre doua valori care sa reprezinte ariile unor figuri geometrice cunoscute.

Astfel, se observa usor ca S este mai mica decat aria patrulaterului ABFE, despre care se arata imediat ca este patrat cu latura de 4. Cum aria lui ABFE este 4², rezulta ca S <

Consideram acum trapezul dreptunghic ABDC si triunghiurile dreptunghice CMV si DMV. Exprimam ariile acestora:

A_ABDC =

A_DCMV = A_DMVD = .

Remarcam faptul ca S > A_ABDC    + A_DCMV + A_DMVD = 9 + =10. Deci S >

Determinati functia de gradul al doilea al carei grafic este tangent axei Ox si intersecteaza dreapta y = 2x - 12 in punctele de abscisa 4 si -2.

Rezolvare

Fie f(x) = ax² + bx + c.

G_f Ox = D b² - 4ac = 0.

Calculam intersectia dintre graficul functiei si dreapta y = 2x - 12 rezolvand sistemul:

Radacinile ecuatiei ax² + (b-2)x + c + 12 = 0 sunt chiar abscisele punctelor de intersectie dintre graficul functiei si dreapta y = 2x - 12.

Aplicam relatiile lui Vite:

x₁ + x₂ = - , x_{1 *} x₂ = .

Cum radacinile x₁ si x₂ sunt ( din ipoteza ) 4 si -2, avem:

.

Pentru a determina functia f trebuie rezolvat sistemul:

De unde avem: a = - 1, deci b = 4 si c = - 4 sau a = si b = , c = . Deci f(x) = -x² + 4x - 4 sau f(x) = .

Sa se determine coeficientii reali a si b astfel ca parabola definita de ecuatia y = ax² + + bx - 8 sa taie axa Ox in punctele A si B, cu AB = 6 iar varful parabolei sa aiba abscisa egala cu 1.

Indicatie:

Cum AB = 6, avem ca x₁ - x₂ iar din rezulta ca x₁ + x₂ = 2. Sistemul format de aceste doua ecuatii in x₁ si x₂ se desface in urmatoarele doua sisteme: , care se rezolva.

1.3. Probleme propuse

1.3.1. Sa se determine functia de gradul al doilea stiind ca admite un minim egal cu 9 si graficul functiei trece prin punctele A(- 1, 13) si B(2, 10).

(Vezi partea de teorie unde se defineste minimum-ul functiei de gradul al doilea!)

1.3.2. Sa se determine functia de gradul al doilea f(x) = ax² + bx + c astfel incat graficul acestei functii sa treaca prin punctele A(1,2), B(- 1,6), C(2,3).

1.3.3. Sa se determine o functie de gradul al doilea astfel incat graficul acesteia sa treaca prin punctele A(- 2,20), B(- 1,12) si sa taie axa Ox in punctul C(2,0).

1.3.4. Determinati functia de gradul al doilea al carei grafic sa aiba varful in punctul V(4,-4) si sa taie axa Oy in punctul de abscisa 12.

Indicatie: un punct de pe axa Oy este de forma M(0,α).

1.3.5. Sa se determine functia de gradul al doilea care admite un maxim egal cu 9 si trece prin punctele A(1,-7 ) si B(-1,-27).

1.3.6. Fie functia de gradul al doilea f(x) = x² - 4x + 3. Notam cu S aria cuprinsa intre graficul acestei functii si axa Ox. Sa se arate ca 1<S<2.

1.3.7. Sa se determine numerele reale a si b astfel incat parabola y = x² +ax + b sa aiba varful in punctul V(1,-1).

1.3.8. Determinati functia de gradul al doilea al carei grafic este tangent axei Ox in punctul de abscisa 3 si trece prin A(2,9).

1.3.9. Sa se determine functia de gradul al doilea al carei grafic trece prin punctele A(3,1) si B(2,1) si are ca axa de simetrie dreapta x = 2:

1.3.10. Determinati functia de gradul al doilea al carei grafic taie Oy in punctul de ordonata 1, trece prin B(2,1) si este tangent dreptei y = -1.

1.3.11. Aflati valorile lui a si b pentru care parabolele de ecuatii y = x² - 2x + a si y = 2x² - bx + 3 au varful comun.

1.3.12. Se considera functia f : R R , f(x) = x² + ax + b, cu a si b parametri reali. Sa se determine acesti parametri astfel incat sa fie indeplinite simultan conditiile:

a). Graficul functiei sa intersecteze dreapta y = 3x - 4 in punctul de abscisa 1;

b). Ordonata varfului parabolei sa fie egala cu 1.

1.3.13. Sa se determine a si b astfel ca parabola definita de ecuatia y = ax² + bx - 8 sa taie axa Ox in punctele B si C astfel ca segmentul BC are lungimea 6 iar varful parabolei are ordonata egala cu 8.

(G.M.B. , 11107, C.I T.)