Serii de timp cu trei componente: trend, sezonalitate

si variabila reziduala

Evolutia unui anumit fenomen y se descrie prin urmatoarele date (mil. lei):

Se cere:

a) Sa se aleaga modelul de ajustare privind descrierea fenomenului y;

b) Sa se estimeze componenta sezoniera si sa se determine seria cronologica desezonalizata (S.C.V.S);

c) Sa se specifice functia de ajustare privind tendinta fenomenului si sa se estimeze parametrii acesteia;

d) Sa se verifice semnificatia functiei de ajustare specificandu-se pragul de semnificatie cu care aceasta poate fi acceptata ca semnificativa;

e) Sa se estimeze valorile fenomenului y pe primele doua trimestre ale anului 1995.

Rezolvare:

a) Specificarea structurii modelului de timp se poate face cu ajutorul mai multor metode, cum ar fi:

metoda grafica;

metoda analizei variatiei;

Metoda grafica consta in construirea cronogramei seriei de timp analizate.

Evolutia fenomenului y

Cronograma fenomenului y indicand o crestere permanenta, urmarita la nivel de trimestru de la un an la altul, de natura sinusoidala, conduce la acceptarea unui model structurat pe trei componente de forma:

unde

valorile reale ale fenomenului;

componenta sezoniera, efect al actiunii factorilor sezonieri, a caror influenta se exercita pe perioade mai mici de un an;

componenta trend, efect al influentei factorilor esentiali, reprezentind tendinta de evolutie a fenomenului pe termen lung, tendinta care, pe baza graficului, poate fi descrisa cu ajutorul unei functii liniare;

componenta reziduala, efect al influentei factorilor aleatori.

Metoda analizei variatiei

Utilizarea acestei metode in scopul specificarii modelului de ajustare se fundamenteaza pe relatia:

unde

, unde ;

mediile anuale ;

mediile trimestriale ;

media generala a seriei;

(vezi tabelul nr. 4.3.2., coloanele 5 );

(vezi tabelul nr. 4.3.2., randurile 4 )

Notand cu:

- variatia totala a fenomenului y;

- variatia lui y explicata de componenta trend, efect al actiunii factorilor esentiali;

- variatia lui y explicata de componenta sezoniera, efect al actiunii factorilor sezonieri;

- variatia lui y generata de actiunea factorilor intamplatori (componenta reziduala).

ceea ce    reprezinta variatia totala a fenomenului

ceea ce reprezinta variatia lui y explicata de componenta trend, constituind 63,82% din variatia totala ;

ceea ce reprezinta variatia lui y explicata de componenta sezoniera, constituind 34,13% din variatia totala ;

ceea ce reprezinta variatia lui y generata de actiunea factorilor intimplatori, constituind 2,05% din variatia totala.

Deoarece seria de timp pe baza careia se urmareste descrierea econometrica a legitatii de evolutie a fenomenului reprezinta doar un segment, doar o parte din evolutia de lunga durata a acestuia, ea poate fi asimilata unui sondaj si, ca atare, se impune verificarea semnificatiei indicatorilor calculati pe perioada de timp analizata.

Testarea semnificatiei rezultatelor obtinute se poate face cu testul "F" - Fisher-Snedecor, stiind ca:

Din tabela distributiei Fisher-Snececor se preiau valorile teoretice corespun-zatoare celor doua valori calculate si , respectiv si

Deoarece

se poate accepta modelul , cu un prag de semnificatie de 1% (o probabilitate de 0,99), componenta trend detinand o pondere de 63,82% din variatia totala a fenomenului y, iar componenta sezoniera 34,13%.

b) Componenta sezoniera se poate exprima, fie sub forma relativa - coeficientii de sezonalitate, ,fie sub forma absoluta .

Prin definitie, fenomenul de sezonalitate se manifesta pe perioade mai mici de un an. Cum numarul subperioadelor anuale este egal cu 4, rezulta ca numarul de termeni din care se vor calcula mediile mobile este egal cu 4 - numar par de termeni.

Nota: Datele din tabel au rezultat in urma calculelor:

1) mediile mobile calculandu-se dintr-un numar par de termeni , se determina in doua etape:

1.1) medii provizorii

1.2) medii definitive care centreaza mediile provizorii pe perioadele de timp ale seriei - pe trimestrele anilor:

2. coeficientii provizorii de sezonalitate se calculeaza ca raport intre valorile reale si mediile mobile cu ajutorul relatiei:

3. coeficientii de sezonalitate se calculeaza ca medii aritmetice simple din coeficientii provizorii :

Astfel, sezonalitatea va fi:

- trim. I:

- trim. II:

- trim. III:

- trim. IV:

4. cei patru coeficienti de sezonalitate trebuie sa respecte egalitatea:

Datorita aproximarilor in plus, conditia nu este respectata si, ca atare, coeficientii vor trebui corectati. Corectarea consta in:

5. valorile desezonalizate sau seria C.V.S. se calculeaza cu relatia:

- vezi ultima coloana din tabel.

c) Estimarea valorilor componentei trend si a valorilor variabilei reziduale

Functia de ajustare privind tendinta fenomenului in perioada 1992-1994 se deduce pe baza valorilor C.V.S., adica a seriei de timp corectata de variatiile sezoniere, denumita si serie desezonalizata.

Seria initiala fiind desezonalizata cu ajutorul mai multor procedee, estimarea celor doua componente - trend si variabila reziduala - se poate face utilizand rezultatele obtinute la oricare din aceste metode.

Pe baza graficului din fig. si a calculelor precedente, functia de ajustare se specifica prin functia liniara:

Estimarea parametrilor se face cu ajutorul M.C.M.M.P. Aplicarea acesteia conduce la obtinerea urmatorului sistem de ecuatii:

Pe baza calculelor din tabelul nr. 4.3.3., coloanele 1,2,3,4, sistemul de ecuatii devine:

Pe baza estimatorilor se vor calcula valorile estimate ale variabilei :

d) Pentru a verifica semnificatia parametrilor si a functiei de ajustare se vor calcula:

- dispersia variabilei reziduale

- dispersiile estimatorilor

- valoarea raportului de corelatie

Utilizand ecuatia analizei variatiei:

rezulta ca modelul econometric explica 94,4% din variatia totala a fenomenului.

In concluzie, modelul econometric se poate scrie:

;

(0 ) (0,0703)

Deoarece numarul gradelor de libertate ,vom utiliza distributia Student cu T-k-1 grade de libertate, unde k - numarul variabilelor explicative.

Lucrand cu un prag de semnificatie , din tabela distributiei Student se preia valoarea .

Estimatorii si sunt semnificativ diferiti de zero daca se verifica relatiile:

Pe baza calculelor de mai sus se observa ca acesti indicatori sunt semnificativ diferiti de zero, cu un prag de semnificatie .

Verificarea semnificatiei raportului de corelatie se face cu ajutorul testului Fisher - Snedecor:

,

R fiind semnificativ daca

Din tabela distributiei Fisher - Snedecor, in functie de un prag de semnificatie si de numarul gradelor de libertate si se preia valoa-rea .

, deci valoarea raportului de corelatie este semnificativ diferita de zero, cu un prag de semnificatie .

e) Modelul cu ajutorul caruia a fost estimata tendinta fenomenului fiind acceptat ca semnificativ, acesta poate fi folosit la estimarea prognozei fenomenului analizat.

Evolutia fenomenului fiind alcatuita din trei componente, prognoza intr-un astfel de caz se realizeaza in trei etape:

se prognozeaza valorile tendintei fenomenului - vezi si ;

se corecteaza aceste valori cu influentele probabile ale variabilei reziduale (factori intamplatori) - eroarea de prognoza

intervalele de incredere estimate la punctele precedente se corecteaza cu influenta factorilor sezonieri exprimata in coeficienti de sezonalitate .

Astfel, nivelul previzionat al fenomenului va fi:

- in primul trimestru al anului 1995:

Abaterea standard a nivelului previzionat al fenomenului in acest caz va fi egala cu:

Intervalul de incredere a prognozei fenomenului, estimat cu un prag de semnificatie , pentru care valoarea lui t, preluata din tabela distributiei Student este de , se va calcula cu ajutorul relatiei:

- in al doilea trimestru al anului 1995:

In final, in urma calculelor efectuate se poate considera ca in trimestrul I al anului 1995 nivelul fenomenului va fi cuprins in intervalul , iar in trimestrul al II-lea in intervalul , sansele de realizare a acestor prognoze fiind de 95%.