CAMPUL ELECTROMAGNETIC CVAZISTATIONAR

CAMPUL ELECTROMAGNETIC CVAZISTATIONAR

1. Regimul cvazistationar al campului electromagnetic

Regimul cvazistationar este un regim al campului electromagnetic studiat in aproximatia neglijarii unor termeni din ecuatiile generale ale campului electromagnetic. Se disting doua tipuri de regimuri cvazistationare:

- regimul cvazistationar de tip magnetic sau anelectric, in care se neglijeaza curentul de deplasare (dy/dt) in legea circuitului magnetic; acest regim intervine la studiul curentilor variabili in conductoare masive;

- regimul cvazistationar de tip electric sau amagnetic, in care se neglijeaza campul electric indus de variatia in timp a campului magnetic (); acest regim intervine in studiul dieletricilor conductivi sau cu pierderi.

Rezolvarea problemelor de camp electromagnetic in regim variabil este mult mai dificila decat in regim stationar.

In regim variabil, in conductoare pot sa apara curenti de conductie datorita campului electric indus. Acesti curenti se numesc curenti turbionari sau curenti Foucault.

In conductoarele cu curenti de aductie (impusi din exterior) distributia curentului pe sectiunea conductoarelor masive este influentata de variatia in timp a marimilor, manifestandu-se efectul pelicular.

Daca un conductor masiv cu curent de aductie se afla in vecinatatea altor conductoare parcurse de curenti, in regim variabil se manifesta o modificare a repartitiei curentului in sectiune, prin efectul de proximitate sau de apropiere.

La conductoarele masive asezate in crestaturile masinilor electrice sau in fasciculele de conductoare avand curenti impusi, atunci cand sunt parcurse de curenti variabili in timp se manifesta un efect de repartizare neuniforma a curentului pe sectiunea conductoarelor, cunoscut ca efectul Field.

In cele ce urmeaza va fi abordata o problema generala a regimului cvzistationar de tip magnetic, o problema de curenti Foucault, una de efect pelicular si efectul Field.

Mai trebuie amintit faptul ca in regim variabil in timp trebuie revazute definitiile anumitor marimi, ca rezistenta, tensiune electrica s.a.

2. Premizele studiului campului electromagnetic cvazistationar in conductoare masive imobile

Ecuatiile campului electromagnetic se obtin neglijand in legea circuitului magnetic densitatea curentului de deplasare in raport cu densitatea curentului de conductie Aceasta neglijare este admisibila atunci cand

Dar t e s este constanta de timp a relaxarii sarcinii electrice. In conductoare acesta constanta are valori de ordinul a 10^-19 s.In regim sinusoidal rezulta o conditie pentru frecventa

Intrucat frecventele utilizate in tehnica nu depasesc 10¹² Hz, in conductoare densitatea curentului de deplasare este neglijabila in raport cu densitatea curentului de conductie. In semiconductoare si in plasma aceasta conditie nu este indeplinita la frecvente foarte mari.

3. Ecuatiile campului electromagnetic cvazistationar in conductoare masive imobile

Ecuatiile lui Maxwell pentru campul electromagnetic sunt

La acestea trebuie adaugate relatiile constitutive

in legea conductiei electrice fiind neglijat campul imprimat. In medii omogene si linare marimile e m si s sunt constante.

Introducand relatiile constitutive in primele doua ecuatii, de evolutie, si neglijand curentul de deplasare, se obtin relatiile

care reprezinta ecuatiile fundamentale ale campului electromagnetic in conductoare masive omogene, sau ecuatiile de ordinul intai.

Luand divergenta acestor ecuatii si apoi tinand seama de omogenitatea mediului, se stabilesc relatiile

deci cele patru campuri, sunt solenoidale.

Luand rotorul ecuatiilor (3-3) si tinand seama ca

daca se elimina cate una dintre functiunile necunoscute, se obtin ecuatiile de ordinul doi

Solutiile pentru cele patru campuri nu sunt independente, ele fiind legate prin ecuatiile de ordinul intai (3-3). Aceste ecuatii trebuie completate cu relatiile de trecere prin suprafete de discontinuitate

In continuare se vor studia numai probleme in regim permanent sinusoidal, folosind reprezentarea in complex; aceasta se aplica fiecarei marimi scalare, respectiv componentelor scalare ale vectorilor. Derivarea in raport cu timpul a unei marimi revine la multiplicarea cu jw a imaginii marimii.

4. Patrunderea campului electromagnetic in semispatiul conductor infinit

Se considera un bloc de material conductor,de permeabilitate si conductivitate s, limitat spre stanga de o fata plana infinit extinsa si ocupand intregul semispatiu drept (fig.4-1) Se alege un sistem de axe cartezian, cu axa Ox normala pe fata blocului si dirijata spre interior.

La suprafata semispatiului este stabilit un camp magnetic omogen tangential (orientat dupa axa Oz)

Se studiaza numai regimul permanent. Toate marimile depind numai de coordonata x si de timp

La x = 0 in interiorul semispatiului conductor campul are aceeasi componenta tangentiala

si in interior are numai componenta dupa Oz

Ecuatia campului magnetic in mediul conductor este

In regim sinusoidal aceasta ecuatie se reprezinta in complex simplificat sub forma

Se noteaza

unde

este constanta de atenuare.

Cu aceste notatii, solutia generala a ecuatiei (4-5) este

Daca domeniul este infinit, trebuie ca A₂ = 0, pentru ca la infinit campul magnetic sa fie finit. La x = 0 H_z = H_z(0) = A₁. Rezulta solutia

Valoarea instantanee a campului este

Aceasta este o unda elementara directa, puternic atenuata, cu viteza de faza v si lungimea de unda l date de relatiile

Densitatea de curent si intensitatea campului electric se deduc din prima ecuatie a lui Maxwell

Dezvoltand rotorul se obtin relatiile complexe

Valorile instantanee ale acestor marimi sunt defazate cu p/4 inaintea campului magnetic. La suprafata conductorului intensitatea campului electric este

Pierderile de putere se calculeaza cu ajutorul vectorului Poynting. Intrucat si , vectorul densitatii fluxului de energie este dirijat spre interiorul conductorului (sensul in care se propaga undele elementare H_z(x,t) si E_y(x,t)),

unde valoarea instantanee S_x este

Marimea S_x reprezinta puterea instantanee transmisa prin unitatea de suprafata a planelor x = const. Acest aflux de energie provine de la campul electromagnetic exterior si scade rapid o data cu patrunderea in conductor, datorita faptului ca acopera pierderile locale de putere prin efect Joule-Lenz. Aportul de putere instantanee prin suprafata conductorului este

avand valoarea medie, sau puterea activa specifica

Campul electric, campul magnetic si densitatea curentului au valori importante numai in vecinatatea suprafetei conductorului, amplitudinile lor scazand exponential o data cu departarea de la suprafata conductorului. De exemplu, valoarea efectiva a densitatii curentului are expresia

Se numeste adancime de patrundere (sau adancime echivalenta de patrundere) a campului electromagnetic in semispatiul conductor, distanta d de la suprafata pe care ar trebui repartizat in mod uniform curentul total, pentru ca pierderile de putere activa sa fie egale cu cele din cazul repartitiei reale a curentului.

Pe o inaltime a (dupa Oz), curentul total complex este

si are valoarea efectiva

Daca ar fi repartizat uniform si sinfazic pe adancimea d, intr-un volum a.b.d acest curent ar produce pierderile de putere activa

Puterea primita prin suprafata de arie ab este

Cele doua puteri trebuind sa aiba valori egale rezulta expresia adancimii de patrundere

La frecventa industriala (50 Hz) si temperatura de 20 C adancimea de patrundere este de 9,5 mm la cupru, respectiv de 12,3 mm la aluminiu. La materiale magnetice cu permeabilitate mare (fier) adancimea de patrundere este de la cativa milimetri pana la fractiuni de milimetru. Pentru apa de mare d 30 m, in sol d 750 m.

5. Probleme de curenti turbionari

In aplicatiile tehnice, curentii turbionari (sau Foucault) apar in miezurile feromagnetice ale circuitelor magnetice din masinile si aparatele electrice de curent alternativ, determinand pierderi suplimentare de putere prin efect Joule si inrautatind functionarea acestor aparate si masini. Totodata exista numeroase aplicatii utile ale curentilor turbionari: incalzirea electrica prin inductie (in care puterea dezvoltata de curentii turbionari este folosita pentru a incalzi, sau chiar a topi conductorul), franele si ambreiajele magnetice de inductie (in care se utilizeaza fortele pe care campul magnetic le exercita asupra conductorului parcurs de acesti curenti) s.a.

Curentii turbionari din conductoare influenteaza repartitia campului magnetic, datorita campului magnetic suplimentar produs de acestia (numit si camp magnetic de reactie al curentilor turbionari). Din acest motiv, pentru rezolvarea exacta a acestor probleme este necesara utilizarea ecuatiilor generale ale regimului cvazistationar de tip magnetic (anelectric). In cazuri limita, la frecvente joase (cand campul de reactie este mic, neglijabil), sau la frecvente inalte (cand adancimea de patrundere este mica fata de dimensiunile conductorului), se pot folosi metode aproximative.

Pierderi prin curenti Foucault in tole feromagnetice.

Circuitele magnetice de curent alternativ sunt realizate din tole feromagnetice, de grosime D mult mai mica decat latimea l (D << l), deci tola poate fi asimilata cu o placa de extensie infinita din punct de vedere al rezolvarii problemei de camp magnetic cvzistationar. Se adopta un sistem de axe cartezian (fig. 5-1), astfel incat planul de simetrie al placii sa se afle in planul x = 0. Marimile din placa vor depinde numai de coordonata x.

Fie f f_m sinwt fluxul magnetic sinusoidal care revine unei tole de grosime D si latime l, atunci inductia magnetica aparenta in tola este B = f Dl) = B_m sinwt si se considera orientata in lungul axei Oz: Se va folosi reprezentarea in complex si atunci amplitudinea complexa a inductiei este B = B_m.

Din legea inductiei electromagnetice se obtine

Daca se poate neglija reactia curentilor turbionari, se obtine o solutie simpla, independenta de eventuala neliniaritate a caracteristicii magnetice a tolei

Curentii indusi sunt J_y = sE_y, apoi puterea activa disipata pe unitatea de volum este p_R = J²/(2s), care trebuie mediata pe grosimea placii si se obtine densitatea de volum medie a pierderilor prin curenti turbionari

iar inductia magnetica este neschimbata (datorita neglijarii reactiei curentilor indusi).

De exemplu, la frecventa de 50 Hz si inductia B_m = 1T, tola de otel electrotehnic cu grosimea de 0,5 mm si conductivitatea de 6,67 Sm/mm², cu masa specifica 7,8 kg/dm³, are pierderile specifice medii p_{R med} = 6,85732 W/dm³ = 0,87914 W/kg, iar tola inalt aliata, de 0,3 mm grosime, cu conductivitate de 2,08 Sm/mm², cu masa specifica 7,6 kg/dm³, are p_{R med} = 0.76983 W/dm³ = 0.10129 W/kg.

Daca nu se neglijeaza reactia curentilor turbionari, atunci mai trebuie luata in consideratie teorema lui Ampère. Considerand tola liniara, de permeabiltate , se obtine ecuatia

Cu si trecand la reprezentarea in complex, dupa eliminarea si se obtine ecuatia lui Helmholtz (complexa)

Se noteaza cu si solutia (care trebuie sa fie simetrica fata de planul x = 0) este

in care B₀ este inductia magnetica minima, la mijlocul tolei.

Imaginea complexa a fluxului magnetic al tolei este

Intrucat este cunoscut (dat) fluxul magnetic al tolei, ultima relatie permite determinarea constantei de integrare B₀

Inductia este maxima la marginea tolei si este data de relatia

Intensitatea campului electric se poate calcula din relatia

Puterea complexa primita bilateral de tola pe unitatea de arie este

Partea reala a acestei puteri, impartita cu grosimea tolei da densitatea de volum medie a puterii disipate

In cele doua cazuri examinate anterior (tole de 0,5 mm si de 0,3 mm grosime), pentru permeabilitatea relativa de _r = 7000 se obtin urmatoarele valori

Pierderile specifice calculate cu relatia 'exacta' sunt de 6,8003 W/dm³ = 0,8718W/kg, respectiv 0,76975 W/dm³ = 0,10128W/kg. Valorile sunt foarte apropiate de cele calculate cu relatia aproximativa, care neglijeaza reactia curentilor turbionari. La valori mai mici ale permeabilitatii diferentele sunt si mai mici.

6. Efectul pelicular

In regim variabil, curentul injectat intr-un conductor are o repartitie diferita de repartitia de curent continuu, fenomen numit efect pelicular sau efect skin. Datorita fenomenului de inductie electromagnetica, asociat cu reactia curentilor indusi, curentul are tendinta de a se repartiza cu o densitate mai mare in zonele periferice ale conductoarelor. Totodata, in regim periodic apar defazaje intre densitatile de curent din diferitele puncte ale sectiunii conductorului.

Efectul pelicular in conductorul plat

Un caz de efect pelicular care este mai usor de studiat este cel al conductorului plat, aflat departe de alte conductoare parcurse de curenti si avand o grosime a mult mai mica decat latimea b (fig. 6-1). Acest caz se poate studia, aproximativ, neglijand 'efectele de margine', ca in cazul tolei. Atunci campul electromagnetic in sectiunea conductorului devine unidimensional, adica depinde de o singura coordonata.

Se adopta un reper cartezian xOyz ca in figura 6-1, axa Oy fiind in lungul liniilor curentului de aductie , axa Ox este dupa latimea, iar axa Oz - dupa grosimea conductorului plat, cu originea in planul de mijloc al conductorului. Densitatea curentului si intensitatea campului electric in conductor au componenta numai dupa Oy, care depinde numai de coordonata z

iar campul magnetic are numai componenta dupa axa Ox

Din legea inductiei electromagnetice si din teorema lui Ampère rezulta relatiile scalare

Trecand la amplitudini complexe, pentru un regim sinusoidal cu pulsatia w, se obtin ecuatiile

respectiv se stabilesc ecuatiile de ordinul doi

unde s-a notat

Solutiile au forma

in care E₀ este intensitatea campului electric in planul median al conductorului (z = 0). Mai rezulta densitatea curentului in centrul conductorului J₀ = sE si o intensitate de referinta a campului magnetic H₀ = sE g. Prin integrare pe sectiunea conductorului se obtine amplitudinea complexa a curentului conductorului

din care se poate determina valoarea constantei E₀ daca se cunoaste curentul

La suprafata conductorului intensitatea campului electric are valoarea E₀ ch(ga/2). Cu aceasta se poate calcula un factor de crestere a impedantei complexe in curent alternativ, fata de rezistenta in curent continuu, raportand aceasta valoare la aceea care ar rezulta in curent continuu I/(abs

La acelasi rezultat se ajunge cu ajutorul puterii complexe primite de conductor. La suprafata vectorul Poynting are valoarea

Calculand E₀ din relatia sa cu curentul I, se obtine

Astfel rezulta

Puterea complexa primita de conductor pe unitatea de lungime pe ambele fete este I² g/(4bs th(ga/2)), pe cand la repartitie uniforma pe sectiune ar rezulta puterea I²/(2abs), factorul 1/2 fiind datorit faptului ca s-a lucrat cu amplitudinea complexa. Se regaseste valoarea stabilita anterior, pe o cale mai simpla.

Efectul pelicular in conductorul cilindric plin

Efectul pelicular se va exemplifica pe cazul conductorului cilindric circular, rectiliniu si infinit lung, de raza a, avand conductivitatea s si permeabilitatea , parcurs in sens axial de un curent sinusoidal cu amplitudinea I si pulsatia w. Datorita extensiei axiale infinite si simetriei fata de axa conductorului, marimile de camp depind numai de coordonata radiala r a unui reper cilindric , a carui axa Oz coincide cu axa conductorului. Campul electric este axial, iar campul magnetic este transversal

Folosind reprezentarea in complex, din legea lui Faraday a inductiei electromagnetice si din teorema lui Ampère rezulta ecuatiile scalare

Eliminand intensitatea campului magnetic se obtine ecuatia de ordinul doi a intensitatii campului electric

Prin eliminarea intensitatii campului magnetic se obtine ecuatia

Se observa ca ambele campuri satisfac ecuatia lui Bessel, prima de ordinul zero, iar a doua de ordinul unu. Ambele au forma ecuatiei modificate, cu argument imaginar.

Solutia ecuatiei campului electric este de forma

Aici I₀(x) si K₀(x) sunt functiile lui Bessel modificate, de prima si de a doua speta si ordin 0. In general

Intrucat la r = 0 functiunile de a doua speta tind spre infinit, rezulta A₂ = 0.

Solutia devine

Intensitatea campului magnetic se obtine prin derivare

intrucat dI₀(x)/dx = I₁(x

Constanta de integrare A se poate determina cunoscand ca la suprafata conductorului (la r = a) intensitatea campului magnetic este I/(2pa), unde I este curentul conductorului

sau

Functia I₀(x) are valoarea 1 la x = 0 si apoi creste monoton cu x real. Variabila complexa proportionala cu (1+j) mentine caracterul crescator al modulului functiei, o data cu cresterea argumentului functiei complexe. Functia I₁(x) este nula la x = 0 si apoi creste monoton cu x real. Pentru o variabila complexa proportionala cu (1+j), in vecinatatea originii argumentul functiei este p/4 iar apoi creste o data cu modulul.

In fig. 6-2 s-au reprezentat partile reale si imaginare ale functiilor I₀((1+j)x) si I₁((1+j)x), in partea din stanga pentru xI[0, 3], in partea dreapta pentru xI

Factorul de 'impedanta' al conductorului, adica raportul dintre impedanta complexa a conductorului si rezistenta sa in curent continuu, se calculeaza cu intensitatea campului electric la suprafata A.I₀(ga

La acelasi rezultat se poate ajunge si cu ajutorul puterilor, care se pot calcula ca fluxul vectorului Poynting prin suprafata care margineste conductorul. Acest vector este orientat spre interiorul conductorului.

Vectorul Poynting complex la suprafata conductorului este

Multiplicand cu perimetrul 2pa si luand partea reala, respectiv imaginara a expresiei, se obtin puterile active si reactive pe unitatea de lungime

In curent continuu cu intensitatea I/ 2 ar fi rezultat puterea pe unitate de lungime

Factorul de impedanta este

Factorul de majorare a pierderilor prin efect pelicular, numit si factor de majorare a rezistentei k_r, are expresia

rezistenta echivalenta pe unitate de lungime este

iar reactanta interioara a conductorului se exprima sub forma

Se poate defini si un factor al reactantei interioare k_x, raportand reactanta interioara X_i la reactanta corespunzatoare densitatii de curent constante X_cc = w p) si atunci

In figura 6-3 sunt date diagramele factorilor k_r si k_x, ca functie de x aa = a/d, pentru cilindru de cupru, la 50 Hz.

Cand aa ³ 4 o buna aproximare o da relatia

care considera ca numai un strat superficial de grosime d a ar conduce. In acest caz k_r  aa

De exemplu, pentru un conductor de cupru cu diametrul de 20 mm, la frecventa de 50 Hz, la care d = 9,5 mm, rezulta aa = 10/9,5 = 1,0526 si apoi cu formula 'exacta' se obtine k_r = 1,0251 , pe cand cu formula aproximativa s-ar obtine un factor subunitar. La o frecventa de 1000 Hz, se obtine aa = 4,7075, apoi un factor 'exact' k_r = 2,2412 si un factor aproximativ 2,3538, cu 5% mai mare decat cel exact.

7. Efectul Field

Conductoarele asezate in crestaturile masinilor electrice sunt parcurse de curenti de aductie (cu valori impuse), variabili in timp. Campul magnetic 'de dispersie' creat de acesti curenti (campul transversal al crestaturii) modifica distributia curentilor pe sectiunile conductoarelor, modificare cunoscuta ca efectul Field. Un efect similar se manifesta si in conductoarele infasurarilor transformatoarelor, respectiv in fasciculele de conductoare (cu curenti elementari impusi), parcurse de curenti variabili in timp.

Efectul Field se studiaza in doua situatii:

a) o singura bara parcursa de curent in crestatura,

b) o bara parcursa de curent in campul din crestatura produs de un alt curent.

Aceste situatii vor fi studiate pe rand, de fapt cu ajutorul acelorasi ecuatii.

a) Efectul Field in bara dreptunghiulara, fara camp exterior

Se considera o bara conductoare dreapta, lunga, cu sectiunea dreptunghiulara b.h, parcursa axial de un curent sinusoidal avand valoarea efectiva complexa I (mai departe se va lucra cu amplitudinea complexa a marimilor de camp). Bara este nemagnetica si este asezata intr-o crestatura de largime b_c, practicata intr-o armatura feromagnetica (fig. 7-1). Armatura este lunga (in sens axial) si atunci campul se poate studia intr-un plan perpendicular pe directia muchiilor barei si crestaturii.

Se alege un reper cartezian cu axele orientate astfel:

Oz - axa paralela cu muchiile barei,

Ox - axa dupa inaltimea barei, paralela cu peretii crestaturii, cu originea la baza barei,

Oy - axa transversala pe bara.

Solutia exacta a acestei probleme de camp electromagnetic este complicata, datorita efectului marginilor crestaturii in apropierea suprafetei libere a armaturii (unde, de regula, se afla intrefierul masinii electrice). Din aceasta cauza se va considera, aproximativ, ca in crestatura liniile de camp sunt pur transversale (dupa axa Oy), iar densitatea curentului in bara nu depinde decat de cota x (are aceeasi valoare pe toata latimea b).

Se considera un contur G_x care trece transversal prin crestatura la cota x, inchizandu-se prin cei doi dinti vecini si pe sub baza crestaturii, ca in figura 7-1a. Pe acest contur se scrie teorema lui Ampère direct cu imaginile complexe ale marimilor

Datorita permeabilitatii foarte mari a corpului feromagnetic in care este practicata crestatura, se poate neglija tensiunea magnetica in fier si atunci tensiunea magnetomotoare se reduce la tensiunea magnetica din crestatura

Solenatia corespunzatoare variaza cu cota x. Notand cu J(x) functia de cota x a densitatii de curent in bara, solenatia va fi

Solenatia ultimului interval include restrictia asupra densitatii de curent

Derivand in raport cu x relatia (7-1) si tinand seama de (7-2), (7-3), se obtine forma diferentiala

Se considera un al doilea contur G_z (fig. 7-1b) in lungul barei, care trece pe la cotele x si x+dx, pe o lungime axiala l. Scriind legea inductiei electromagnetice pe acest contur, tinand seama de orientarile versorilor intensitatii campului electric E si a intensitatii campului magnetic H (indicati in partea din dreapta a fig. 7-1b) si parcurgand conturul in sens antiorar (spre stanga, cum este indicat langa simbolul G_z se obtine relatia

adica

Luand in consideratie si legea conductiei electrice J(x) = sE(x), din relatiile (7-5) si (7-6) se tabileste ecuatia diferentiala de ordinul 2 a intensitatii campului magnetic

unde

g fiind constanta de propagare, iar a_e d_e este constanta de atenuare, egala cu valoarea reciproca a adancimii de patrundere modificata

Se observa ca fata de cazul semispatiului conductor, constanta de atenuare, respectiv adancimea de patrundere este modificata, ca si cum crestatura ar fi umpluta pe toata largimea sa cu un material cu conductivitatea redusa in raportul b/b_c.

Solutia ecuatiei (7-7) este de forma

Intrucat H(0) = 0, rezulta B = 0, apoi

si solutia devine

Densitatea de curent se deduce direct din relatia (7-5)

Se observa ca distributia curentului dupa inaltimea barei, proportionala cu valoarea functiei ch gx, este neuniforma, fiind minima la baza barei si maxima la x = h.

Puterea complexa primita de bara se poate calcula cu fluxul vectorului lui Poynting, observand ca acest vector, orientat spre bara, este nenul numai deasupra barei, unde are valoarea

Factorul 1/2 provine de la folosirea amplitudinilor complexe pentru marimile de camp, dar se simplifica cu patratul lui

Puterea complexa lineica a barei este

Observatie. Mai sus s-a multiplicat cu latimea crestaturii si nu cu latimea barei, datorita formei simplificate (7-2) cu care s-a calculat intensitatea campului magnetic. In caz contrar, o parte din puterea data de vectorul lui Poynting s-ar transmite spatiului dintre bara si peretii crestaturii. Cum s-a observat anterior, modelul folosit corespunde unei bare care ar umple crestatura, dar ar avea o conductivitate mai mica, pentru a obtine aceeasi rezistenta in curent continuu.

Se poate defini impedanta lineica complexa a barei

Notand x a_e h, impedanta se poate pune sub urmatoarea forma, cunoscuta din literatura de specialitate

Partea reala a acestei impedante este rezistenta lineica echivalenta a barei, iar partea imaginara - reactanta lineica a barei. De regula prima marime se compara cu rezistenta de curent continuu

iar a doua - cu reactanta barei fara refulare

Se observa ca X_cc/R_cc = 2x /3. Cu aceste observatii impedanta lineica se poate pune si sub formele

unde s-au introdus functii de corectie pentru rezistenta si pentru reactanta

Marimile k_r si k_x sunt factori de corectie pentru rezistenta si reactanta barei inalte, pentru a tine seama de influenta 'refularii' curentului in bara.

In fig. 7-3 sunt reprezentate functiile j x) si y x impreuna cu alte doua functiuni, corespunzatoare cazului urmator.

b) Efectul Field in bara dreptunghiulara, cu camp exterior

In crestatura se pot afla mai multe bare parcurse de curent si atunci barele din straturi superioare se afla in campul creat de curentii barelor din straturile inferioare.

Se considera configuratia din fig. 7-2a, in care bara din crestatura, de inaltime h, este parcursa de curentul I si se afla in campul creat de curentul total I_e (in straturile inferioare).

Originea coordonatei x se alege la baza barei examinate.

Scriind teorema lui Ampère pe conturul G_x din fig. 7-2a si legea inductiei electromagnetice pe conturul G_z (fig. 7-2b), se stabilesc aceleasi ecuatii de ordinul 1 (7-5) si (7-6), aceeasi ecuatie de ordinul 2 (7-7) si aceeasi forma a solutiei (7-10), cu diferenta ca desi domeniul in care este valabila prima ecuatie este tot xI(0, h), valorile limita pentru intensitatea campului magnetic sunt modificate

Cu aceste conditii la limita constantele de integrare se determina din sistemul

Dupa unele calcule solutia devine

Se observa ca solutia se compune din campul propriu (primul termen) si campul indus (al doilea termen). Ultimul prezinta simetrie fata de mijlocul inaltimii barei.

Densitatea curentului in bara se obtine cu (7-5) si este

Distributia curentului data de al doilea termen este simetrica in raport cu mijlocul inaltimii barei.

Vectorul lui Poynting, diferit de zero la ambele nivele extreme, are valorile

Puterea complexa primita pe unitatea de lungime este

unde cu q_e s-a notat defazajul dintre curentii I si I_e.

Folosind din nou notatia x a_e h si parametrii R_cc, X_cc (relatiile 7-16, 7.17), dupa unele calcule se obtine

unde s-au introdus doua functii de influenta

In figura 7-3 s-au reprezentat functiile de influenta definite anterior. Referitor la factorii de pierderi Joule, se observa ca j x) pleaca de la valoare 1 si apoi creste pana cel mult proportional cu x, pe cand j_e x) pleaca de la 0 (la frecventa mica nu se induc curenti), creste la inceput cu puterea a 4-a, ca apoi sa fie plafonata de crestere proportionala cu x

In privinta reducerii reactantei de dispersie in crestatura ambele functii y x) si y_e x) pleaca cu tangenta orizontala in origine si incep sa scada abia peste x = 0.8. A doua functie pleaca de la valoarea in origine 3, datorita raportarii sale la reactanta X_cc care contine factorul 1/3.

La unele discipline de specialitate, din anii superiori, se vor intalni forme prelucrate ale efectului Field, adaptate aplicatiilor respective, in care intervin anumite multimi de conductoare identice ca forma si parcurse de curenti de aceeasi valoare. In aceste aplicatii se folosesc, de regula, expresii de aproximare pentru functiile j x) si y x) definite anterior, la valori mici ale argumentului x. Aceste expresii se obtin prin dezvoltare in serie Mac Laurin (sau Taylor pentru argument nul).

8. Campul electromagnetic cvazistationar amagnetic

Campul electromagnetic cvazistationar amagnetic (sau de tip electric) intervine in sudiul dielectricilor cu pierderi.

Dielectricii reali nu sunt perfect izolanti si pot prezenta ceracteristici de polarizare neunivoce. In acesti dielectrici relatia intre intensitatea campului electric si cele doua marimi de camp pe care le determina, densitatea curentului de conductie si polarizatia temporara , este, in general, neliniara. De asemenea, se poate manifesta un fenomen de histerezis electric, iar in regim foarte rapid variabil se observa si un fenomen de viscozitate electrica (post efect electric), polarizatia temporara ramanand in urma intensitatii campului electric. Toate aceste efecte se pot studia in cadrul regimului cvazistationar amagnetic.

In ipoteza neglijarii fenomenului de inductie electromagnetica, ecuatiile campului electromagnetic devin

La acestea se adauga legea de legatura

si relatii constitutive neliniare, de forma

cu observatia ca ultima relatie poate prezenta si histerezis (sau 'ereditate' electrica).

Se observa ca a doua ecuatie (a lui ) poate fi omisa, intrucat campul magnetic nu intervine in celelalte ecuatii.

Campul electric fiind irotational (prima ecuatie), deriva dintr- un potential

In medii omogene, liniare si izotrope, de permitivitate e, potentialul electric satisface ecuatia lui Poisson

Integrala de energie electromagnetica in acest regim devine

Condensatorul cu pierderi. O aplicatie importanta a acestui regim se refera la studiul condensatorului cu pierderi si in care se poate manifesta fenomenul de viscozitate magnetica. In acest regim polarizatia temporara este data de relatia lui Boltzmann

in care f(t') este functia de intarziere, iar e_m - o permitivitate de referinta.

Daca intensitatea campului electric variaza sinusoidal

introducand aceasta expresie in (8-7) si integrand, se obtine urmatoarea expresie a polarizatiei

unde constantele A si B se calculeaza cu expresiile

Expresia (8-9) se mai poate pune sub forma

in care s-a notat

Unghiul d_p este numit unghi de pierderi prin histerezis si viscozitate electrica. Intr-un dielectric cu pierderi dielectrice polarizatia este defazata in urma intensitatii campului electric cu acest unghi.

Curentul unui condensator plan cu pierderi, caruia i se aplica o tensiunea u(t), se poate pune sub forma

Mai sus cu A s-a notat aria suprafetei unei armaturi a condensatorului, cu s - conductivitatea (in general neliniara) a dielectricului, cu E(t) si D(t) - valorile instantanee ale intensitatii campului electric si a inductiei electrice in dielectric, respectiv cu G - conductanta dielectricului si cu q - sarcina electrica a unei armaturi. In modelul condensatorului plan, cu distanta intre armaturi a, intrucat E(t) = u(t)/a, ultimele doua marimi se exprima cu relatiile

In general, conductanta G depinde de valoarea instantanee a tensiunii u(t), iar sarcina q este intr-o relatie neliniara (si neunivoca) cu tensiunea, datorita caracterului neliniar al polarizatiei

Puterea instantanee primita de condensator este

Primul termen corespunde efectului Joule in dielectric, datorita curentului de conductie, pe cand al doilea termen contine o parte oscilanta - variatia unei energii electrice stocate temporar in condensator - si o parte disipata prin histerezis si post efect electric. Ultimul termen se pune usor in evidenta intr-un regim sinusoidal, tinand seama ca D(t) = e E(t) + P(t)

Ultimul termen din paranteza are nenula valoarea medie pe o perioada si reprezinta puterea activa disipata in dielectricul condensatorului