Pozitionarea cu ajutorul tehnologiei GPS

Pozitionarea cu ajutorul tehnologiei GPS

Ca problema practica, pozitionarea cu ajutorul tehnologiei GPS se realizeza prin determinarea distantelor dintre punctul de statie si satelitii GPS vizibili, matematic fiind necesare masuratori la minimum 4 sateliti. Acest numar de sateliti este necesar pentru a ne putea pozitiona cat se poate de precis, numai pe baza distantelor masurate la sateliti.

Daca am avea masuratori la un singur satelit si am cunoaste pozitia acestuia, cu o singura distanta, pozitia noastra in spatiu ar fi pe o sfera cu centrul in pozitia satelitului si cu raza, distanta masurata.

Masurand distante la doi sateliti pozitia noastra se "imbunatateste", in sensul ca ne aflam pe un cerc generat de intersectia celor doua sfere care au in centru cei doi sateliti si in functie de distanta dintre acestia, cercul nostru de pozitie are o raza mai mare sau mai mica. Pozitia noastra se imbunatateste substantial in momentul in care avem masuratori si la un al treilea satelit, care deja ne localizeaza in doua doua puncte din spatiu. Aceste doua puncte sunt date de intersectia ultimei sfere, cu centrul in cel de al treilea satelit, cu cercul generat de primele doua sfere determinate. Sigur ca in acest moment putem, relativ usor, sa ne stabilim punctul in care ne aflam, insa pentru a fi rigurosi este necesara a patra masuratoare fata de un al patrulea satelit si atunci in mod cert puncul pozitionarii noastre va fi unic.

Pozitionarea se realizeaza cu ajutorul retrointersectiei spatiale de distante, in sistemul de referinta, reprezentat de elipsoidul WGS84. Fata de coordonatele spatiale care definesc permanent pozitia fiecarui satelit GPS (S^j) , in acest sistem de referinta, coordonatele spatiale ale oricarui punct de pe suprafata Pamantului (P_i) se pot determina cu deosebita precizie prin intermediul masurarii unui numar suficient de distante de la satelitii receptionati de receptorul din punctul P.

Dupa cum se poate vedea din Fig.1.3, vectorial, pozitia punctului P este rezolvata prin determinarea vectorului de pozitie R:

(1.8)

(1.9)

Vectorul "r " , reprezinta vectorul de pozitie al satelitului observat la momentul "t", vectorul "r reprezinta vectorul distanta de la punctul considerat la satelit, iar vectorul "R" rezultat din formula (1.9), reprezinta vectorul de pozitie al punctului P.

Distanta geometrica (Fig.1.3) poate fi exprimata de relatia:

(1.10)

Pozitionarea cu ajutorul tehnologiei GPS se poate face in diferite modalitati:

Fig.1.3 - Vectorul spatial care se masoara

Pozitionare absoluta: coordonatele punctului P sunt determinate intr-un sistem de pozitionare globala, masuratorile pentru determinarea coordonatelor spatiale ale punctului P facandu-se cu doua receptoare GPS, din care unul amplasat pe un punct care are deja coordonate tridimensionale determinate intr-un sistem de referinta global (WGS84, ITRFxx, EUREF, etc).

Pozitionare relativa: sunt determinate diferentele de coordonate intre doua puncte sau componentele vectorului (baseline), ce uneste cele doua puncte stationate cu receptoare GPS. Prin aceasta modalitate se reduc sau se elimina erorile sistematice (bias), de care este afectata distanta dintre cele doua puncte.

Pozitionare diferentiala: este asemanatoare,ca procedeu, cu pozitionarea absoluta cu deosebirea ca eroarea care afecteaza distanta de la satelit la receptor este calculata si aplicata in timp real, ca o corectie diferentiala, data de catre receptorul care stationeaza pe un punct de coordonate cunoscute (base), catre receptorul care stationeaza in punctul nou.

Ca si la pozitionarea relativa, sunt eliminate sau diminuate erorile sistematice care afecteaza masuratorile GPS.

Masuratorile GPS, in geodezie sau ridicari topografice, se pot executa prin doua metode principale, care in functie de situatie, de aparatura, etc. au fiecare diferite variante:

Metoda statica care presupune masuratori cu doua sau mai multe receptoare GPS, amplasate pe punctele care urmeaza sa fie determinate si care sunt stationate, simultan, o perioada mai mare de timp, denumita sesiune de observatii. Durata acesteia este stabilita in functie de lungimea laturilor, numarului de sateliti utilizabili, de geometria segmentului spatial observabil, evaluata de PDOP (Position Dilution of Precision), precum si de precizia de determinare a punctelor noii retele.

Metoda cinematica presupune masuratori cu doua sau mai multe receptoare, din care unul amplasat pe un punct cu coordonate cunoscute (base) si restul recepoarelor sunt in miscare continua sau cu stationari foarte scurte.

In functie de metoda de masurare (achizitie a datelor), coordonatele se pot obtine prin post-procesare sau in timp real, situatie in care coordonatele sunt disponibile la teren.

In toate cazurile problema de baza este de a determina distanta (range) intre receptor si satelitii GPS, care se poate realiza prin doua doua tipuri de observatii:

Masurarea fazei codurilor din componenta activa a semnalului.

Masurarea fazei purtatoarei semnalului (carrier phase).

Aceasta a doua metoda de realizare a masuratorilor GPS, prezinta o importanta deosebita pentru aplicarea acestei tehnologii in domeniul geodeziei.

1 Pozitionarea prin masurarea fazei codurilor

Aceasta metoda de determinare a "timpului de zbor" al semnalului, respectiv a intervalului de timp necesar pentru parcurgerea de catre semnalul emis de satelit, a distantei de la satelit la receptor, se realizeaza utilizand componenta semnalului continuta de codul disponibil, respectiv C/A sau P.

Determinarea se realizeaza prin intermediul unui procedeu de corelare incrucisata a doua semnale, respectiv cel care soseste de la satelit la receptor si cel generat de receptor care este o replica identica cu cea a satelitului care a emis-o, recunoscut de receptor prin intermediul secventei PRN, numita si amprenta a satelitului receptionat.

Aceste doua semnale sunt identice intre ele dar, se gasesc decalate de timpul necesar pentru ca semnalul sa parcurga spatiul de la satelit la receptor (~ 20200km. in ~ 0.067 sec.).

Timpul de zbor "Dt" (Fig1.4), reprezinta decalajul de timp necesar pentru ca replica generata de receptor sa se alinieze perfect cu semnalul transmis de satelit.

Fig.1.4 - Timpul care se masoara

Daca notam cu R_i^j distanta considerata intre satelitul "j" si receptorul "i" teoretic aceasta poate fi obtinuta cu ajutorul relatiei cunoscute:

(1.11)

Fig.1.5 - Origini de timp GPS

Distanta determinata in acest mod nu reprezinta asa numita "pseudodistanta", deoarece ceasurile receptorului si satelitului nu sunt sincronizate, intre ele existand o eroare de ceas (offset).

Considerand ca in exemplul urmarit sunt trei origini de timp GPS, dupa cum se poate vedea in Fig.1.5, rezulta:

originea timpului atomic "ta care se considera referinta fundamentala;

originea timpului ceasurilor de pe satelit "t^j";

originea timpului ceasului receptorului "t_i";

Reducand toate originile de timp, la originea timpului atomic "ta , relatia (1.11) devine:

(1.13)

Ecuatia care exprima valoarea "pseudodistantei" la epoca "t" devine:

(1.14)

Masurarea pseudodistantelor poate fi realizata numai prin utilizarea codurilor, deoarece numai acestea pot da indicatii asupra momentului cand marca de timp este emisa de satelit si poate fi detectata de receptor.

Daca se considera ca toate ceasurile atomice de la bordul satelitilor sunt sincronizate, in aceasta ipoteza, totusi, nu se poate ca sa nu apara un decalaj intre ele, decalaj care sa aduca o eroare de ns (10^-9sec.), eroare care afecteaza distanta satelit-receptor, cu cca. 30cm.

Ceasurile receptoarelor GPS sunt ceasuri cu cuart, ceasuri a caror stabilitate in functionare este mult mai mica, cu cateva ordine de marime, decat ale ceasurilor atomice de la bordul satelitilor.

Se poate considera ca si aceste ceasuri pot fi sincronizate dar cu o eroare de aproximativ o ms (10^-3sec.), eroare care ar afecta distanta satelit - receptor cu cca.300 km.

Aceasta valoare nu poate fi acceptata si pentru eliminarea ei se considera, ca necunoscuta, eroarea de ceas a receptorului, d_i (t), la epoca de masurare. In aceste conditii, ecuatia care exprima valoarea pseudodistantei, capata forma:

(1.15)

Ca in orice orice alt gen de masuratori geodezice, observatiile GPS, prin care se determina pozitiile relative sau absolute ale unor puncte pe suprafata terestra, pot fi prelucrate prin metoda celor mai mici patrate.

Modelul matematic al prelucrarii se bazeaza pe conditia cunoscuta, in care numarul de observatii, este mult mai mare decat numarul de necunoscute.

Avand in vedere cele doua metode principale de efectuare a observatiilor, respectiv metoda statica si metoda cinematica, in ambele cazuri numarul de observatii este dat de parametrii nj si nt , unde:

nj = numarul de sateliti receptionati;

nt = numarul de epoci receptionate de la fiecare satelit vizibil (receptorul, in timpul observatiilor este in contact permanent cu toti satelitii si inregistreaza epocile masurate la anumite intervalle de timp, de exemplu in masuratorile statice la interval de 15 sau 30 secunde, in functie de tipul de masuratori care se executa);

In cadrul metodei statice de determinare a coordonatelor, cu ajutorul tehnologiei GPS, receptoarele stationeaza pe punctele care urmeaza a fi determinate, pentru diverse epoci de masurare in functie de preciziile de asteptat, necunoscutele fiind reprezentate de:

3 corectii, ce se calculeaza pentru cele trei coordonate tridimensionale ale fiecarui punct;

1 corectie pentru eroarea de ceas a fiecarui receptor pentru fiecare epoca, pentru un total de 3+nt necunoscute;

Modelul matematic poate fi definit de relatia:

in care:

Numarul minim de sateliti care conduc la o solutie este nj sateliti, care necesita un numar minim de nt epoci de masuratori. Cu acest model este posibila o solutie instantanee de pozitionare, unde cele 4 necunoscute sunt rezultatul fiecarei epoci generata de cel putin 4 sateliti.

Modelul care coincide cu nj sateliti si nt sau nt > 3 epoci de masuratori, pentru metoda de pozitionare statica, teoretic este posibil .

In practica, totusi rezultatul nu este acceptabil din cauza unei conditii proaste de configurare a sistemului de ecuatii de observatii care necesita epoci de masurare dispersate in timp, cum ar fi de exemplu la anumite ore, pentru a asigura o conformatie geometrica cat mai buna a constelatiei de sateliti vizibili.

In timp ce receptorul achizitioneaza 3 epoci la un interval de cateva secunde, satelitul parcurge intr-adevar o portiune scurta de orbita, aceasta situatie fiind comparabila cu o intersectie clasica cu o baza foarte scurta in care rezultatele de asteptat sunt slabe.

O alta situatie posibila consta in receptionarea a cel putin 3 epoci de masuratoare de la 2 sateliti, impreuna cu cel putin 3 epoci de la alti 2 sateliti. Aceasta situatie este de asemenea destul de rara, dar este utila in circumsante speciale, cum ar fi de exemplu masuratorile GPS in centrele urbane, unde vizibilitatea la constelatia satelitara este obstructionata de constructii.

In cazul metodelor cinematice de determinare a coordonatelor punctelor, modelul de baza se obtine direct din consideratiile date de miscarea receptorului si din numarul de coordonate necunoscute ale statiilor care devine 3nt Impreuna cu cele nt necunoscute aferente corectiilor de ceas ale receptoarelor, numarul de necunoscute ajunge la 4nt

In acest caz modelul, definit de relatia (1.16) devine:

(1.18)

In metoda cinematica, pozitia si viteza de deplasare a receptorelor mobile poate fi determinata in timp real daca se obtin, simultan, masuratori de la cel putin aceeasi 4 sateliti.

2 Pozitionarea prin masurarea fazei undei purtatoare mixate

Lungimea (range), receptor - satelit, poate fi obtinuta si prin masurarea fazelor portantelor L si L , metoda presupunand urmarirea unui satelit "j" in lungul orbitei sale la o epoca initiala "t si respectiv la o epoca oarecare "t".

La momentul "t distanta (range) de la satelitul "j" la receptorul "i" poate fi exprimata ca o suma, data de numarul intreg de cicli ai undei de la satelit la receptor, plus o fractiune de lungime de unda, care exprima o fractiune de ciclu intreg de lungime de unda.

In realitate, aceasta este marimea care se masoara, in timp ce numarul de cicli intregi denumit "ambiguitate de faze", ramane ca o noua necunoscuta pentru fiecare satelit observat.

Daca observatiile au inceput la epoca "t , la epoca "t", satelitul a parcurs o portiune de orbita si la noua masuratoare (epoca) a distantei de la satelit la receptor, se va masura fractiunea de ciclu intreg de lungime de unda la momentul "t" si va apare necunoscuta aferenta momentului "t", pentru numarul care va exprima ciclii intregi de lungime de unda, respectiv ambiguitatea la momentul "t".

In acest caz, receptorul este in situatia de a determina fractiunea de ciclu intreg dar nu si ambiguitatea de faza, chiar daca aceasta se presupune ca ramane la aceeasi valoare.

Daca se presupune ca "ambiguitatea" ramane la aceeasi valoare trebuie mentinut contactul cu satelitul intre diferite epoci de masurare si pe urma continutul numarului intreg de cicli se schimba datorita miscarii relative a satelitului fata de receptor.

Pierderea contactului receptorului cu satelitul, generata in special de obstacole in calea semnalului, supranumita "cycle slip", provoaca aparitia unei noi ambiguitati de faza, necunoscuta care apare la fiecare intrerupere de semnal.

Fig. 1.6. Stabilirea pozitiei receptorului functie

de numarul de sateliti vizibili

Modelul matematic de masurare de faze are deci urmatoarea expresie (Hofmann-Wellenhof 1992):

unde:

- masuratoarea de faza, exprimata in cicli;

- lungimea de unda;

- distanta geometrica;

- ambiguitatea de faza (numar intreg de lungimi de unda), independenta de "t";

- frecventa semnalului de la satelit

- combinatii ale erorilor de ceas ale satelitului "j" si ale receptorului "i".

Facand substitutiile oferite de combinatiile erorilor de ceas, in relatia (1.19), rezulta:

(1.20)

in care produsele "f *d reprezinta contributiile erorilor de ceas ale satelitului si ale receptorului.

Utilizand notatiile folosite pana acum, numarul de observatii este de asemenea generat de produsul dintre "nj , numarul de sateliti vizibili si "nt , numarul de epoci inregistrate de la fiecare satelit, in conditiile in care numarul de necunoscute se majoreaza cu nj necunoscute ale ambiguitatilor de faza, respectiv cate o necunoscuta pentru fiecare satelit.

In cazul pozitionarii GPS prin metoda statica, pentru un punct singular modelul este dat de relatia:

(1.21)

unde:

(1.22)

Numarul minim de sateliti necesari, pentru ca sistemul sa admita o solutie este ca

nt = 2 sateliti, care necesita minimum nt = 5 epoci de masurare.

Si in acest caz, ceea ce s-a spus despre masuratoarea cu cod este valabil in sensul ca, aceasta solutie nu este practic utilizabila din cauza unor conditii geometrice dificil de realizat.

Alte solutii intregi se pot obtine pentru urmatoarele cazuri:

(1.23)

In cazul pozitionari GPS, prin metode cinematice pentru un punct singular, utilizand masurarea fazei undei purtatoare mixate, considerand 3nt necunoscute aferente la cele trei coordonate ale punctelor stationate de receptoarele care se deplaseaza (rovere), modelul de baza este dat de relatia:

(1.24)

unde:

(1.25)

Numarul minim de sateliti care admit obtinerea unei solutii este nj sateliti, fapt ce presupune un minimum de epoci de masurare nt epoci, dar este posibil sa se obtina solutii intregi si in alte configuratii, cum ar fi:

(1.26)

Este de consemnat ca, solutia cinematica pentru nt nu este posibila in cazul sistemului de pozitionare prin masurarea fazei undei purtatoare mixate.

In consecinta, pozitionarea cinematica cu masurare de faza e posibila numai daca cele nj necunoscute ale ambiguitatii de faza sunt cunoscute cu ajutorul procedurii tehnice numite "initializare", fara de care metodele cinematice nu pot functiona.

Cunoscand ambiguitatile, modelul "distante rezultate din masuratori de faze", din punctul de vedere al raportului necunoscute / ecuatii de erori, este echivalent cu modelul "distante rezultate din masuratori de coduri".