Cuantizarea neuniforma - Curba de compresie optima

Cuantizarea neuniforma - Curba de compresie optima

Se cunosc īn principal trei metode de realizare a caracteristicii de cuantizare neuniforma:

compandarea analogica: se foloseste un coder liniar precedat de un compresor analogic si urmat de un expandor.

compandarea numerica: se foloseste, de asemenea, un coder liniar, deformarea caracteristicii de cuantizare realizāndu-se cu ajutorul unui convertor numeric conectat īntre coder si decoder.

codarea neliniara: deformarea caracteristicii de cuantizare se realizeaza direct īn coder, ce se numeste īn acest caz, neliniar.

Raportul semnal-zgomot nu depinde de metoda realizarii caracteristicii de cuantizare neuniforma. De aceea, fara a pierde din generalitate se poate considera ca folosirea unui cuantizor neuniform este echivalenta cu cuantizarea uniforma a unui semnal compresat si expandarea lui ulterioara. Prin urmare ne putem referi la compandarea analogica, schema bloc a sistemului fiind data īn Fig. 4-3.5, unde Q este un cuantizor uniform cu treapta

Curba de compresie optima

Drept curba de compresie poate fi aleasa orice curba continua si uniforma ce leaga originea axelor de coordonate cu punctul , cu conditia ca panta curbei īn origine sa fie, cu ,

(3.20)

Curba de compresie ce asigura puterea medie minima a zgomotului de cuantizare se gaseste tinānd seama de faptul ca daca numarul L al nivelelor de cuantizare este destul de mare (Fig. 4-3.6),

(3.21)

de unde:

(3.22)

Compresia dupa legea 

Caracteristicile de compresie cele mai folosite īn practica sunt de tip logaritmic (neoptimal). Pornind de la relatia (3.22) se pune conditia obtinerii unui RSZ constant indiferent de marimea semnalului.

Īntrucāt , iar , raportul va fi constant daca:

Cu alte cuvinte, RSZ va fi constant daca

(3.33)

Relatia (3.33) devine succesiv:

si  sau:

(3.34)

unde este o constanta.

Īn Fig. 4-3.6 facānd notatiile si , punctul M va avea coordonatele . Īn conformitate cu conditiile pe care trebuie sa le īndeplineasca o curba de compresie, este necesar ca functia (3.34) sa satisfaca relatiile:

(3.35a)

(3.35b)

Se observa īnsa ca relatia (3.35a) nu poate fi satisfacuta, avānd īn vedere ca se obtine De aceea se modifica functia , sub forma:

si īn aceasta situatie, din conditia:   , rezulta . Astfel, relatia (3.34) devine:

(3.36)

Constanta C se determina impunānd conditia (3.35b), anume:

Introducānd valoarea lui C īn (3.36) obtinem legea de compresie logaritmica, studiata de Smith, denumita 'legea ' :

(3.37)

Raportul īntre treapta maxima de cuantizare si cea minima, numit 'factor de compresie' are valoarea :

(3.38)

Derivānd relatia (3.37) obtinem :

(3.39)

si rezulta

Valoarea recomandata de UIT-T (aviz G.711) pentru , este . Cresterea RSZ la semnale slabe este determinata de raportul īntre panta curbei īn origine, pentru , si panta curbei pentru (lipsa compresiei, cuantizare uniforma). Se defineste astfel 'cāstigul compresiei', ca fiind:

(3.40)

Compresia dupa legea A

Īn Europa, la propunerea CEPT continuta īn recomandarea G711, se foloseste legea A definita astfel:

(3.44)

unde

Se observa ca partea incipienta a curbei este o dreapta de panta .
S-a ales un cāstig al compresiei, deci o panta īn origine (24 dB), de unde rezulta . Factorul de compresie este: .

Realizarea compandorului cu circuite analogice pune problema unei reciprocitati perfecte īntre compresorul de la emisie si expandorul de la receptie. De aceea, īn practica, īn scopul utilizarii circuitelor digitale, curba de compresie pentru esantioane pozitive si negative se aproximeaza cu segmente de dreapta numerotate pornind din origine:

legea , pentru , cu 15 segmente,

legea A, cu 13 segmente.

Pantele segmentelor succesive, si , se afla īn raportul . Īn cazul legii A, segmentele 0 si 1 sunt īn prelungire, adica au aceeasi panta (), iar segmentul 7 are panta , deci factorul de compresie practic obtinut este

Raportul semnal/zgomot de cuantizare

Am vazut ca, īn cazul cuantizarii uniforme, puterea zgomotului de cuantizare la bornele unei rezistente este , unde este marimea pasului de cuantizare.

Notānd cu valoarea instantanee a semnalului, se defineste raportul semnal/zgomot instantaneu prin relatia:

(3.45)

Tinānd seama de relatiile (3.22) si (3.44) si de faptul ca īn interiorul fiecarui segment cuantizarea este uniforma:

cu (numarul segmentului) (3.46)

īn care , iar L este  numarul nivelelor de cuantizare.

Pentru partea liniara a caracteristicii dupa legea A:

Astfel, pentru se obtine dB, iar pentru
se calculeaza ca dB.

Pe portiunea logaritmica a caracteristicii dupa legea A, deci pentru , se obtine:

, pentru .

Putem deduce de aici ca obiectivul obtinerii unui RSZ constant, cu ajutorul cuantizarii neuniforme, este atins īn cazul legii A pentru valori ale lui .

Recomandarea G.711 prin care se cere un dB pentru o dinamica de 40 dB a semnlului () conduce si la alegerea numarului de nivele (biti īn cuvāntul de cod).

Īn comparatie cu legea A, legea (cu ) asigura un mai bun la nivele foarte mici (Fig.4-3.7). Caracteristica dupa legea prezinta o portiune ce poate fi considerata liniara pentru si logaritmica īn rest. Din relatia (3.40) rezulta .

Ambele legi de compresie satisfac cerintele UIT-T, sunt foarte apropiate, dar cu toate acestea echipamentele (codec-urile) A si sunt incompatibile.

Spectrul zgomotului de cuantizare

Īn scopul rezolvarii problemelor care apar īn legatura cu determinarea RSZ la iesirea caii de transmisiuni este util sa cunoastem, pe lānga puterea media a zgomotului de cuantizare si distributia sa spectrala. Calculul riguros al spectrului zgomotului de cuantizare face obiectul unui mare numar de lucrari, este foarte laborios si īn general fara un interes practic deosebit.

Ca mod de abordare, se calculeaza mai īntāi functia de autocorelatie a zgomotului de cuantizare si apoi prin transformata Fourier a acesteia se obtine densitatea spectrala de putere cautata. Dificultatea, īn cazul semnalului telefonic, rezida īn faptul ca depinde de intensitatea semnalului, caracteristica cuantizorului, caracterul sunetelor (vocalizate sau nu) etc.

Problema se poate simplifica, īn scopul evaluarii rapide a spectrului, considerānd ca semnalul eroare de cuantizare este diferenta dintre semnalul cuantizat si semnalul esantionat cu mentinere, cum de altfel se si īntāmpla īn practica, si nu diferenta dintre semnalul cuantizat si cel analogic, continuu īn timp.

Ca rezultat, semnalul eroare va fi un semnal aleatoriu īn trepte,
de durata , cu valori īntre si si medie nula. Daca numarul intervalelor de cuantizare este suficient de mare, valorile succesive ale treptelor nu sunt corelate. Functia de autocorelatie va fi prin urmare un impuls triunghiular cu durata si

Transformata Fourier corespunzatoare :

(3.47)

reprezinta densitatea spectrala de putere a zgomotului de cuantizare. Dupa filtrarea trece-jos si corectarea distorsiunii de amplitudine īn īn banda densitatea spectrala de putere va fi constanta (zgomot alb), iar puterea zgomotului de cuantizare disipata īntr-o rezistenta de va fi:

(3.48)

Rezulta ca alegānd o frecventa de esantionare si filtrānd trece-jos la frecventa , se poate obtine o īmbunatatire a RSZ īn raportul .