Reprezentari grafice

Reprezentarea grafica a unei serii ne da o imagine geometrica (in plan sau spatiu) cu privire la forma statica sau evolutia dinamica a fenomenului cuantificat de seria respectiva.

Graficul asociat unei serii constituie o imagine spatiala a fenomenului de cercetat, permitand evidentierea rapida a structurii, dinamicii si tendintei de dezvoltare a acestuia. Reprezentarile grafice sunt folosite atat in scopul cunoasterii populatiei in cauza, cat si pentru popularizarea unor rezultate din diverse domenii de activitate.

Elaborarea completa si corecta in acelasi timp a unui grafic presupune elucidarea urmatoarelor elemente: titlul graficului, scara de reprezentare, reteaua graficului, semnele conventionale si notele.

Titlul graficului trebuie sa fie scurt, clar si semnificativ pentru continutul fenomenului reliefat prin seria considerata.

Scara de reprezentare reuneste multimea tuturor punctelor cotate. In cazul in care variabila inregistreaza valori mici, gradarea scarii incepe in principiu de la zero, daca variabila inregistreaza valori mari se considera o alta origine stabilita cu aproximatie. Pentru a nu incarca prea mult desenul, se recomanda reprezentarea pe scara doar a valorilor dispuse la un anumit interval convenabil ales. Distantele dintre doua puncte cotate consecutive se numeste intervalul graficului. Cand intervalele sunt egale atunci avem scari uniforme, in caz contrar avem scari neuniforme.

Reteaua graficului permite identificarea cu usurinta in plan sau in spatiu a punctelor corespunzatoare valorilor inregistrate de variabilele in cauza. Sistemul axelor rectangulare (in plan sau spatiu) constituie cele mai uzuale retele in reprezentarea grafica a seriilor statistice.

Semnele conventionale se pot materializa intr-o reprezentare grafica prin inscriptii, fie printr-o legenda. Inscriptia trebuie sa fie scurta si semnificativa si plasata cat mai bine in raport cu elementul din grafic pe care il expliciteaza. Legenda se foloseste pentru a explicita folosirea semnelor, culorilor sau diverselor hasuri folosite in graficul in cauza. Legenda se plaseaza inafara graficului, in coltul din stanga sau dreapta jos.

In cazul graficelor complexe, pentru o intelegere mai buna, sunt necesare unele explicatii, care se dau sub forma de note. Notele generale privesc in ansamblu graficul si se plaseaza chiar sub titlul graficului. Notele speciale privesc portiuni din grafic si sunt legate de acestea prin diverse semne de trimitere. Notele se plaseaza in partea de jos a diagramei, in coltul din stanga sub retea.

In continuare se vor prezenta principalele tehnici de construire a graficelor utilizate in reprezentarea seriilor statistice ce descriu fenomenele social-economice.

Histograma

Graficul specific seriilor care au la baza o variabila continua (de intervale) este histograma. Aceasta se construieste intr-un sistem de axe rectangulare dupa cum urmeaza: pe abscisa se trec intervalele de variatie, iar pe ordonata se traseaza scara frecventelor. Scara frecventelor se construieste in conformitate cu respectarea principiului proportionalitatii intre frecvente si segmentele delimitate pe scara ordonatelor. Pentru fiecare interval de variatie a seriei (x_i-1 - x_i) se construieste un dreptunghi a carui baza este chiar lungimea intervalului, iar cealalta latura se determina din conditia proportionalitatii ariei dreptunghiului cu marimea indicatorului in clasa respectiva.

Latura necunoscuta a dreptunghiului, notata cu L_i se determina din urmatoarea relatie:

L_i . l_i = k . N_i (2.2)

unde:

l_i = latura cunoscuta a dreptunghiului corespunzator intervalului (x_i-1 - x_i);

L_i = latura necunoscuta a dreptunghiului corespunzator intervalului (x_i-1 - x_i);

N_i = frecventa absoluta a clasei "i";

k = un coeficient de proportionalitate care se alege in raport cu scara de reprezentare.

Din relatia (2.2) se deduce L_i:

unde: l_i = x_i - x_i-1, adica diferenta dintre limita superioara si cea inferioara a intervalului de variatie.

Multimea tuturor dreptunghiurilor astfel determinate, formeaza histograma atasata seriei.

Poligonul frecventelor

Este o reprezentare grafica a seriilor statistice avand la baza o variabila atributiva cantitativa continua si formata cu frecvente absolute sau relative, simple sau cumulate.

Trasarea acesteia presupune realizarea in prealabil a histogramei. Poligonul frecventelor se obtine unind prin segmente de dreapta mijloacele laturilor superioare ale dreptunghiurilor, din care este alcatuita histograma.

Poligonul frecventelor este un grafic important pentru aproximarea formei distributiei populatiei studiate, cat si pentru compararea a doua distributii pe aceeasi diagrama.

Exemplu

Din Anuarul Statistic al Romaniei din anul 2000, am extras o serie de repartitie reprezentand populatia Romaniei sub 40 de ani pe grupe de varsta .

Figura 2.1 Histograma si poligonul frecventelor

Diagramele de structura

Punerea in evidenta sub forma grafica a structurii unei populatii statistice este posibila apeland la diagramele de structura. In acest sens se prezinta: dreptunghiul, patratul, cercul si semicercul de structura. Aceste tipuri de grafice permit reprezentarea grafica a seriilor unidimensionale construite cu marimi de structura( frecvente relative, greutate specifica).

Cel mai des folosit este cercul de structura denumit si diagrama sectoriala (piechart).

Cercul de structura

Se construieste un cerc de raza oarecare a carei suprafata se considera ca reprezinta volumul intregii populatii in cauza (exprimat in frecvente absolute sau relative).

Fiecare clasa in care este divizata populatia supusa studiului este reprezentata printr-un sector de cerc de arie direct proportionala cu volumul clasei. Trasarea sectorului de cerc presupune determinarea masurii in grade a unghiurilor la centru a fiecarui sector. Unghiul la centru de 360^o corespunde volumului intregii populatii. Unghiurile sectoarelor de cerc care reprezinta clase din populatie trebuie sa fie proportionale cu volumul acestora (exprimat in frecvente absolute sau relative). Unui procent ii corespunde 3,6^o cu procentul corespunzator clasei respective.

(2.3)

Exemplu

Din Anuarul Statistic al Romaniei din anul 2000 am extras seria care urmeaza, redand distributia voturilor electoratului pentru Senat (dupa redistribuire) la alegerile din 3 noiembrie 1996:

Figura 2.2 Cercul de structura

Diagramele prin benzi (barchart)

Acest tip de grafic utilizeaza benzile (barele), pentru a reprezenta distributia unei populatii in raport cu o variabila cantitativa discreta sau calitativa. Benzile au aceeasi latime (baza), iar lungimea (inaltimea) lor este direct proportionala cu frecventa clasei reprezentate. Numarul benzilor este egal cu numarul claselor in care este impartita populatia studiata. De asemenea se pot lua in considerare o variabila sau doua.

In reprezentari se utilizeaza benzi simple sau benzi grupate. Pozitia benzilor poate fi orizontala sau verticala.

Exemplu

Din Anuarul Statistic al Romaniei din anul 2000 am extras seria care urmeaza, redand nivelul PNB/loc in $ calculat pe baza puterii de cumparare in Romania si alte tari est-europene, in 1998

Figura 2.3 Diagrama prin benzi simple

Cronograma (historiograma)

O categorie foarte importanta de serii o constituie seriile cronologice, a caror reprezentare grafica se realizeaza prin cronograme. Trasarea unei cronograme se realizeaza intr-un sistem de axe rectangulare.

Se considera seria cronologica de forma (1.7):

unde: , reprezinta momentele (sau perioadele) de timp care se reprezinta pe axa absciselor, iar marimile y_t se reprezinta pe axa ordonatelor. Fiecarei perechi de valori (t, y_t), ii corespunde un punct in planul axelor rectangulare. Unind prin segmente de dreapta punctele consecutive, astfel determinate, se obtine ceea ce se numeste cronograma.

In acelasi sistem de axe pot fi reprezentate una sau mai multe serii cronologice, care pot fi exprimate in aceeasi unitate de masura sau in unitati de masura diferite. Cronogramele asociate unor serii cronologice ne permit compararea fenomenelor surprinse de asemenea serii si sesizarea perioadelor critice in evolutia acestora.

Exemplu.

Din Anuarul Statistic al Romaniei din anul 2000 am extras seria care urmeaza, redand numarul total ta autoturisme inscrise in circulatie la sfarsitul anului in Romania in perioada 1994-1999.

Figura 2.4 Cronograma

Norul statistic

Norul statistic constituie o modalitate de reprezentare grafica a seriilor atributive de repartitie bidimensionale.

Se considera o serie bidimensionala de repartitie in raport cu variabilele discrete X si Y. In sistemul de axe rectangulare xOy se marcheaza toate punctele de coordonate (x_j, y_i ); pentru care frecventele N_ij ¹ . Marimea acestor frecvente se poate marca pe grafic in doua moduri:

daca frecventele sunt mici, atunci pentru fiecare punct de pe grafic
(x_j, y_i );     pentru care N_ij ¹ , se marcheaza atatea puncte de cate ori se repeta perechea respectiva.

daca insa frecventele sunt prea mari, pentru marcarea lor pe grafic se pot utiliza diagrame areale prin cercuri ale caror arii trebuie sa fie proportionale cu radacina patrata a frecventelor pe care le reprezinta.

In cazul in care cele doua variabile X si Y sunt continue, intrucat la intersectia a doua intervale se formeaza o rubrica (casuta), frecventele diferite de zero se reprezinta in interiorul acestei rubrici, fie prin puncte, fie prin diagrame areale cu respectarea unuia din cele doua moduri de elaborare mai sus amintite.

Exemplu

Un produs a fost lansat simultan pe 13 piete. Pe aceste piete, produsul a fost propus la preturi diferite (P), veniturile consumatorilor (V) fiind si ele diferite. Pentru fiecare piata s-a inregistrat un anumit nivel al cererii (C), rezultatele fiind sintetizate in tabelul urmator:

Figura 2.5 Norul de puncte in raport cu Pret si Cerere

Cartograma si cartodiagrama

Aceste tipuri de grafice se folosesc frecvent pentru reprezentarea grafica a seriilor statistice de spatiu.

Realizarea unei cartograme sau a unei cartodiagrame presupune conturarea spatiului (sub forma de harta) in interiorul caruia se manifesta fenomenul care este cuantificat de seria de reprezentat. In interiorul hartii astfel realizata, prin diverse culori sau nuante ale aceleiasi culori, prin hasuri sau prin diferite diagrame, este evidentiata intensitatea dezvoltarii fenomenului cercetat precum si marimea indicatorilor seriei.

Cartodiagrama constituie o modalitate de reprezentare grafica a seriilor de spatiu, realizandu-se ca o imbinare intre cartograma si diferite alte tipuri de diagrame, ca de exemplu diagrame prin benzi, cerc, patrat, dreptunghi etc. De exemplu, pentru a reprezenta o serie de spatiu ce exprima volumul investitiilor straine pe judete, la noi in tara, se procedeaza astfel: in primul rand se deseneaza harta Romaniei, delimitandu-se judetele; in cadrul fiecarui judet se deseneaza o figura geometrica oarecare convenabil aleasa, a carei arie sau marime sa fie direct proportionala cu volumul investitiilor straine din judetul respectiv.

Probleme propuse

P1. Dati 5 exemple de populatii statistice a caror cercetare ar prezenta interes si pentru fiecare populatie selectata precizati:

denumirea populatiei, a unitatii statistice si volumul acesteia;

scopul cercetarii statistice;

variabilele statistice in raport cu care s-ar face observarea statistica a populatiei.

P2. Sa se extraga din Anuarul Statistic sau alte surse informationale o serie statistica bidimensionala ce reda distributia unei populatii in raport cu doua variabile atributive, relativ la care se cere:

denumirea populatiei ce a fost supusa observarii si volumul acesteia;

unitatea statistica;

caracterizarea variabilelor statistice in raport cu care a fost studiata populatia;

caracterizarea seriei statistice in raport cu toate criteriile cunoscute;

elaborarea seriei bidimensionale formata cu frecvente relative, interpretare;

extragerea repartitiilor unidimensionale marginale si a celor conditionate;

pornind de la o repartitie marginala deduceti celelalte serii statistice posibile, interpretare.

P3. Din Anuarul Statistic sau alte surse informationale extrageti o serie statistica de repartitie, avand la baza o variabila de spatiu, relativ la care se cere:

denumirea populatiei statistice si volumului ei;

unitatea statistica;

caracterizarea seriei dupa toate criteriile cunoscute;

deducerea seriei formata cu frecvente

interpretare.

P4. Din Anuarul Statistic sau alte surse informationale extrageti doua serii cronologice avand la baza indicatorul de nivel, una de momente, alta de intervale si deduceti seriile formate cu diferente absolute, indici statistici, diferente relative, cu baza fixa si cu baza in lant (interpretari).

P5. Dati 5 exemple de serii cronologice avand la baza indicatorul relativ de intensitate.

P6. Din Anuarul Statistic sau alte surse informationale extrageti o serie de spatiu formata cu indicator de nivel sau indicator relativ de intensitate si deduceti seriile formate cu diferente absolute, indici si diferente relative, calculate cu baza fixa. Interpretare.

P7. Extrageti 5 exemple de serii de spatiu ce contin informatii importante pentru domeniul economic.

P8. Luand ca exemplu o populatie statistica studiata in raport cu un anumit numar de variabile (stabilite in raport cu obiectivul studiului), se cere:

elaborarea tuturor seriilor statistice de repartitie unidimensionale

elaborarea a trei serii statistice de repartitie bidimensionale ( una are la baza doua variabile calitative, una are la baza o variabila calitativa si o variabila cantitativa, una are la baza doua variabile cantitative)

reprezentarea grafica a: histogramei, poligonului frecventei, cercului de structura, diagramei prin benzi sau coloane, norul statistic, cronograma si cartograma.

Bibliografie:

Buiga, A., Metodologie de sondaj si analiza datelor in studiile de piata, Ed. Presa Universitara Clujeana, Cluj-Napoca, 2001;

Buiga, A., Dragos C., Lazar D., Parpucea I., Todea A., Statistica I, Ed. Presa Universitara Clujeana, Cluj-Napoca, 2003;

Florea I., Parpucea I., Buiga A.,    Statistica descriptiva, Ed. Continental,

Cluj-Napoca