Scheme si formule clasice de probabilitate

Scheme si formule clasice de probabilitate.

Schema lui Bernoulli

In urma efectuarii unei experiente poate sa apara evenimentul    cu probabilitatea p sau contrariul sau cu probabilitatea q=1-p.

Se repeta experienta de n ori in conditii identice. Probabilitatea ca in cele n experiente evenimentul sa apara de k ori este

Exemplu. Se arunca o pereche de zaruri de sase ori. Care este probabilitatea ca exact de patru ori sa obtinem un total de sapte puncte ?

Exemplu. Se trunca o moneda de 6 ori. Care este probabilitatea sa apara de 4 ori prima fata si de 2 ori a doua fata ?

Schema lui Bernoulli cu mai multe Stari

In urma efectuarii unei experiente pot aparea evenimentele cu probabilitatile

Se repeta experienta de n ori. Probabilitatea ca in cele n experiente evenimentele sa apara respectiv de ori este

cu

Exemplu. Se arunca un zar de 5 ori. Care este probabilitatea ca de doua ori sa obtinem fata cu un punct, de doua ori fata cu doua puncte si o data nici una din aceste doua fete ?

Exemplu. Probabilitatile ca diametrul unei piese de masina sa fie intre limite mai mici, respectiv mai mari decat cele admisibile sunt 0.05 si 0.10, iar probabilitatea ca diametrul unei piese sa fie intre limite admisibile este de 0.85.

Din intreg lotul se extrag la intamplare 100 piese. Care este probabilitatea intre piesele alese, 5 sa fie cu diametrul mai mic, iar 5 cu diametrul mai mare decat cel admis ?

Schema lui Poisson

Se fac n experiente independente. In urma experientei de rang k poate sa apara evenimentul cu probabilitatea sau cu probabilitatea

Probabilitatea ca in cele n experiente evenimentul sa se realizeze de m ori, cu , este coeficientul lui din polinomul

unde .

Exemplu. Se considera urnele : .

Care este probabilitatea ca lund la intamplare cate o bila din fiecare urna sa obtinem 2 bile albe si una neagra ?

Exemplu. Se experimenteaza 4 prototipuri de aparate, cate unul din fiecare prototip. Probabilitatea ca un prototip sa corespunda este 0.8, 0.7, 0.9 si respectiv 0.85.

Se cere probabilitatea ca toate cele 4 aparate experimentate sa corespunda.

Schema bilei nerevenite

O urna contine a bile albe si b bile negre. Din aceasta urna se se extrag n bile fara a pune bila extrasa inapoi in urna, .

Probabilitatea ca din bilele extrase sa fie albe si negre este data de

Consideram o urna care contine biele de m culori: de culoare de culoare de culoare . Se extrag bile deodata sau una cate una fara intoarcerea bilei extrasa din urna. Probabilitatea de a obtine bile de culoare bile de culoare bile de culoare este

Exemplu. Intr-un lot de 100 piese, 6 piese au defecte remediabile, 4 piese sunt rebuturi, iar restul sunt piese bune. Din acest lot au fost luate la intamplare 10 piese. Care este probabilitatea ca din aceste piese 7 sa fie bune, 2 sa aiba defecte remediabile    si una sa fie rebut.

Formula inmultirii probabilitatilor

Teorema. Daca sunt n evenimente astfel incat probabilitatea realizarii simultane este diferita de zero, , atunci

Demonstratie. Folosind probabilitatile conditionate, avem:

pe care inmultindu-le membru cu membru se obtine formula de mai sus.   

Exemplu. O urna contine 4 bile albe si 6 bile negre. Se cere probabilitatea ca extragand de trei ori cate o bila (fara a pune bila extrasa inapoi), sa obtinem la prima extragere o bila alba, iar la urmatoarele extrageri cite o bila neagra.

Formula probabilitatii totale

Definitie. O multime de evenimente formeaza un sistem complet de evenimente daca acestea sunt incompatibile doua cate doua si reuniunea lor este evenimentul sigur.

Teorema. Daca formeaza un sistem de evenimente, atunci pentru orice eveniment , avem :

Demonstratie. Din faptul ca formeaza un sistem de evenimente, rezulta ca un eveniment A nu se poate realiza decat impreuna cu unul si numai unul din evenimentele    , ceea ce inseamna ca

iar

Conform regulii inmultirii probabilitatilor, avem :

care inlocuite mai sus, conduc la demonstrarea formulei.

Exemplu. Fie trei urne continand bile albe si negre, dupa cum urmeaza :

Dintruna din aceste urne se extrage la intamplare o bila. Care este probabilitatea ca bila extrasa sa fie alba ?

Formula lui Bayes

Teorema. Daca formeaza un sistem complet de evenimente, atunci pentru orice eveniment , avem :

Demonstratie. Aplicand formula inmultirii probabilitatilor, se obtine:

De aici rezulta ca

Pentru calculul lui aplicam formula probabilitatii totale:

si inlocuind, se obtine:

care se mai poate scrie

Exemplu. Fie doua urne care contin bile albe si negre: . Din aceste urne s-a extras o bila alba. Care este probabilitatea ca bila sa fi fost extrasa din prima urna ?

, ,