Caracteristici numerice asociate variabilelor aleatoare - Probabilitati

Caracteristici numerice asociate variabilelor aleatoare

Definitia 1 Fie variabila aleatoare X de tip discret, avand distributia Numim valoare medie (speranta matematica ), caracteristica numerica

Observatia 2. Daca variabila aleatoare X este simpla, adica are un numar finit de valori, atunci valoarea medie exista.

Daca multimea de indici I este infinit numarabila, valoarea medie exista cand seria care o defineste este absolut convergenta.

Exemplul 3 Fie variabila aleatoare X ce urmeaza legea binomiala, adica are distributia

Pentru a calcula valoarea medie a variabilei aleatoare X, scriem succesiv

In sirul de egalitati scrise, s-a folosit formula de recurenta pentru numarul de combinari si formula binomului lui Newton. Daca se tine seama de faptul ca rezulta ca

Exemplul 4 Se considera variabila aleatoare X ce urmeaza legea lui Poisson, adica are distributia

unde

Putem scrie succesiv

deci

Propozitia 5 Valoarea medie poseda urmatoarele proprietati:

daca variabilele aleatoare X si Y sunt independente, atunci

Demonstratie Vom considera variabilele aleatoare X si Y de tip discret cu distributiile

pentru care exista si

(1) Scriem succesiv

de unde

(2) Daca variabilele aleatoare X si Y au distributiile, precizate mai sus, atunci variabila aleatoare are distributia

Prin urmare, avem ca

Tinand seama de Observatia 3.24, se obtine ca

Avand in vedere ca variabilele aleatoare X si Y sunt independente, se obtine distributia variabilei aleatoare produs

Asadar, putem scrie sucesiv

adica

Observatia 6 Daca in propozitia precedenta, la punctul (1) se ia , atunci se obtine ca valoarea medie a unei constante este constanta insasi, iar punctele (2) si (3) se pot extinde pentru un numar finit de variabile aleatoare.

Definitia 7. Numim valoare medie (speranta matematica) pentru variabiala aleatoare X de tip continuu, caracteristica numerica

Exemplul 8 Fie variabila aleatoare X ce urmeaza legea uniforma pe intervalul , adica are densitatea de probabilitate

Valoarea medie a variabilei aleatoare X va fi

Exemplul 9. Daca variabila aleatoare X urmeaza legea normala , atunci are densitatea de probabilitate

Pentru aceasta variabila aleatoare, facand schimbarea de variabila avem ca

A doua integrala este zero, deoarece functia ce se integreaza este o functie impara, iar intervalul de integrare este simetric fata de origine. Prima integrala se cunoaste ca este . Prin urmare avem ca

Propozitia 10. Valoarea medie poseda urmatoarele proprietati:

(1)

(2)

(3) daca variabilele aleatoare X si Y sunt independente, atunci

Demonstratie. (1) Daca notam prin atunci, conform Aplicatiaiei 3.69, avem

Putem scrie, prin urmare, ca

de unde prin schimbrea de variabila se obtine succesiv

deci

(2) Daca notam prin care are densitatea de probabilitate , iar densitatea de probabilitate a vectorului aleator o notam prin , atunci

Facem schimbarea ordinei de integrare, iar apoi efectuam schimbarea de variabila si obtinem

deci .

Se arata in mod analog ca relatia de la punctul precedent.

Definitia 11. Numim dispersia (variatia) variabilei aleatoare X, caracteristica numerica

iar caracteristica numerica se numeste abatereaa medie patratica (abatere standard).

Prpozitia 12. Dispersia satisface urmatoarele proprietati

(1)

(2)

(3) daca variabilele aleatoare X si Y sunt independente, atunci

Demonstratie.

Avand in vedere proprietati ale valorii medii, putem scrie succesiv

Se procedeaza analog si se obtine

Deoarece vriabilele aleatoare X si Y sunt independente, rezulta succesiv

Observatia 13. Deoarece folosind (1), avem ca , iar din (2), considerand se obtine ca dispersia unei constante este zero.

Exemplul 1 Fie variabila aleatoare X ce urmeaza legea binomiala, adica are distributia

Pentru a calcula dispersia variabilei X, folosim formula . Se stie ca Ramane sa calculam valoarea medie Pentru aceasta avem succesiv

Ultima suma este chiar iar cealalta suma se calculeaza aplicand de doua ori formula de recurenta pentru numarul de combinari, anume

Astfel, se poate scrie

Deoarece rezulta ca si drept urmare avem

,

deci

Exemplul 15 Daca variabila alatoare X urmeaza legea normala , atunci are densitatea de porbabilitate

iar valoarea medie este

Folosind definitia dispersiei, se scrie

Pentru calculul integralei facem schimbarea de variabila si vom obtine

Pentru ultima egalitate am avut in vedere ca functia ce se integreaza este functie para, iar intervalul de integrare este simetric fata de origine. Mai efectuam schimbarea de variabila ceea ce conduce la

Dar se stie ca arfel ca

Definitia 16. Numim moment (initial) de ordin k pentru variabila aleatoare X, caracteristica numerica

Observatia 17 Pentru avem ca adica momentul initial de ordinul intai este chiar vloarea medie. De asemenea, avem ca

Definitia 18 Numim moment centrat de ordinul k al varaibialei aleatoare X, caracteristica numerica

Observatia 19. Pentru avem ca

iar pentru se obtine

Proprietatea 20. Intre momentele centrate si momentele initiale exista urmatoarea relatie

Demonstratie. Folosind formula binomului lui Newton si avand in vedere proprietatile valorii medii, se poate scrie

Inlocuindu-se si retinand extremitatile acestui sir de egalitati se obtine relatia enuntata.

Observatia 21. In statistica matematica se utilizeaza de regula momente centrate pana la ordinul patru, pentru care avem:

Exemplul 22. Vrem sa calculam momentele centrate ale variabilei aleatoare X ce urmeaza legea normala . Se stie ca variabila aleatoare X are media si are densitatea de probabilitate

Momentul centrat de ordinul k se calculeaza cu formula

Pentru calculul acestei integrale, facem schimbarea de variabila data prin relatia , .Astfel obtinem ca:

Se observa ca pentru k impar, adica k = 2r-1, functia care se integreaza este functie impara, iar intervalul de integrare este simetric fata de origine, drept urmare integrala este zero, deci

Pentru k=2r, functia care se integreaza este functie para, deci

In aceasta integrala se face schimbarea de variabila .Astfel se obtine

Cunoastem ca functia gamma a lui Euler este definita prin

pentru orice a > 0.

si ca verifica relatia de recurenta iar pe de alta parte Folosind aceste rezultate putem scrie succesiv

In concluzie

Definitia 23. Numim moment (initial) de ordinul al vectorului aleator , caracteristica numerica si de asemenea numim moment (centrat) de ordinul al vectorului aleator , caracteristica numerica

Observatia 2 Prin particularizari ale lui r si s avem:

si respectiv

si

Definitia 25. Numim corelatia sau covarianta dintre variabilele aleatoare X si Y, caracteristica numerica

Observatia 26. Daca se aplica proprietatile valorii medii, avem ca

adica

Observatia 27. Daca variabilele aleatoare X si Y sunt independente, atunci

deci

Definitia 28. Numim coeficient de corelatie dintre variabilele aleatoare X si Y, caracteristica numerica

Observatia 29. Din Observatia 27 avem ca daca varibilele aleatoare X si Y sunt independente, atunci

De asemenea, daca vom spune ca variabilele aleatoare sunt necorelate, ceea ce nu este echivalent cu independenta variabileleor aleatoare.

Propozitia 30 Coeficientul de corelatie satisface urmatoarele proprietati:

(1) sau

(2) daca si numai daca

Demonstartie.

S considera varibila aleatoare definita prin

Astfel avem ca pentru orice .

Pe de alta parte putem scrie

pentru orice .

Rezulta ca discriminantul Prin urmare, se obtine ca sau

adica

Astfel s-a ajuns la sau

Consideram variabile aleatoare normate reduse

pentru care avem si

Pe de alta parte, considerand variabilele aleatoare dupa cum avem ca

Din acest sir de relatii se obtine ca prin urmare de unde rezulta ca , unde constantele pot fi determinate.

Invers, daca , , atunci

de unde , dupa cum , respectiv

Exemplul 31. Fie variabilele aleatoare X si Y, care verifica relatia iar variabila aleatoare X are distributia

unde

Deoarece adica avem distributia variabilei Y data prin

Vom calcula coeficientul de corela'ie dintre X si Y. Pentru aceasta avem

si de asemenea,

Pentru a calcula dispersiile X si Y, calculam

In mod analog, avem ca

Prin urmare, obtinem ca

si in mod analog

Mai avem ca .

Astfel, in final, se ajunge la

Definitia 32. Numim mediana unei variabile aleatoare X, caracteristica numerica m, care satisface conditia

Observatia 33. Daca F este functia de repartitie a variabilei aleatoare X, atunci si Prin urmare, conditia din definitia medianei se poate pune sub forma echivalenta .

Ca o consecinta a acestei scrieri, avem ca daca F este continua, atunci mediana m este data de ecuatia

Observatia 3 Madiana unei variabile aleatoare poate avea o infinitate de valori, in cazul in care dreapta de ecuatie si curba de ecuatie au in comun un segment, deci graficele acestora coincid pe un interval, sa zicem . In acest caz, de regula, se ia

Definitia 35. Numim valoare modala sau modul variabilei aleatoare X, orice punct de maxim local al distributiei lui X (in cazul discret), respectiv al densitatii de probabilitate (in cazul continuu).

Observatia 36. Dcaa exista o singura vloare modala pentru variabila aleatoare X, vom spune ca aceasta este uninominala, iar daca exista doua sau mai multe valori modale o numim bimodala, respectiv plurimodala.

Definitia 37 Numim asimetria variabilei aleatoare X, caracteristica numerica definita prin

Observatia 38. Daca variabila aleatoare X urmeaza legea normala , atunci De asemenea, pentru o lege unimodala, daca , atunci ordonata maxima a disributiei corespunde unei abcise mai mari decat valoarea medie, iar daca fenomenul este invers.

Definitia 39. Numim exces al variabilei aleatoare X, caracteristica numerica data prin

Observatia 40. Daca variabila aleatoare X urmeaza legea normala , atunci De aseaenea, pentru o lege unimodala, daca atunci graficul distributiei are un aspect turtit, in raport cu legea normala, si se numeste platicurtica, iar daca , atunci are un aspect ingustat (ascutit), in raport cu legea normala, caz in care se numeste leptocurtica.