INTEGRAREA NUMERICA A FUNTIILOR

INTEGRAREA NUMERICA A FUNTIILOR

INTEGRAREA NUMERICA A FUNCTIILOR

1. INTRODUCERE

Fie o functie definita si integrabila pe intervalul . De cele mai multe ori este greu de determinat o primitiva, F, a integralei definite

(3.1)

sau daca aceasta primitiva exista, dar are o expresie analitica foarte complicata, folosirea in calculele ulterioare este foarte greoaie. De aceea, pentru calculul integralei (3.1) se stabilesc formule aproximative simple si usor de folosit pe orice calculator.

Formula:

, (3.2)

in care sunt constante independente de f, iar sunt nodurile intervalului , poarta numele de formula de cuadratura numerica.

In continuare, se deduc expresiile catorva formule de integrare numerica si se intocmesc procedurile de calcul, scrise in limbaj Turbo-Pascal.

3.2. Metoda coeficientilor nedeterminati

Metoda coeficientilor nedeterminati consta in determinarea coeficientilor , ai formulei de cuadratura numerica (3.2), astfel incat restul R sa fie nul pentru orice polinom de grad mai mic sau egal cu n.

Pentru demonstratie, se aleg polinoamele particulare: 1, x, . Daca in formula de cuadratura (3.2) se inlocuieste, pe rand, functia cu polinoamele mentionate si se pune conditia ca restul R sa fie nul, rezulta:

;

;

; (3.3)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

Relatiile (3.3) formeaza un sistem de (n+1) ecuatii liniare in necunoscutele , si anume:

(3.4)

Deoarece nodurile intervalului se considera distincte, determinantul sistemului (3.4) este diferit de zero (determinant de tip Vandermonde), iar solutia sistemului este unica. Se poate arata ca restul formulei de cuadratura este nul pentru orice polinom de grad mai mic sau egal cu n, nu numai pentru polinoamele particulare considerate [36].

3.3. Formula trapezelor de cuadratura numerica

Fie functia , continua pe , unde a < b. Se cere sa se calculeze

.

Fie , o retea de noduri echidistante pe intervalul . Ca urmare a proprietatii de aditivitate a integralei fata de interval, se poate scrie:

. (3.7)

Pentru determinarea formulei trapezelor de cuadratura numerica, se aproximeaza functia , pe fiecare interval, cu un polinom Newton de interpolare dreapta de ordinul unu. In acest caz, relatia (3.7) devine:

, (3.8)

unde: , este pasul retelei, iar este diferenta finita progresiva de ordinul unu.

Daca in relatia (3.8) se face schimbarea de variabila , rezulta:

. (3.9)

In cazul in care functia este data tabelar, adica se cunosc valorile in nodurile retelei, relatia (3.9) devine:

. (3.10)

Daca se cunoaste expresia analitica a functiei si se cere calculul integralei I , pe intervalul , atunci relatia (3.9) capata forma:

(3.11)

Metoda trapezelor, de calcul al integralei definite pe intervalul , consta in inlocuirea curbei cu o linie poligonala, dupa cum se vede in figura 3.1.

Fig. 3.1. Reprezentarea geometrica a metodei trapezelor

Eroarea de trunchiere pe intervalul , in cazul formulei de cuadratura numerica a trapezelor, este de forma:

. (3.12)

Fie o primitiva a functiei . Conform formulei lui Leibniz-Newton, relatia (3.12) devine:

. (3.13)

Daca se dezvolta in serie Taylor functiile si , in jurul punctului , se obtine:

;

(3.14)

unde , .

Dupa inlocuiri in relatia (3.13), se obtine:

. (3.15)

Daca se considera intervalul , atunci eroarea de trunchiere, in cazul metodei trapezelor, este

. (3.16)

Pentru , astfel incat si tinand seama de faptul ca nodurile sunt echidistante, adica , relatia (3.16) devine:

. (3.17)

Daca exista , astfel incat , , atunci

. (3.18)

3.4. Formule Simpson de cuadratura numerica

3.4.1. Formula Simpson 1/3

Fie functia , continua pe , unde a < b. Se cere sa se calculeze

.

Fie , o retea de noduri echidistante pe intervalul . Ca urmare a proprietatii de aditivitate a integralei fata de interval, se poate scrie

. (3.20)

Pentru determinarea formulei Simpson 1/3 de cuadratura numerica, se aproximeaza functia , pe fiecare interval de forma , cu un polinom Newton de interpolare dreapta de ordinul doi si relatia (3.20) devine:

, (3.21)

unde:

;

este pasul retelei de integrare;

este diferenta finita progresiva de ordinul unu;

este diferenta finita progresiva de ordinul doi.

Daca in relatia (3.21) se face schimbarea de variabila , rezulta:

. (3.22)

In cazul in care functia este data tabelar, adica se cunosc valorile in nodurile retelei de integrare, relatia (3.22) devine:

. (3.23)

Daca se cunoaste expresia analitica a functiei si se cere calculul integralei I, pe intervalul , atunci relatia (3.22) devine:

(3.24)

Metoda Simpson 1/3, de calcul al integralei definite pe intervalul , consta in inlocuirea curbei , pe fiecare interval de forma , cu un polinom de gradul doi (v.fig.3.2). Numarul de puncte trebuie astfel ales incat raportul sa fie numar intreg. Daca nu se tine seama de acest lucru si mai ramane un interval, suprafata corespunzatoare acestuia se calculeaza cu metoda trapezelor.

Eroarea de trunchiere pe intervalul , in cazul formulei de cuadratura numerica (3.22), este de forma:

. (3.25)

Procedand in mod analog formulei trapezelor, se obtine:

.

Fig. 3.2. Reprezentarea geometrica a metodei Simpson 1/3

Daca se considera intervalul , atunci eroarea de trunchiere, in cazul metodei Simpson 1/3, este:

. (3.26)

Pentru , astfel incat ,

relatia (3.26) devine:

. (3.27)

Pentru rezulta:

. (3.28)

Daca exista , astfel incat , , atunci

. (3.29)

3.4.2. Formula Simpson 3/8

Fie functia , continua pe , unde a < b. Se cere sa se calculeze

.

Fie , o retea de noduri echidistante pe intervalul . Ca urmare a proprietatii de aditivitate a integralei fata de interval, se poate scrie

. (3.30)

Pentru determinarea formulei Simpson 3/8 de cuadratura numerica, se aproximeaza functia , pe fiecare interval de forma , cu un polinom Newton de interpolare dreapta de ordinul trei si relatia (3.30) devine:

(3.31)

unde: ;

este pasul retelei de integrare;

este diferenta finita progresiva de ordinul unu;

este diferenta finita progresiva de ordinul doi;

este diferenta finita progresiva de ord. trei.

Daca in relatia (3.31) se face schimbarea de variabila , rezulta:

(3.32)

In cazul in care functia este data tabelar, adica se cunosc valorile , in nodurile retelei de integrare, atunci relatia (3.32) devine:

. (3.33)

Daca se cunoaste expresia analitica a functiei si se cere calculul integralei I, pe intervalul , atunci relatia (3.32) devine:

Metoda Simpson 3/8, de calcul al integralei definite pe intervalul , consta in inlocuirea curbei pe fiecare interval de forma cu un polinom de gradul trei. Numarul de puncte trebuie astfel ales incat raportul sa fie numar intreg (v.fig.3.3). Daca nu se tine seama de acest lucru si mai ramane un interval, pentru acesta se aplica formula trapezelor; daca raman doua intervale, atunci se aplica formula corespunzatoare metodei Simpson 1/3.

Fig. 3.3. Reprezentarea geometrica a metodei Simpson 3/8

Eroarea de trunchiere, pe intervalul , in cazul formulei de cuadratura numerica (3.32), este de forma:

. (3.35)

sau

. (3.36)

Daca se dezvolta in serie Taylor functiile si , in jurul punctului , se obtine:

;

;

;

;

unde , .

Dupa inlocuiri in relatia (3.36), se obtine:

. (3.37)

Daca se considera intervalul , atunci eroarea de trunchiere in cazul metodei Simpson 3/8 este:

. (3.38)

Pentru , astfel incat si tinand seama de faptul ca nodurile sunt echidistante, adica , relatia (3.38) devine

. (3.39)

Daca exista , astfel incat , , atunci

. (3.40)