SOLITONI

O unda solitara este definita ca solutia limitata spatial, nedispersiva si nesingulara a unei teorii de camp. Datorita dispersiei si neliniaritatilor mediilor de propagare astfel de unde au fost considerate imposibil de realizat practic. Dispersia duce la largirea frontului undei, aceasta putand fii compensata de efectele neliniare care apar stabilizand viteza de propagare si forma undei.

In 1845 J. Scott Russell, mentiona pentru prima data existenta unei unde solitare in Raportul Asociatiei Britanice pentru Progresul Stiintei. Studiul sau se baza pe observarea propagarii unei unde pe sprafata apei. Experimentul sau nu a avut mare insemnatate, pana la descoperirea solitiei complete a ecuatiei hidrodinamice neliniare de catre D.J. Korteweg si G. de Vries, in 1895.

Pentru orice mediu neliniar, unda solitara sau solitonul reprezinta solutia fundamentala a ecutiei de camp. Solitonii si-au demonstrat aplicabilitatea in diferite domenii, precum fizica cuantica (modelarea particulelor elementare, modelul Skyrme), tehonologia informatiei sau, mai nou, in teorii multidimensionale.

Pentru sistemele de comunicatii prin fibra optica, notiunea de soliton descrie comportarea asemanatoare unei particule a impulsului optic la propagarea prin fibra optica: in anumite conditii impulsul se propaga nedistorsionat pe distante mari si rezista la coliziuni cu alte impulsuri. Studiile efectuate in anii 80 au aratat ca solitonii optici reprezinta o solutie pentru comunicatiile pe distanta mare.

Propagarea solitonilor optici reprezinta un compromis intre dispersia vitezei de grup si automodularea fazei, discutate in sectiunile anterioare, amandoua limitand performantele sistemelor optice prin actiunea lor asupra propagarii impulsurilor optice.

Fig. 1. Coliziunea a doua unde solitare, cu viteze si amplitudini difrerite; se observa ca dupa coliziune undele solitare isi pastraza forma si caracteristicile de propagare (obtinut prin simulare in Matlab).

Dispersia vitezei de grup largeste impulsul optic la propagarea acestuia prin fibra optica, exceptand cazul in care se introduce o variatie liniara de frecventa (chirp) aleasa corespunzator. In acest caz impulsurile optice sufera o contractie pe un domeniu limitat, atunci cand <0, unde reprezinta parametrul dispersiei de grup definit anterior. Automodularea fazei, datorate dependentei indicelui de refractie de intensitatea impulsului luminos, duce la o crestere liniara a frecentei (C>0). Astfel se poate realiza un sistem in care dispersia vitezei de grup si aoutomodularea fazei sa se anuleze reciproc, impulsul optic propagandu-se nedistorsionat, sub forma unui soliton optic.

1. Ecuatia de propagare

In fibrele optice, fiecare componenta de frecventa a impulsului transmis se propaga sub forma unei unde plane care poate fii scrisa ca:

, (1)

unde e reprezinta versorul polarizatiei, G(0,ω) este amplitudinea initiala a impulsului iar β constanta de propagare. F(x,y) reprezinta distributia campului in modul fundamental si poate fi aproximat cu o distributie gaussuana. In general F(x,y) este dependent de frecventa, dar pentru surse de lumina cu spectru ingust, dependenta se poate considera neglijabila. Diferite componente spectrale se propaga in interiorul fibrei dupa relatia

(2)

Amplitudinea corespunzatoare in domeniul timp se obtine efectuand transformata Fourier inversa a relatiei (2):

(3)

Pentru impulsuri cvasi-monocromatice (spectru optic ingust), se dezvolta in serie Taylor in jurul frecventei centrale , pastrandu-se numai componentele pana la ordinul 3:

, (4)

unde ,,

Inlocuind amplitudinea in domeniul timp definita prin relatia (3) cu o amplitudine lent-variabila in timp de forma

] (5)

si inlocuind in relatia (3) se obtine

(6)

unde este transformata Fourier a A(0,t).

Ecuatia (6) se poate scrie in domeniul timp sub forma

(7)

Ecuatia (7) reprezinta reprezinta ecuatia de propagare a impulsului optic in interiorul unei fibre optice dispersive. In absenta dispersiei () impulsul optic se propaga fara sa-si schimbe forma astfel incat .

2. Ecuatia Schrodinger neliniara

Pentru descrierea completa a ecuatiei solitunului este necesara rezolvarea ecuatiei de propagare intr-un mediu dispersiv si neliniar. Este necesar asfel ca in ecuatia de propagare sa se introduca si efectele neliniare. Deoarece fibra optica este slab neliniara (dependenta de intensitate a indicelui de refractie este <0.000001) efectul automodularii fazei poate fii reprezentat prin introducerea unui termen corespunzator acesteia in membrul drept al ecuatiei.

(8)

Ecuatia (8) este suficient de precisa pentru a descrie propagarea unui impuls optic cu durata de ordinul picosecundelor. Pentru impulsuri mai scurte de 1 ps trebuie incluse si efecte neliniare de ordin superior. Ecuatia se poate simplifica si mai mult considerand cazul in care se lucreaza cu lungimi de unda departate de lungimea de unda cu dispersie zero, se poate neglija efectul dispersiei de ordin superior fata de cel al dispersiei vitezei de grup (β

Daca se scrie ecuatia (8) intr-o forma normalizata, folosind schimbarile de variabile

, (9)

unde T₀ este durata impulsului iar P₀ este puterea de varf, ecuatia (8) se transforma in

(10)

(11)

Relatia (10) reprezinta ecuatia Schrodinger neliniara.

Ecuatia Schrodinger neliniara se poate rezolva exact pentru orice valoare ca β . Solutiile sub forma de impuls apar pentru β <0, acestea fiind numite si solitoni stalucitori. Pentru, β >0 solutiile reprezinta o scufundare pe un fundal constant (solitoni intunecati).

2.1 Solitoni stralucitori

In acest caz ecuatia Schrodinger neliniara devine:

(12)

Parametrul N poate fii eliminat din ecuatia (12) daca se face schimbarea de variabila u=NU. Ecuatia (12) devine astfel:

(13)

Daca reprezinta o solutie, se arata ca si , unde este o constanta arbitrara, este o solutie a ecuatiei (13). Ecuatia se poate rezlova prin metoda imprastierii inverse (inverse scattering method), daca se considera u solutie a sistemului:

(14)

unde reprezinta amplitudinile a doua unde difuzate de Variabila are acelasi rol ca si frecventa din analiza Fourier obisnuita, putand lua si valori complexe. Solutia generala se obtine reconstituind din cele doua unde imprastiate, reprezentand unul din cei N poli caracteristici:

, (15)

unde . (15.a)

se obtine rezolvand sistemul de ecuatii liniare:

(16)

Polii sunt in general complecsi si au forma . Din punct de vedere fizic partea reala a reprezinta viteza de grup asociata componentei i. Deoarece viteza de grup trebuie mentinuta constanta se gasesc pe o linie paralela cu axa imaginara, rezultand pentru orice i. Aceasta observatie simplifica solutia genereala obtinuta prin relatia (15.a). Parametrul δ reprezinta o variatie de frecventa a solitonului in jurul frecventei purtatoare .

Se arata ca solutia sub forma de unda solitara (soliton) a ecuatiei nu exista decat pentru N intreg. Solutia ecuatiei Schrodinger neliniare pentru N=1 se numeste soliton fundamental deoarece forma sa nu se schimba in timpul propagarii. Solutiile corespunzatoare altor valori ale parametrului N se numesc solitoni de ordin superior. Astfel parametrul N reprezinta ordinul solutiei. Notand cu , perioada solitonului de ordin N, adica distanta la care impulsul optic isi recapata forma initiala, . Pentru valori ale N≠1, impulsul optic se contracta, se imparte in impulsuri mai mici si apoi revine la forma initiala in apropiere de .

Solitonul fundamental stralucitor

Pentru N=1, , in calcule intervine un singur pol iar solutia se determina rezolvand sistemul (16) pentru i=k=1, obtinand astfel . Inlocuind in (15) se obtine solutia fundamentala

=.

Exprimand si introducand paramentrii si astfel incat se obtine formula generala de propagare a solitonului fundamental:

(18)

deci solutia fundamentala reprezinta o clasa de solutii, caracterizata de parametrii , , si , adica, respectiv, frecventa, amplitudinea, pozitia maximului fata de originea timpului si faza solitonului, iar este functia secanta hiperbolica. Pentru un soliton nu conteaza faza sa absoluta, de aceea se poate considera =0. Mai mult se poate renunta si la parametrul , daca consideram impulsul este maxim la si , devenind astfel 0. Se poate renunta de asemenea la parametrul daca se lucreaza la o frecventa apropiata de ferecventa purtatoare. Astfel se reduce numarul de parametrii ai unei clase de solitoni, de la 4 parametrii la doar unul. Solutia fundamnetala reprezinta o clasa de solitoni caractertizati de parametrul :

(19)

Parametrul determina nu numai amplitudinea solitonului dar si durata acestuia. Durata este invers proportionla cu amplitudinea solitonului. Daca se foloseste forma canonica a solitonului fundamental, U(0,0)=1, asa incat =1 se obtine:

(20)

Se arata astfel ca forma ideala a impulsului de la intrare pentru propagarea sub forma unui soliton fundamental este cea a secantei hiperbolice.

Solutia in cazul N=1 se poate obtine si direct din ecuatia (12) si are forma:

Inlocuind valoarea amplitudinii obtinute prin relatia (21) in ecuatia (12), si separand partea reala si cea imaginara, se obtine un sistem de 2 ecuatii:

, K reprezinta o constanta de integrare. (22)

V este independent de , deoarece solitonul fundamental isi mentine forma in timpul propagarii. Faza poate fii dependenta de sau . In ecuatia fazei se presupune ca nu exista variatie de frecventa (=0). Ecuatia a 2-a se rezolva inmultind cu si integrand dupa τ, obtinandu-se:

(23)

Utilizand conditiile la limita, adica la , V=0 si =0, iar la V=1, se obtine K=1/2 iar C=0, ecuatia fazei devenind astfel si integrand se in relatia (23) se obtine .

Astfel din relatia (22) si (23) se obtine solutia fundamentala completa a ecuatiei Schrodinger neliniara:

(24)

Fig. 2. Propagarea unui soliton fundamental, cu durata =10 ps, in conditii idealizate fara atenuare (obtinut prin simulare in Matlab, in coditiile prezentate in Anexa 2).

Pentru fibre optice solutia (24), indica faptul ca un impuls optic cu profilul secantei hiperbolice, cu o durata si o putere de varf alese astfel incat N=1, lansat intr-o fibra optica idealizata, fara atenuare se propaga nedistorsionat, pe distante infinit de mari, desi sufera o variatie a fazei. Puterea de varf necesara lansarii unui impuls sub forma unui soliton fundamental este data de relatia . Astfel pentru = - 1 ps²/km si = 3 W^-1km^-1, folosind fibre optice cu dispersie translatata, operand la 1550 nm, se determina =1 W, pentru =1 ps, si ajunge la =10 mW pentru =10 ps.

Solitoni stralucitori de ordin superior

Pentru solitonii de ordin superior diferitele combinatii de ale parametrilor determina o infinitate de valori ale si deci o infinitate de forme ale impulsurilor initiale. Daca se considera ca impulsurile optice de la intrare prezinta o simetrie la momentul de timp=0 numarul de combinatii se reduce, . Pentru un soliton de ordin 2, considerand si se obtine solutia:

(25)

Fig. Propagarea unui soliton de ordin 2, lungimea de dispersie fiind = 50 km (a), propagarea unui soliton de ordin 2 pe o perioada a solitonului, =78,54 km (b) (obtinut prin simulare in Matlab, in coditiile prezentate in Anexa 2)

Pentru a intelege evolutia periodica a solitonilor de ordin superior trebuie studiat spectrul impulsului optic la propagarea acestuia prin fibra optica. Automodularea fazei determina o largire a spectrului iar dispersia vitezei de grup determina o comprimare a spectrului. Interatiunea dintre dispersia vitezei de grup si automodularea fazei determina evolutia solitonilor din figura (a), solitonii de ordin superior putand fii recuperati complet, dupa mai multe perioade ale solitonului.

2.2. Solitoni intunecati

Solitonii intunecati reprezinta solutia la ecuatia Schrodinger neliniara in care sgn(β

(26)

Similar cazului din paragraful anterior se poate exprima si se rezolva sistemul de ecuatii pentru obtinerea lui V si . Diferenta de rezolvare consta in limtele pe frontiera domeniului si anume devine o constanta (in loc de 0) la momentul .

Spre deosebire solutonii stralucitori, impulsul optic prezinta un minim la momentul de timp τ=0 si ampltudine constanta in rest. Deoarece la momentul τ=0 prezinta un minim pronuntat al amplidudinii, solutiile ecuatiei Schrodinger neliniare sunt supranumite solitoni intunecati. Pentru N=1, solutia fundamentala a ecuatiei este:

(27)

unde K este o constanta, B cuprins in intervalul [01], iar este faza dependenta de timp,

(28)

Parametrii si reprezinta amplitudinea, respectiv pozitia minimului. La fel ca si in cazul solitonilor stralucitori se poate alege =0, fara a se modifica forma impulsului in propagare. Solutia fundamentala reprezinta o clasa de solutii caracterizata de , a caror latime este invers proportionala cu B.

Pentru impuls de forma (adica tangenta hiperbolica), cu B=1 si =1, se arata numeric ca impulsul de la intrare se apropie ca forma de solitonul intunecat fundamental.

Pentru =1, solutiile de ordin N descriu o familie de solitoni caracterizati de parametrul B. In functie de acesta, minimul de amplitudine creste cu cat B se apropie de 1, ramanand constant in timpul propagarii. Din aceasta cauza B se mai numeste si parametrul de "intunecare", iar solutiile in cazul B=1, purtand numele de solitoni negri, iar pentru B<1 solitoni gri.

O caracteristica a solitonilor intunecati este variatia in timp a fazei, ducand la o variatie de frecventa, in contrast cu solitonii stralucitori care nu prezinta variatie de faza. Solutiile de ordin superior nu mai prezinta o periodicitate in propagare ca in cazul solitonilor stralucitori.. Rezolvarea numerica a ecuatiei (26), in cazul , pentru N=3, B=1 arata ca impulsul optic se imparte in 2 perechi de solitoni gri care se departeaza una de cealalta datorita vitezelor de grup diferite. In cazul general, la propagarea unui soliton negru de ordin N se obtin N-1 perechi de solitoni gri.

(a) (b)

Fig.4. Propagarea unui soliton intunecat, B=1, in cazul idealizat fara atenuare (a), forma impulsului la intrare in functie de parametrul B (b) (obtinut prin simulare in Matlab, in coditiile prezentate in Anexa 2) .

Fig.5. Propagarea unui soliton intunecat de ordin 3, B=1, cazul idealizat (reprodus dupa referinta).

Solutia cea mai simpla pentru a obtine o succesiune de solitoni intunecati corespunzatoare unei succesiuni de biti, este aceea de a o obtine direct din formatul NRZ (se emite un impuls optic numai pentru bitii de "1"). Semnalul corespunzator formatului NRZ si semnalul de ceas se aplica unei porti "SI" (AND). Semnalul rezultat la iesirea portii "SI" este aplicat unui circuit flip-flop care a rolul de a transforma fronturile crescatoare in fronturi descrescatoare si invers. Semnalul electric rezultat actioneaza un modulator Mach-Zehnder LiNbO3 care transforma unda continua de la iesierea unui laser cu semiconductori, intr-o succesiune de solitoni intunecati. Aceasta tehnica a permis obtinerea unei rate de bit de 10 Gb/s pe o distanta de 1200 km, folosind solitoni intunecati.

Simularile numerice au aratat ca solitonii intunecati sunt mai stabili in prezenta zgomotului si dispersia lor este mai mica in prezenta atenuarii decat solitonii intunecati. Solitonii intunecati sunt, de asemenea, mai putin afectati de zgomotul amplificatoarelor si de difuzia Raman intrapuls.

Stabilitatea solitonilor

Se considera cazul in care forma initiala a impulsului nu corespunde perfect cu cerintele de durata si putere pentru care ordinul solitonului este un numar intreg. Impulsul optic isi modifica forma si durata la propagarea prin fibra optica si evolueaza intr-un soliton, dar pierzand o parte din energia sa datorita acestui proces. Pentru >>1, impulsul evolueaza asimtotic spre un soliton, ala carui ordin este cel mai apropiat de N:

, <1/2

corespunzator unui impuls optic a carui forma initiala este

Impulsul optic se largeste daca <0 si se ingusteaza daca >0. Solitonul fundamental nu se poate forma daca N<1/2.

Daca se lanseaza in fibra optica un impuls cu distributie gaussiana cu distributia initiala , si N=1, forma acestuia variaza la propagare datorita deviatiilor de la profilul secantei hiperbolice dar evolueaza asimtotic spre solitonul fundamental. Dupa o distanta =5 (corespunzatoare a aproximativ trei perioade ale solitonului). De asemenea, un impuls cu distributie super-gaussiana evolueaza asimtotic spre solitonul fundamental.

Solitonii se pot forma pentru N in cuprins in intervalul N-0,5<N<N+0,5 din acest motiv puterea de varf si durata putand oscila intr-un interval mult mai larg, fara a afecta propagarea acestora. O astfel de lipsa a sensibilitatii fata de paramentrii de intrare duce la posibilitatea de folosi practic solitonii. Trebuie tinut cont si de faptul ca deviatii mari ale parametrilor de intrare de la cei ideali produc pierderi de energie sub forma unor unde dispersive pana la formarea solitonului fundamental. Astfel de pierderi nu sunt de dorit deoarece afecteaza performatele sistemelor de comunicatii si modifica ale caracterisiticilor solitonului.

4. Cresterea duratei impulsului optic datorita atenuarii pe fibra optica

Solitonii sunt utili in comunicatiile optice datorita proprietii de a-si mentine constanta forma (durata impulsului optic) la propagare in prezenta dispersiei. Aceasta proprietate este valabila numai daca efectul atenuarii pe fibra optica este neglijabil. Daca atenuarea nu poate fii neglijabila, va trebui sa se tina cont in calcul si de efectul acesteia. In prezenta atenuarii, energia solitonului va scade, reducandu-se astfel puterea de varf a impulsului, deci efectul neliniar nu mai poate compensa decat o parte din dispersia vitezei de grup.

Considerand o fibra optica cu coeficientul de atenuare α, efectul atenuarii asupra propagarii corespunde introducerii unui termen in membrul drept al ecuatiei Schrodinger neliniare:

(29)

Ecuatia se rezolva prin aceeasi metoda ca in paragraful anterior, considerand Γ<<1, atfel termenul corespunzator atenuarii sa poata fii considerat perturbatie. Pentru propagarea sub forma solitonului fundamental solutia aproximativa a ecuatiei (29), determinata experimental este:

(30)

Fig. 6. Propagarea unui soliton fundamental in prezenta atenuarii, pentru Γ=0,035, pe o distanta de 300 km. (obtinut prin simulare in Matlab, in coditiile prezentate in Anexa 2)

Rezolvand numeric ecuatia (29), pentru Γ=0,035 se observa ca, in absenta efectelor neliniare, impulsul optic propagat este mult mai larg decat atunci cand se tine cont de efectele neliniare.

Astfel efectele neliniare sunt benefice pentru comunicatiile prin fibra optica, desi solitonul nu se poate mentine perfect datorita atenuarii. Aceasta proprietate poate fi folosita pentru a creste distanta intre repetoarele sistemelor optice afectate de dispersie, reducand considerabil costurile de operare. De asemenea, se pot folosi si proprietatile de comprimare ale impulsului optic de la solitonii de ordin superior pentru a creste distanta intre repetoare (injumatatirea numarului de repetoare pentru solitoni de ordin superior, folosind laseri cu semiconductori cu putere de varf de 3 mW, la o rata de bit de 8Gb/s). [vezi 27]

Fig. 7. Largirea duratei impulsului optic datorita atenuarii; curba punctata reprezinta cazul in care efectele neliniare nu se iau in considerare.

Atenuarea prin optica afecteaza auto-modularea fazei, cauzand o scadere a efectelor acesteia. Astfel proprietatile dispersive ale fibrei se pot modifica cu distanta pentru a pentru a compensa reducerea efectelor neliniare. Este necesar ca dispersia vitezei de grup sa scada cu distanta pentru a compensa efectele atenuarii. Daca se elimina termenul cosrespunzator atenuarii din ecuatia (13) folosind rezultand ecuatia:

(29')

unde . Daca se face schimbarea de variabila ecuatia (29') devine

(29'')

Daca se alege profilul dispersiei vitezei de grup astfel incat ecuatia (29'') sa se reduca la o ecuatie Schrodinger neliniara obisnuita, adica rezultand astfel. Astfel, daca puterea solitonului scade exponential datorita atenuarii, este necesar ca si sa scada exponential de-a lungul fibrei optice.

Practic s-au putut realiza fibre optice cu un profil al dispersiei vitezei de grup aproape exponential prin reducerea diametrului miezului fibrei optice, reducand contributia dispersiei de ghid. Tipic, dispersia vitezei de grup se poate reduce astfel de 10 ori pe o distanta de pana la 40 de kilometri, cu o precizie a parametrului dispersiei vitezei de grup de 0,1 ps² / km. Astfel de fibre sunt impractice datorita costurilor ridicate de realizare si datorita fragilitatii lor. Solutiile practice pentru a compensa atenuarea prin fibra optica sunt acelea care folosesc amplificatoare.

Compensarea efectului atenuarii prin amplificare

Se poate reduce efectul atenuarii prin fibra optica prin refacera periodica a formei impulsului optic si a puterii de varf cu care a fost emis initial. Astfel un amplificator este plasat periodic de-a lungul fibrei optice, iar atenuarea pe portiunea de fibra cuprinsa intre doua amplificatoare este compensata prin castigul amplificatorului.

Fig. 8. Scheme posibile de amplificare: amplificare directa si amplificare prin intermediul injectie de lumina (amplificatoare Raman sau EDFA)

Initial, pentru sistemele de comunicatie care foloseau solitoni, distanta intre doua amplificatoare, L, era cuprinsa in intervalul 1030 km, mai mica chiar decat pentu sistemele obisnuite, deoarece amplificatoarele obisnuite amplifica semnalul doar pe distante mici fara sa se ajunga la solitonul fundamental. Datorita amplificarii suplimentare, solitonul isi schimba proprietatile de propagare si o parte din energia lui se consuma pentru a se ajunge la echilibru si apare o dispersie suplimentara. Dispersia suplimentara se poate reduce daca se reduce distanta intre doua amplificatoare, L.

Simularile numerice au aratat nu se pot realiza sisteme de comunicatii eficiente daca se folosesc distante L comparabile cu perioada solitonului . In practica se folosesc sisteme cu L</10. Deoarece perioada solitonului depinde de durata impulsului T si de β , acasta poate varia intre 10 si 1000 km. Primele sisteme de comunicatii bazate pe solitoni aveau =100 km, ceea ce insemna L<20 km, la o rata de bit de 1Gb/s. Mai tarziu datorita perfectionarii fibrelor optice cu dispersie translatata sau putut obtine valori ale =5001000 km, ceea ce inseamana L=4060 km, deci comparabile cu sistemele clasice.

O metoda mai eficienta o reprezinta amplificarea solitonului pe toata lungimea fibrei. In acest scop se poate folosi difuzia Raman stimulata, care ofera un cistig constant pe toata lungimea fibrei (castigul Raman, ), daca se injecteaza lumina sub forma unei unde continue. Frecventa undei continue injectate trebuie sa fie mai mare decat frecventa purtatoare a solitonului. Valoarea tipica pentru fibrele optice din oxid de siliciu este de 13,2 THz. Castigul Raman intervine pe toata lungimea fibrei optice, deci N este apropiat de 1 pe toata lungimea de propagare, astfel solitonul ramane neschimbat pe distante infinite. In practica aceasta condtie nu este indeplinita in totalitate deoarece lumina injectata sufera la randul ei atenuare prin fibra. Astfel amplitudinea undei continue trebuie refacuta permanent de-a lungul fibrei, impreuna cu regenerarea solitonului. In functie de atenuarea pe fibra si de sensibilitatea regeneratoarelor la amplitudinea solitonului, se obtin L=5070 km.

opagat, in acest caz va cree lsul optite foarte mari.Primele experimente utilizand amplificarea Raman au folosit schema de amplificare din figura 9, pentru propagarea unui impuls sub forma solitonului fundamental pe o distanta de 10 km, atenuarea prin fibra fiind compensta de castigul Raman. In experiment s-au folosit doua lasere, unul pentru a produce impulsuri cu latime de 10 ps, operand la lungimea de unda de 1560 nm, iar celalalt pentru a injecta o unda continua la lungimea de unda 1460 nm pentru amplificarea solitonilor. In absenta amplificarii Raman, impulsul propagat s-a largit cu 50% datorita atenuarii pe fibra. Folosind fibre cu coeficient de atenuare α = 0,0414 1/km (0,18 dB/km), puterea necesara compensarii atenuarii este aproximativ 125 mW (1,8 dB). Impulsul rezultat este identic ca forma, durata si energie cu impulsul initial. Deviatiile de la forma ideala provin de la imposibilitatea de a realiza impulsuri optice care sa respecte perfect forma de secanta hiperbolica.

a) b)

Fig. 9. Schema amplificatorului Raman folosit in experimentele initiale (a); Impulsul optic propagat prin fibra optica, linia punctata reprezentand impulsul amplificat Raman (b).

Experimente recente au aratat ca, folosind amplificarea Raman, se poate realiza refacerea solitonului fundamental pe distante de 4000 km (o bucla de fibra de 42 km, parcursa de un soliton, cu latimea de 50 ps, de 96 de ori, prin injectarea unei unde continue cu lungimea de unda de 1460 nm, fara largirea semnificativa a latimii impulsului). Experimente ulterioare au demonstrat refacerea solitonului fundamental pe distante de 6000 km, fiind necesara o putere a undei continue de 500 mW. Dezavantajul metodei consta in faptul ca, lumina injectata sub forma unei unde continue trebuie sa depaseasca nivele de putere greu de realizat folosind laseri cu semiconductori. Amplificatoarele Raman necesare amplificarii sunt voluminoase ceea ce le face impractice.

Tehnologia actuala utilizeaza amplificatoarele bazate pe fibre optice dopate cu pamanturi rare (erbiu, tuliu, praseodiu). Acestea amplifica direct impulsul optic modulat, fara sa fie nevoie de conversia opto-electronica si de cea electrono-optica. Un astfel de amplificator este alcatuit din o portiune de fibra optica dopata cu pamanturi rare, iar in prezenta semnalului luminos, se aplica pe aceasta, energie din exterior (de obicei sub forma radiatiei infrarosii) pentru a amplifica semnalul util. Pentru lungimi de unda in gama 15251565 nm (banda "C") si pentru 15701610 nm (banda "L") se foloseste ca dopant erbiul. Pentru celelalte lungimi de unda se utilizeaza amplificatoare cu thuliu (14501490 nm) si praseodiu pentru 1300 nm. Lungimea de unda a radiatiei infrarosii folosita pentru amplificare poate lua 2 valori posibile: 980 nm (atenuare mai mare, dar zgomot de amplificare redus) sau 1480 nm (atenuare mai mica).

Fig. 10. Amplificatorul cu fibra dopata cu erbiu

Experimentele au aratat ca se pot folosi amplificatoarele din fibra dopata cu erbiu pentru mentinerea solitonului fundamental pe distante de ordinul a 10.000 km, deci aceasta tehnologie poate fii folosita pentru transmisiuni pe distante mari. Se estimeaza ca folosind EDFA sa se ajunga la un produs largime de banda-distanta de ordinul a 100 Tb/s-km.

4. Proiectarea sistemelor de comunicatii bazate pe solitoni

Pentru proiectarea sistemelor reale de comunicatii bazate pe solitoni trebuie sa se ia in considerare limitarile tehnologice. Limitarile tehnologice sunt datorate latimii solitonului, intervalului de timp intre doi solitoni succesivi, zgomotului amplificatoarelor, distanta intre amplificatoare.

4.1. Interactiunea solitonilor

Pentru propagarea sub forma solitonului fundamental, profilul impulsului optic trebuie sa fie cel al secantei hiperbolice. In plus latimea impulsului trebuie si puterea de varf trebuie sa fie strict controlate, pentru a mentine N=1.

Sistemele de comunicatii optice folosesc, pentru generarea secventei de biti, formatul "return-to-zero"(formatul RZ). In formatul RZ, bitii "1" se transmit sub forma de impuls, iar pentru "0" nu transmite semnal pe o peioada de bit. Fiecare soliton ocupa o fractiune mica din perioada de bit , B este rata de bit.

Fig. 11. Solitoni in format RZ corespunzator semnalului ".11101."

Ecuatia Schrodinger neliniara are drept solutie o unda unica. Efectul combinat a doua impulsuri optice nu reprezinta o solutie la ecuatia Schrodinger neliniara, aparand interactiuni in propagare. Ecuatia Schrodinger neliniara se rezolva inlocuind profilul secantei hiperbolice cu o distributie de amplitudine corespunzatoare unei perechi de solitoni:

(31)

unde r este amplitudinea relativa a celor doi solitoni, θ este faza relativa, iar reprezinta intervalul de timp normalizat intre 2 solitoni. Daca aceasta pereche de solitoni reprezinta impulsuri optice corespunde unei succesiuni de "1", sau . Deci rata de bit este invers proportionala cu durata implusului.

Pentru exemplificare se considera cazurile a doi solitoni succesivi de amplitudini egale, r=1, cu separarea relativa =5 si faza relativa θ=0, θ=π/8, θ=π/4 si θ=π/2. Se observa ca pentru θ=0 solitonii se atrag si se resping periodic, de-a lungul fibrei optice. In cazul θ=π/2 solitonii se resping unul pe celalat, separarea dintre ei crescand exponential, deci apar intarzieri considerabile in sistemul de comunicatii. Pentru a putea rezolva aceasta situatie suparatoare se mareste , deoarece efectul intercatiunii a doi solitoni depinde de acesta. Pentru suficient de mare deviatiilde de la pozitia initiala sunt minime.

Dependenta separarii relative dintre solitoni de distanta de obtine rezolvand ecuatia:

Solutia completa a aceste ecuatii este:

(33)

Cazul cel mai suparator este cel in care θ=0 pentru care . In acest caz q variaza periodic cu distanta. Perioada poate fii aproximata cu relatia:

(34)

Fig. 12. Coliziunea a doi solitoni in cazul solitoni succesivi de amplitudini egale, r=1, cu separarea relativa =5 si faza relativa, respectiv θ=0, θ=π/8, θ=π/4 si θ=π/2 (obtinut prin simulare in Matlab, in conditiile prezentate in Anexa 2)

Fig 1 Evolutiea separarii relative, q intre o pereche de solitoni, pentru diferite valori fazei relative, respectiv, θ=0, θ=π/6, θ=π/4 si θ=π/3 (obtinut prin simulare in Matlab, in conditiile prezentate in Anexa 2).

Daca este mult mai mare decat lungimea totala de transmisiune, , interactiunea solitonilor poate fii neglijata, deoarece deviatia solitonilor va fii mica. Rata de bit limitata de interactiunea solitonilor este:

(35)

Folosind valori tipice pentru comunicatiile prin fibra optica, , =346.000, =10.000 km, =10 si T =5 ps, se obtine o rata de bit de 10 Gb/s.

Daca se folosesc solitoni cu amplitudine inegala, cu r=1,1 (diferenta relativa de amplitudine 10%) si faza relativa , se arata ca desi interactioneaza periodic ca in cazul in care amplitudinile erau egale, separarea relativa ditr solitoni nu depaseste 10 %, daca >4. Desi amplitudinea variaza cu 10%, puterea de varf variaza cu doar 1%, ordinul solitonului remanand aproape neschimbat. Aceste variatii ale amplitudinii nu influenteaza propagarea sub forma solitonului fundamental.

4.2 Variatia liniara de frecventa

Propagarea sub forma solitonului fundamental implica, pe langa necesitatea ca impulsul la intrare sa aiba forma secantei hiperbolice, dar sa nu aiba nici o variatie liniara cu frecventa. Sursele de lumina existente au totusi o variatie liniara de frecventa (chirp). Variatia liniara de frecventa are un efect daunator asupra propagarii solitonului deoarece actioneaza asupra echilibrului dintre dispersia vitezei de grup si automodularea fazei.

Ecuatia impulsului la intrare este:

(36)

Parametrul C detremina varitia liniara a fazei. Daca C>0 frecventa optica creste. In absenta lui forma impulsului nu se schimba (propagare sub forma solitonului fundamnetal). Daca C=0.5, forma impulsului la propagare se schimba considerabil. Impulsul comprima, se largeste , iar apoi se comprima din nou spre forma initiala, dar prezinta oscilatii parazite de intensitate mica. Pentru C<0 impulsul se propaga la fel ca in cazul anterior, dar nu se mai comrima la inceput. Pentru valori ale C apropiate de zero, nu apar diferente semnificative, deoarece solitonii sunt insensibili la perturbatii mici.

Propagarea sub forma solitonului fundamental nu se mai realizeaza daca=1,64. Din aceasta cauza, variatia liniara de frecventa trebuie sa fie minima. Pentru C=0,5 se poate reface doar 83% din energia solitonului initial, iar pentru C=0,8 doar 62%.

Sistemele de comunicatii bazate pe solitoni necesita surse optice stabile in frecventa, de mare frecventa de repetitie, capabile sa produca impulsuri cu durate de ordinul picosecundelor, cat mai apropiate de profilul secantei hiperbolice. Folosind laseri cu semiconductori cu cavitate externa s-a ajuns la frecvente de repetitie de 2 GHz.

4. Distanta intre amplificatoare

Un parametru important in proiectarea sistemelor de comunicatii bazate pe solitoni il reprezinta distanta dintre doua amplificatoare alaturate, L. Din punct de vedere practic, L ar trebui sa fie cat se poate de mare pentru am reduce costurile. Pentru sisteme ce nu folosesc solitoni, L este aproximativ 100 km, pentru lungimea de unda de 1550 nm, folosind EDFA. Pentru sistemele ce folosesc solitoni, distanta L este mai mica, deoarece L depinde de mai multi parametrii.

Pentru determinarea distantei intre amplificatoare se rezolva ecuatia Schrodinger neliniara, in prezenta atenuarii. Amplitudinea solitonului este crescuta periodic, pentru a comapensa efectul atenuarii prin fibra optica.

(37)

Energia solitonului este amplificata la valoarea initiala de fiecare repetor. Performantele sistemelor depind de numarul amplificatoarelor ce pot folosite pentru o transmisiune corecta. Se poate realiza o transmisiune corecta pe distante de mii de kilometrii daca L este considerabil mai mic decit perioada solitonului . Daca se considera L<LD, distanta L poate fii exprimata prin:

(38)

Pentru comunicatii folosind fibre optice obisnuite, la lungimea de unda de 1550 nm, β =-20 ps²/km se obtine L<20 km pentru B=2,5 Gb/s si L<5 km pentru B=5 Gb/s. Daca se folosesc fibre optice cu dispersie translatata β =-2 ps²/km deci distanta intre amplificatoare creste de 10 ori. Asfel folosirea fibrelor optice cu dispersie translatata pare a fii solutia pentru comunicatii bazate pe solitoni. Dar aceasta este doar o estimare a limitei superioare a sistemului.

Valoarea exacta L depinde si de alti parametrii ai sistemului. Pentru a se evita fluctuatiile de amplitudine, durata sau energie este necesar ca L</10. Deci chiar si pentru B=2,5 Gb/s, distanta maxima e limitata la 20-30 km, desi se folosesc fibre optice cu dispersie translatata.

Valori mai mari se pot obtine daca se foloseste o preamplificare a solitonului, prin care puterea de virf este crescuta la limita maxima de propagare a impulsului sub forma solitonului fundamental (N=1,4). Ideea are la baza propagarea solitonului intr-un mediu fara atenuare desi nu este strict indeplinita conditia N=1. In acest caz impulsul propagat, desi comprimat initial, va tinde spre solitonul fundamental. In prezenta atenuarii impulsurile preamplicate se vor largi mai putin. Experimental s-a realizat o transmisiune pe o distanta de 10.000 km cu L=30 km. Desi semnalul a fost amplificat de peste 300 de ori, amplitudinea a ramas constanta, iar variatiile de durata au fost de 10%.

Efectul preamplificarilor poate fii exprimat printr-un model de propagare care sa includa si efectul amplificarilor repetate.

(39)

(40)

Efectul atenuarii consta in reducerea lui in timpul propagarii. Daca u nu variaza semnificativ intre doua amplificatoare, se poate defini o valoare medie a lui N, mediind pe distanta intre amplificatoare. Ecuatia (40) se reduce astfel la o ecuatie Schrodinger neliniara standard:

(41)

unde . Pentru ca intre doua amlificatoare impulsul optic sa se porpage sub forma solitonului fundamental Nmed=1, deci

(42)

La un castig de =20 dB, in prezenta unei atenuari de 0,2 dB/km se determina N=2,15, iar distanta intre amplificatoare L=100 km.

4.4. Limitari datorate zgomotului amplificatoarelor

Amplificatorele optice adauga zgomot semnalui util prin datorita emisiei spontane amplificate. Efectele zgomotului limiteaza performantele sistemelor duce la cresterea raportului semanal-zgomot, degradarea semnalului util depinzand de figura de zgomot a amplificatoarelor si de numarul de amplificatoare. Efectele cumulate ale emisiei spontane amplificate pot duce la stararea castigului. Sistemele de comunicatii folosind solitoni sunt afectate in mare masura de zgomot, distanta de transmisiune reducandu-se si aparand intarzieri suplimentare la receptie (jitter).

Emisia spontana amplificata introduce variatii de amplitudine si variatii de faza. Variatiile de amplitudinde duc la largirea impulsului optic, iar cele de faza modifica aleator frecventa purtatoare a solitonilor. Daca fluctuatiile de amplitudine sunt mici, efectul acestora este neglijabil. Fluctuatiile de frecventa purtatoare sunt insa perturbatoare. Cauza acestor perturbatii este faptul ca viteza de grup depinde de frecventa purtatoare , deoarece iar derivata este exprimata la frecventa . O variatie a duce la o variatie aleatoare a vitezei de grup a solitonului dupa fiecare amplificare. Asadar timpul de propagare a solitonului pe tot lantul de comunicatii variaza de la bit la bit intr-un mod aleator. Jitter-ul duce la pierderi de putere si la eronarea bitilor atunci cand ocupa o parte considerabila din perioda de bit.

Se poate calcula variatia jitter-ului presupunind ca fiecare amplificator produce un salt de faza independent de celelalte astfel incat intarzierea totala sa fie suma a M valori aleatoare, M reprezentand numarul total de amplificatoare din lantul de comunicatie. Daca se considera ca media patratica a valorii jitter-ului sa fie mai mic decat o fractiune din rata de bit B, distanta totala de transmisie, pentru un numar mare de amplificatoare, este limitata prin relatia:

(43)

Pentru a vedea cum zgomotul amplificatoarelor influenteaza sistemele de comunicatie folosind solitoni, se considera un sistem de comunicatii functionand la 1550 nm, cu =10, km^-1 (0,2 dB/km), 10 W^-1km^-1 si D=2 ps/(km-nm). Daca se considera =0,2 ca o valoare tolerabila a jitter-ului, trebuie sa fie sub 34.000 Gb/s-km. Astfel, un sistem de comunicatii cu o rata de bit de 5 Gb/s, este limitat la mai putin de 7000 de kilometri, chiar daca se folosesc fibre cu dispersie translatata, cu D=2 ps/(km-nm). Nu se pot realiza comunicatii transatlantice folosind solitoni, decat daca se folosesc fibre optice cu dispersie translatata, la o rata de bit maxima de 5 Gb/s.

5. Perturbarea solitonilor

In cazul perturbatiilor, ecuatia Schrodinger neliniara se transforma in:

(44)

unde este o perturbatie redusa care depinde de u, u* si derivatele acestora. In absenta perturbatiilor, =0 solutia ecuatiei este cea studiata in paragraful 2.1. Rezolvarea ecuatiei (44) se bazeaza se bazeaza pe faptul ca solutia este apropiata de cea a solitonului in cazul ideal, dar apar variatii in functie de ale ,,si :

(45)

In absenta perturbatiilor =0, si sunt constante, iar si se determina rezolvand ecuatiile diferentialesi .

Solutiile complete pentru cei patru parametrii se pot obtine prin metoda perturbatiei adiabatice, metoda transformarii Lie si metoda variationala. Folosind metoda variationala bazata pe formalismul Lagrange pentru mecanica clasica se obtine variatia completa a ,,si in functie de :

, (46)

, (47)

, (48)

(49)

6. Efecte de ordin superior in propagarea solitonilor

La proparagrea impulsurilor optice cu o durata ps, solutia ecuatiei Schrodinger neliniare nu mai descrie corect evolutia acestora, fiind necesara studierea efectelor de ordin superior care apar. Efectele de ordin superior care apar sunt: dispersia de ordin trei, auto-comprimarea solitonilor si difuzia Raman a implusului.

Efectele de ordin superior pot fii introduse in ecuatia (13) astfel:

(50)

presupunand ca si se neglijeaza atenuarea, . Parametrii, si corespund respectiv dispersiei de ordin 3, auto-ingustarii si difuziei Raman si expresiile lor sunt:

(51)

Acesti parametrii sunt neglijabili pentru ps. Valori tipice ale acestora sunt =0,03, =0,03 si =0,1 pentru impulsuri cu =30 fs si =1550 nm.

6.1. Dispersia de ordin 3

Pentru propagarea impulsurilor optice departe de lungimea de unda cu dispersie zero, dispersia de ordin 3 nu afecteaza seminificativ propagarea solitonilor. Efectul ei poate fii studiat daca se considera s=0 si =0 in ecuatia (50). Inlocuind in relatia (44) si rezolvand ecuatiile (46), (47), (48) si (49) se observa ca amplitudinea , frecventa si faza a solitonului nu se modifica, dar se modifica pozitia maximului :

(52)

Pentru un soliton fundamental =1 si =0, maximul solitonului se deplaseaza liniar cu , deoarece . Din punct de vedere fizic dispersia de ordin 3 incetineste implusul la propagarea acestuia prin fibra optica, rezultand o intarziere a maximului solitonului care creste liniar cu distanta. Efectul dispersiei de ordin 3 este neglijabil pentru impulsuri cu ps, pentru distante =100, chiar daca 0.

Pentru un impuls optic care se propaga in apropierea lungimii de unda cu dispersie zero (adica =0), nu se mai poate aplica ecuatia (50), fiind necesara introducerea unor noi variabile normate. Astfel, pentru distanta normalizata devine si , unde este panta dispersiei vitezei de grup, se obtine ecuatia urmatoarea forma a ecuatiei (50):

, iar (50.a)

iar .

Daca =2, spectrul impulsului optic se imparte in doua spectre bine definite. Spectrul cu frecventa mai scazuta (deplasat spre rosu) este cel obisnuit in propagare si se datoreaza efectelor automudularii fazei si a dispersiei vitezei de grup. Celalalt (deplasat spre albastru) se datoreaza numai efectelor automodularii fazei si produce oscilatii ale impulsului optic, a caror amplitudine si departare fata de impulsul initial cresc cu distanta. Datorita automudularii fazei apare un factor asemanator parametrului dispersiei de grup care depinde de puterea impulsului.

Pentru >1, un impuls cu profilul secantei hiperbolice evolueaza intr-un soliton pentru la distanta =10/², care contine numai jumatate din energia initiala. Restul de energie se pierde intr-o structura oscilatorie, care se disperseaza la propagare.

In general, solitonii care lucreaza la lungimea de unda cu dispersie zero necesita o putere mai mica decat in cazul obisnuit pentru aceleasi valori ale N si . Puterea necesara in cazul in care solitonii se propaga la lungimea de unda cu dispersie zero este de mai redusa decat in cazul obisnuit.

Dezvoltarea multiplexarii in lungimea de unda a dus la producerea de fibre optice cu dispersie constanta in care =0 iar se mentine constant, apropiat de zero pentru un domeniu de lungimi de unda. Pentru astfel de fibre trebuie tinut cont de efectul dispersiei de ordin 4. Ecuatia Schrodinger neliniara devine in acest caz:

(50.b)

unde =. Parametrul este neglijabil pentru impulsuri cu durata >1 ps, dar devine important pentru impulsuri cu durata <100 fs. Solutia sub forma de unda solitara care nu isi schimba forma la propagare este:

(50.c)

unde . Amplitudinea si latimea unor astfel de unde depinde numai de caracterisiticile fibrei optice, din acest motiv numindu-se si autosolitoni.

6.2. Auto-comprimarea solitonilor

Auto-comprimarea solitonilor se datoreaza dependentei vitezei de grup, de intensitatea impulsului optic, maximul impulsului deplasandu-se mai incet decat extremitatile acestuia. Auto-comprimarea produce un impuls optic in extremitatile impulsului optic original la propagarea prin fibra optica. Desi datorita dispersiei extremitatile impulsului propagat sunt netezite consoderabil, autocomprimarea se manifesta printr-o deplasare a maximului impulsului. Efectele auto-comprimarii pot fii puse in evidenta daca daca se considera =0 si =0 in ecuatia (50):

(53)

Intarzierea aparuta in propagare poate fii aproximat prin pentru s<0, Ecuatia (53) are o solutie sub forma de soliton, spre care impulsul initial tinde asimtotic. O astfel de solutie este:

(54)

unde M reprezinta o variatie a frecventei purtatoare. Viteza de grup se modifica datorita variatiei frecventei, iar intarzierea maximului se datoreaza variatiei vitezei de grup.

Auto-comprimarea duce la descompunerea solitonilor de ordin superior. Pentru valori relativ mari ale s, solitonul se descompune in impulsurile componente conform teoriei difuziei inverse, incepand cu cea de-a doua perioada a solitonului, acestea departandu-se unul de celalalt la propararea prin fibra optica. De asemenea pentru valori mici ale s, solitonul se descompune in mai multe impulsuri, dar distanta la care incepe sa se descompuna creste. Raportul amplitudinilor impulsurilor este in concordanta cu raportul patratului partilor reale ale polilor de tip descrisi in paragraful 2.

6. Difuzia Raman a impulsului

Difuzia Raman a impulsului reprezinta cel mai important efect perturbator neliniar de ordin superior. Necesitatea de a include acest termen provine din observarea auto-variatiei de frecventa a solitonului explicata folosind intarzierea raspunsului Raman. Pentru a izola efectele difuziei Raman se considera=0 si s=0 in ecuatia (50). Evolutia impulsului este caracterizata de ecuatia:

(55)

Rezolvand ecuatiile (46), (47), (48) si (49) cu , se observa ca amplitudinea a solitonului ramane neschimbata dar se modifica frecventa acestuia:

(56)

deoarece este o constanta ecuatia se poate intergra cu usurinta iar rezultatul . Folosind =1 si variatia de frecventa Raman este:

(57)

Variatia de frecventa Raman duce la o scadere a frecventei purtatoare a solitonului, iar spectrul optic se deplaseaza spre lungimi de unda mai mari.

Variatia de frecventa Raman se explica folosind principiul difuziei Raman stimulate. Pentru impulsuri cu durata de <1 ps, spectrului impulsului este suficient de larg pentru ca castigul Raman sa amplifice frecventele joase ale spectrului impulsului prin radiatii de frecventa ridicata. Procesul continua pe toata lungimea fibrei, energia componentelor de frecventa ridicata fiind transmisa componentelor cu frecvanta mai redusa. Astfel de treansfer de energie apare ca o variatie de frecventa, care creste cu distanta. Variatia de frecventa este invers proportionala cu deci poate deveni semnificativa pentru impulsuri foarte scurte. Pentru exemplificare variatia de frecventa a unui soliton cu durata ps, folosind fibre optice standard cu =-20 ps²/km si =3 fs, este de aproape 50 GHz/km. Deci pentru o distanta de 20 de kilometri, variatia de frecventa ar fii de 1 THz, ceea ce reprezinta o valoare semnificativa tinand cont ca latimea spectreului de frecventa a unui astfel de soliton este de 0,5 THz. Variatia de frecventa Raman nu poate fii neglijata pentru impulsuri cu durata <5 ps.

Efectul variatiei de frecventa Raman asupra solitonilor de ordin superior este similar efectului auto-comprimarii. Chiar si pentru valori reduse ale se produce descompunerea solitonilor. In comparatie cu cazul precedent, valori relativ mici ale in comparatie cu s produc descompunerea solitonilor pe o distanta data. Pentru s=0,01, descompunerea solitonului se face la o distanta , iar pentru =0,01 descompunerea apare la o distanta mult mai mica. Astfel, variatia de frecventa Raman este predominanta fata de auto-comprimare.

Pentru un soliton de ordin N=2, diferenta intre efectul varitiei de frecventa Raman si cel al auto-comprimarii consta in faptul ca impulsul de intensitate redusa se mentine in propagare in apropierea maximului impulsului initial, deoarece componentele de frecventa mare se propaga cu viteza mai mare decat cele cu frecventa mai mica rezultate in urma variatiei de frecventa Raman, acestea din urma fiind intarziate.

Ecuatia (55) nu are o solutie sub forma de soliton, si nici sub forma de impuls deoarece perturbatiile Raman nu shunt Hamiltoniene. Variatia de frecventa Raman nu mentine energia impulsului deoarece energia este disipata sub forma unor vibratii moleculare. Totusi rezultatul aparut este sub forma unui soliton fals (cu energie infinita) cu forma

(58)

Fig. Variatia unui soliton fals in functie de paramentrul

Fig. Contributia efectelor de ordin superior la propagarea unui soliton de ordin N=2, pentru s=0,2, (a) =0,01, (b) si =0,05, s=0,03 si =0,1;

7. Propagarea solitonilor in medii cu dispersie controlata

Pentru rezolvarea ecuatiei Schrodinger neliniare se presupune ca parametru dispersiei vitezei de grup ramane constant pe toata lungimea fibrei optice. In sistemele de comunicatii moderne, se folosesste adesea tehnica dispersiei controlate. Aceasta presupune distributia periodica de fibre optice cu caracterisitici diferite astfel incat sa se obtina o medie a dispersiei vitezei de grup redusa la fiecare perioada, dar cu o dispersie a vitezei de grup relativ ridicata in celelalte puncte ale lantului de transmisiune. In practica se folosesc 2 tipuri de fibre avand cu semne diferite, pentru a reduce dispersia medie la o valoare redusa. Ecuatia (13) devine:

(63)

unde este o functie periodica, coresunzatoare distributiei dispersiei. Dispersia controlata reduce intarzierea cauzata de zgomotul amplificatoare. Controlul strict al dispersiei duce la cresterea puterii unui soliton, reducandu-se si mai mult efectul jitter-ului.

Ecuatia (63) nu este integrabila prin metoda difuziei inverse, dar are solutii periodice asemanatoare unor impulsuri. Proprietatile unor astfel de unde sunt diferite ce cele ale unor solitoni stralucitori. Amplitudinea, durata si frecventa acestora variaza periodic iar ca forma se apropie un impuls gaussian si nu de profilul secantei hiperbolice.

8. Sisteme de comunicatii multicanal folosind solitoni

Performantele sistemelor de comunicatii folosind solitoni, utilizate pentru transmiterea unui singur canal sunt comparabile cu cele conventionale in apropierea lungimii de unda cu dispersie zero. Experimental s-a putut realiza un sistem de comunicatii conventional cu un produs rata de bit-distanta de aproxmativ 70 Tb/s/km, cu o distanta intre amplificatoare de circa 100 km. Acesta nu poate transmite decat un singur canal informational foarte apropiat de lungimea de unda cu dispersie zero, datorita dispersiei care limiteaza performantele in vecinatatea acestei lungimi de unda. Sistemele de comunicatii cu solitoni, desi au <34,3 Tb/s/km, si distanta intre amplificatoare mai redusa, acestea pot opera in apropierea lungimii de unda cu dispersie zero , fara a fii afectate semnificativ de dispersie. Folosind proprietatile solitonilor de a-si mentine forma in prezenta perturbatilor si a coliziunilor cu alti solitoni, se pot multiplexa mai multe canale de comunicatii pe aceeasi fibra optica.

Comunicatia multicanal duce la posibilitatea aparitiei de interactiuni neliniare intre solotoni de pe canale diferite. Viteza de grup depinde de frecventa purtatoare deci este diferita pentru fiecare canal de comunicatii, solitonii din canale diferite suferind coliziuni periodice. Coliziunea solitonilor duce la deplasari temporale datorate modulatiei de faza (cross-phase modulation) aparuta in momentul coliziunii.

Daca se considra cazul ideal al unei fibre optice cu atenuarea echilibrata de amplificatoare distribuite de-a lungul fibrei. In cazul coliziunii a doi solitoni, cu spectrele optice separate prin , frecventa purtatoare a celui cu viteza de grup mai mica scade, iar a celuilalt creste. Dupa coliziune, frecventele purtatoare revin la valorile initiale iar deplasarea temporala aparuta poate fii neglijabila pentru valori mari ale . Daca coliziunea solitonilor se produce in interiorul unui amplificator, unde intensitatea se schimba considerabil de la intrarea la iesirea amplificatorului, simetria coliziunii dispare, iar frecventele purtatoare ale solitonilor dupa coliziune sufera modificari. Variatiile viteziei de grup duc la intarziri suplimentare (jitter) in propagarea impulsurilor, limitand performantele sistemelor la fel ca si zgomotul amplificatoarelor.

Pentru a demonstra efectele coliziunii, s-au transmis doi solitoni cu durata de 70 ps, cu =0,18 nm , pe o distanta de 106 km folosind fibra optica conventionala ( D=16 ps / km-nm , la =1550 nm), obtinandu-se o deviatie temporala de 55 ps impreuna cu o deviatie spectrala de 5 GHz.

Jitter-ul se poate reduce considerabil daca distanta de coliziune este semnificativ mai mare decit distanta intre amplificatoare,. Definind , distanta la care cele doua impulsuri se suprapun in intregime, aceasta este dependenta de viteza relativa a celor doi solitoni:

(59)

Diferentele de frecventa ale solitonilor dupa coliziune, fata de frecventele initiale sunt neglijabile daca >2L, deci diferenta de frecventa intre cele doua canale trebuie sa indeplinesca conditia:

(60)

Pentru a minimiza efectele coliziunii spectrele celor doua canale nu trebuie sa se suprapuna. Daca este spectrul unui semnal de tip secanta hiperbolica, atunci , adica deci o distanta intre amplificatoare

(61)

Daca se inlocuieste in functie de rata de bit si ecuatia (61) devine:

(62)

Pentru o fibra optica cu dispersie translatata la lungimea de unda de 1550 nm, =10 se obtine L=24 km pentru B=5 Gb/s si L=50 km pentru B=3,4 Gb/s, in conditiile in care =90 km.