CIRCUITE ELECTRICE IN CURENT ALTERNATIV SINUSOIDAL

CIRCUITE ELECTRICE IN CURENT ALTERNATIV SINUSOIDAL

1 Marimi alternative sinusoidale. Generalitati

Se numeste marime sinusoidala sau armonica o marime alternativa, (de exemplu, curentul electric), reprezentata in figura 1, care poate fi scrisa sub forma:

i(t) = I_m sin(w t j

unde: I_m este valoarea maxima (de varf) sau amplitudinea, w este pulsatia, iar j este faza initiala a marimii sinusoidale. Argumentul sinusului, adica marimea liniar variabila in timp (w t j), se numeste faza marimii sinusoidale. Convenim sa numim valoare instantanee, valoarea i pe care o are marimea variabila la un moment oarecare t. Cel mai scurt interval de timp dupa care marimea periodica isi reia valoarea in aceeasi ordine se numeste perioada, notata cu (T), avand ca unitate de masura secunda.

Numarul de perioade cuprinse in unitatea de timp se numeste frecventa (f), iar produsul 2 p f = w se numeste pulsatia sau viteza de rotatie a marimii periodice, si se masoara in rad/s sau s^-1. Exista deci relatiile:

f ; w p f = ; w T = 2 p

Frecventa se masoara in hertz (Hz).

In sistemul de unitati SI, faza si faza initiala, care sunt unghiuri, se masoara in radiani. Produsul w t = a reprezinta un unghi geometric, adica este o marime spatiala.

Fig. 1

Din figura anterioara, se poate observa ca functia sinus are perioada 2 p, fapt ce face ca modificarea fazei initiale cu un multiplu pozitiv sau negativ de 2 p, sa nu modifice valoarea functiei.

Valoarea de varf sau amplitudinea unei marimi sinusoidale, este cea mai mare valoare instantanee (ca modul) pe care o poate avea acea marime in decursul unei perioade. Aceasta valoare se noteaza, de exemplu in cazul unui curent i(t), cu simbolul I_m. Diferenta dintre fazele initiale ale doua marimi sinusoidale se numeste defazaj.

Pentru doua marimi sinusoidale de forma: i₁ = I₁ sin(w t+j ) si i₂ = I₂ sin(w t+j ), defazajul este:

j j j

Acest defazaj poate fi pozitiv sau negativ. Daca j j > 0, i₁ este defazat inaintea lui i₂ , ca si in figura 2,a, iar daca j j < 0, i₁ este defazat in urma lui i₂, ca in figura 2,b.

In cazul defazajului dintre doua marimi sinusoidale se pot ivi urmatoarele cazuri particulare:

j j j = 0 marimile sunt in faza - cand ambele marimi trec deodata prin zero si prin maxime, ambele marimi sunt in acelasi moment maxime pozitiv sau negativ,ele fiind sinfazice.

Sunt prezentate mai jos graficele de variatie in timp pentru o tensiune si un curent care sunt in faza.

j j j marimile sunt in cuadratura - cand una dintre marimi trece prin maxim, cealalta trece prin zero.

j j j p - marimile sunt in opozitie de faza sau in antifaza - cand cele doua marimi trec deodata prin zero si prin maxime, dar acestea sunt opuse. In graficele de mai jos tensiunea u(t) este in cuadratura cu fiecare din curentii i1(t) si i2(t), in schimb cei doi curenti sunt in antifaza.

2 Valori caracteristice ale marimilor alternative sinusoidale

Valoarea medie

Valoarea medie a unei marimi variabile este data de relatia:

Fie un curent alternativ sinusoidal:

Asa cum se stie, valoarea medie a unei marimi sinusoidale, luand ca domeniu de integrare o perioada, este nula. In electrotehnica, se utilizeaza totusi, pentru caracterizarea marimilor sinusoidale, o valoare medie calculata numai pentru alternanta pozitiva, adica pentru o jumatate de perioada, exprimata cu ajutorul valorii de varf astfel:

= 0,636 I_m

Prin analogie se obtine valoarea medie pentru tensiune : U_med = = 0,637 U_m

Importanta valorilor medii ale curentului si tensiunii consta in faptul ca acestea intervin la redresarea marimilor alternative sinusoidale. Aceste valori se masoara cu ajutorul aparatelor electrice de tip magnetoelectric prevazute cu redresor.

Semnificatia geometrica a valorii medii este aceea ca aria dreptunghiului marginit de valoarea medie si abscisa este egala cu aria suprafetei marginita de semialternanta pozitiva a sinusoidei si abscisa. In figura de mai sus s-a reprezentat semialternanta pozitiva a unei tensiuni sinusoidale de frecventa f = 50 Hz, T = 0.02 sec, amplitudine U_m = 10 V impreuna cu valoarea medie U_med. Faza initiala a tensiunii s-a considerat nula.

Valoarea efectiva (eficace) a unei marimi alternative sinusoidale.

Valoarea efectiva a curentului sinusoidal este egala cu acea valoare constanta I a unui curent continuu, care trecand printr-un rezistor cu rezistenta R dezvolta in timp de o perioada T aceeasi energie calorica Q ca si curentul sinusoidal i = I_m sinw t ce trece prin acelasi rezistor, in acelasi interval de timp :

Q = R I² T = . > I = = 0,707 I_m

Pentru integrare s-a folosit transformarea trigonometrica:

sin²α = (1- cos 2 α ) / 2

Prin analogie se obtine valoarea efectiva U, a unei tensiuni sinusoidale: U = = 0,707 U_m.

Valoarea efectiva a marimilor alternative sinusoidale are semnificatii importante in practica. Valoarea efectiva este indicata de aparatele electrice de masurat, pentru curentul alternativ (cu exceptia celor cu redresor).

In electrotehnica, se opereaza cu valorile efective ale marimilor sinusoidale, astfel ca se prefera pentru o marime alternativa sinusoidala scrierea sub forma:

i = I sin(w t+j

Aceasta relatie se numeste forma normala in sinus a unei marimi sinusoidale.

O marime sinusoidala este deci complet determinata daca i se cunosc valoarea efectiva I, pulsatia w, adica frecventa f, si faza initiala j

In figura de mai sus s-a reprezentat variatia tensiunii sinusoidale u(t) impreuna cu valoarea medie si cea efectiva. In abscisa s-a reprezentat marimea ωt exprimata in grade.

3 Reprezentarea geometrica a marimilor alternative sinusoidale

In electrotehnica se efectueaza frecvent diferite operatii cu marimile sinusoidale: adunarea, scaderea, inmultirea cu un scalar, derivarea si integrarea. Aceste operatii conduc la rezultate care sunt tot marimi sinusoidale de aceeasi frecventa. Calculele cu marimi sinusoidale sunt destul de laborioase, iar graficele de variatie ale acestora sunt dificil de examinat in cazul aparitiei mai multor marimi in acelasi grafic. De exemplu se prezinta mai jos graficele unor marimi sinusoidale impreuna cu graficele rezultate pentru cateva oreratii cu aceste marimi.

Reprezentarea geometrica da posibilitatea sa se asocieze fiecarei marimi sinusoidale un vector caracterizat prin modul si unghiul pe care il face cu o axa de referinta. Sa consideram segmentul orientat OM ce se roteste in planul xOy in jurul punctului O cu viteza unghiulara . Proiectia pe axa Oy a acestui segment este:

OM' = OM sin α    = OM sin (ωt + φ)

Daca se alege, la o anumita scara de reprezentare, lungimea segmentului OM egala cu amplitudinea unui curent sinusoidal

iar unghiul α egal cu faza acestui curent:

i = I_m sin ( t +

se observa ca proiectia OM' este egala cu valoarea instantanee a curentului alternativ sinusoidal. Segmentul orientat OM poarta numele de fazor , el se roteste in planul xOy cu o viteza unghiulara constanta egala cu pulsatia curentului sinusoidal. Daca avem mai multi curenti sinusoidali, fiecare curent va fi reprezentat in planul xOy printr-un fazor. Suma celor doi curenti sinusoidali va avea ca reprezentare fazoriala fazorul obtinut prin adunarea vectoriala a fazorilor reprezentativi ai celor doi curenti sinusoidali.

Se observa ca operatia de adunare a celor doi curenti sinusoidali i₁ si i₂ se transpune fazorial prin adunarea celor doi vectori ce reprezinta geometric cei doi curenti sinusoidali. In felul acesta determinarea modulului si a fazei curentului i = i₁+ i₂ devine mult mai simpla.

Se pot aplica regulile de adunare, scadere sau inmultire cu scalar a vectorilor. Este important de retinut faptul ca marimile sinusoidale nu sunt in realitate vectori, de aceea este de preferat denumirea de fazori data segmentelor orientate ce reprezinta marimile alternative sinusoidale. Reprezentarea fazoriala este simpla si intuitiva, atat in ceea ce priveste valoarea marimilor sinusoidale cat, mai ales, in ceea ce priveste defazajele dintre marimile sinusoidale.

4 Reprezentarea in complex a marimilor sinusoidale.

Aceasta metoda consta in utilizarea proprietatilor numerelor complexe si ofera simplitate si volum redus de calcul la operarea cu marimi sinusoidale.

Dupa cum se stie din algebra numerelor complexe, fiecarui numar complex ii corespunde biunivoc in planul complex a lui Gauss un punct (afixul numarului) si deci ii corespunde un vector de pozitie, care se numeste fazor, ca in figura de mai jos:

In planul complex axa absciselor se numeste axa reala, si se indica prin simbolul "+1" sau Re; iar axa ordonatelor se numeste axa imaginara, si se reprezinta prin simbolul "+j" sau Im.

Un numar complex poate fi scris sub una din formele:

1) forma algebrica:

= a + j b unde: a = Re - partea reala a numarului complex

b = Im - partea imaginara a numarului complex

Modulul sau lungimea fazorului c, se noteaza cu r, fiind determinat cu formula:

r = = ³

Argumentul numarului complex se noteaza cu a, fiind unghiul pe care-l face fazorul cu axa reala:

a = arctg

2) forma trigonometrica:

Din figura se observa ca: a = r cosa

b = r sina

pe care inlocuindu-le in forma algebrica rezulta:

= a + j b = r cosa j r sina = r (cosa j sina

3) forma exponentiala:

- deoarece, cosa j sina = e^{j a}, se obtine forma exponentiala:

= r e^{j a}

In forma exponentiala j se exprima: , ca urmare :

c j =

cu alte cuvinte, a inmulti cu j inseamna a roti fazorul c cu 90⁰ in sens trigonometric. Se arata simplu ca a imparti la j inseamna a roti in sens invers sensului trigonometric fazorul c.

Reprezentarea in complex a unei marimi sinusoidale poate fi facuta in doua forme: nesimplificat sau simplificat.

a) Regula de reprezentare fazoriala nesimplificata: In acest caz marimii sinusoidale alternative

u = U sin(w t + j

i se asociaza un fazor a carui modul este egal cu ampltudinea marimii sinusoidale si al carui argument este egal cu faza marimii sinusoidale:

u = U sin(w t + j e^{j w t + j}

Numarul complex se bucura de proprietatea ca proiectia sa pe axa imaginara, este chiar marimea sinusoidala u, ca in figura 4:

[ cos(w t + j j sin(w t + j

cos(w t + j) + j sin(w t + j

Deci u = Im

In aceasta situatie numerele complexe sunt functii de timp, avand proiectiile pe axe si argumentul variabil, de variabila t.

b) Regula de reprezentare fazoriala simplificata: Pentru reprezentarea in complex simplificat se renunta la coeficientul si la operatorul e^{j w t)}, obtinandu-se fazorul complex simplificat.

u = U sin(w t + j = U e^{j w t}

Marimea se numeste fazorul complex simplificat al tensiunii sau valoarea efectiva complexa.

In acesta situatie, modulul fazorului este egal cu valoarea efectiva a marimii sinusoidale, iar argumentul fazorului este egal cu faza initiala a marimii sinusoidale.

Reprezentarea in complex simplificat se bazeaza pe proprietatea ca marimile sinusoidale dintr-un circuit electric, avand aceeasi frecventa, difera intre ele numai prin valoare efectiva si faza initiala, putand fi caracterizate prin perechi de numere (val. efectiva, faza initiala).

Corespondenta operatiilor in reprezentarea complexa a marimilor sinusoidale rezulta imediat , ca in cele ce urmeaza:

a) Amplificarea marimii sinusoidale cu un scalar real corespunde biunivoc cu amplificarea imaginii complexe prin acel scalar:

l u l

b) Adunarea marimilor sinusoidale corespunde biunivoc adunarii imaginilor complexe:

u₁ + u₂

c) Derivarea marimii sinusoidale corespunde cu inmultirea imaginii complexe prin j w

Prin inmultirea unui fazor cu j w, in planul complex, acest lucru inseamna rotirea acestuia in sens trigonometric cu un unghi de 90

d) Integrarea in timp a marimii sinusoidale corespunde biunivoc cu impartirea imaginii complexe prin numarul j w

Prin impartirea unui fazor cu j w, are loc rotirea acestuia in sens invers trigonometric, cu un unghi de 90

Marele avantaj al reprezentarii fazoriale a marimilor sinusoidale este acela ca operatiile de derivare si de integrare a marimilor sinusoidale se transpun in complex in operatii algebrice de inmultire sau de impartire la jω. Evident ca prin integrare sau derivare se modifica si dimensiunea fazorului datorita faptului ca marimea ω este o marime cu dimensiuni.