Ecuatii de gradul I. Modulul numerelor reale.

Desigur ca rezolvarea ecuatiilor de gradul I este acoperita de programa claselor V-VIII. Nu este lipsit insa de interes sa consideram unele exemple care presupun considerarea mai multor cazuri, in functie de valorile unor parametri.

Ex. 1. Sa se rezolve si sa se discute ecuatiile:

a)

b)

Solutie. a) Dupa separarea necunoscutei si factorizare, ecuatia se scrie:

In cazurile in care coeficientul lui x este nenul, adica pentru , rezulta solutia unica .

Sa consideram acum situatiile in care coeficientul lui x se anuleaza:

i) . Ecuatia devine 0=0, adica identitate. Orice x real este o solutie a ecuatiei.

ii) . Ecuatia devine 0=-12, propozitie falsa. In acest caz, ecuatia nu are solutie (multimea solutiilor sale este vida).

Cele trei cazuri distincte prezentate mai sus pot fi sintetizate in urmatorul tabel:

b) Primul aspect care trebuie avut in vedere atunci cand in ecuatie apar numitori este includerea unor conditii ca acestia sa nu se anuleze. In exemplul de fata, aceste conditii sunt si ele conduc la . Dupa amplificarea primei fractii cu si eliminarea numitorilor, ecuatia devine

Daca , rezulta . Nu suntem insa siguri ca aceasta solutie a ecuatiei verifica si ecuatia initiala. Trebuie sa ne asiguram ca nu se anuleaza numitorii din ecuatia initiala. Procedam prin negarea conditiei si rezolvam pe rand ecuatiile:

Am determinat deci valoarea , pentru care solutia ecuatiei nu verifica ecuatia initiala.

Mai ramane de analizat cazul . Ecuatia devine 0=4 si este imposibila. Sintetizand, rezulta tabelul:

Ex. 2. Sa se rezolve si sa se discute inecuatia . (G.M.B, 1974)

Observatie. Sa reamintim inainte de toate semnul functiei de gradul intai .

Solutie. Existenta numitorului impune . Pentru , aceasta revine la ; pentru , conditia este si se verifica pentru orice x real. Se trece 1 in membrul stang, aducand la acelasi numitor:

Distingem trei cazuri:

a)     daca , inecuatia revine la

b)     daca , avem

c)      pentru , rezulta , adevarata oricare ar fi

Cazul il vom considera separat. Sa tratam pe rand cazurile a) si b) (mai putin situatia in care ). Se observa ca numaratorul se anuleaza in , iar numitorul in . Se impune deci ordonarea acestor puncte pe dreapta reala. Am putea rezolva inecuatia (cu ajutorul unui tabel), dar intuitiv este mai simplu sa observam ca:

i)            daca ;

ii)          daca ;

iii)        daca ;

iv)        daca .

Tinand cont de aceste observatii, rezulta urmatoarele cazuri:

a1) . Avem de rezolvat inecuatia , iar . Se alcatuieste tabelul:

Rezulta solutia .

a2) . Avem de rezolvat aceeasi inecuatie , dar . Se alcatuieste un tabel similar celui de mai sus, rezultand solutia (atentie la semnul numitorului).

a3) . Inecuatia revine la .

a4) . In acest caz, . Alcatuind un tabel ca mai sus, rezulta .

In cazul b), avem de rezolvat inecuatia , iar . Se alcatuieste un tabel, obtinand solutia .

In fine, a ramas de stabilit ce se intampla cand . Inecuatia initiala devine .

Pentru a trece in revista toate cazurile (si sunt ceva la numar !), alcatuim tabelul:

Nu consideram ca un astfel de exercitiu trebuie sa faca parte din setul de subiecte de bacalaureat. Rezolvarea lui pune foarte bine in evidenta abilitatea de a distinge intre mai multe posibilitati; de aceea, il consideram util in pregatirea candidatilor.

Ex. 3. Sa se rezolve:

a)     ecuatia ;

b)     sistemul

Solutie. a) Notam cu cantitatea din interiorul modulului mare. Ecuatia se scrie . Se observa insa ca este suma a doua module, deci . Ecuatia devine deci:

.

Se expliciteaza modulul interior si rezulta:

. Explicitand si , rezulta cazurile:

i)

ii)

iii)

Rezulta ca ecuatia data nu are solutii.

b)     Din prima ecuatie, observam ca . Cea de-a doua ecuatie devine:

. Se expliciteaza modulele, rezultand cazurile:

i)

ii)

iii) .

Pentru ; pentru . Solutiile sistemului sunt deci elementele multimii:

Exercitii propuse. Sa se rezolve si sa se discute (acolo unde este cazul) ecuatiile si inecuatiile urmatoare:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11) Sa se determine parametrul real astfel incat ecuatia:

sa fie echivalenta cu o ecuatie de gradul I. Sa se rezolve in acest caz ecuatia.

Alte exercitii se pot gasi in diverse culegeri.