CUADRIPOLI ELECTRICI

Numim cuadripol este o retea electrica care are patru borne de acces cu exteriorul, iar laturile interioare nu prezinta cuplaje magnetice cu exteriorul. In cele ce urmeaza se considera numai cuadripol pasivi, adica aceia care nu contin in interiorul sursei de tensiune electromotoare .In plus se considera parametri tuturor elementelor ca fiind constanti (cuadripoli liniari , pasivi) . Exemple de cuadripoli sunt : transformatoarele electrice ( au doua borne de intrare

-primarul -si doua de iesire - secundarul ) , liniile lungi de transport al energiei electrice etc

1. ECUATIILE CUADRIPOLULUI

Daca se considera cuadripolul din figura 18.1 , avand bornele de intrare 1-1' si bornele de iesire 2-2' se poate demonstra ca intre marimile de intrare (U₁ , I₁ ) si marimile de iesire (U₂ , I₂) exista relatiile :

U₁ = A U₂ + B I₂   

I =C U + D I₂    (1)

Coeficientii A , B , C si D sunt marimi complexe si se numesc parametrii fundamentali ai cuadripolului . Relatia (18.1) reprezinta forma fundamentala a ecuatiilor cuadripolului . Se poate vedea imediat ca parametri A si D sunt marimi adimensionale , B are marimea unei impendante , iar C are dimensiunea unei admitante .

La o frecventa invarilabila a tensiunii de alimentare , parametri cuadripolului sunt niste constante si din acest motiv ei se numesc constantele cuadripolului . Intre constantele cuadripolului pasiv exista o relatie importanta :

A D - B C =1 (18.2)

Fig. 18.1

Numita conditie de reciprocitate.

Daca se alimenteza cuadripolulul pe la bornele de iesire (fig.18.2), se observa ca fata

de schema initiala , curentii I₁ si I₂ si-au schimbat sensul , deci ecuatiile (18.1)se scriu acum :

U = A U₁ - B I₁

-I₂ = C U₁ - D I₁ (18.3)

care se rezolvate in raport cu U₁ si I₁ , si tinand cont de (18.2) , devin :

U₁ = D U₂ + B I₂

I = C U₂ + A I₂    (18.4)

Comparand relatiile (18.4) cu (18.1) rezulta ca la inversarea bornelor de intrare cu bornele de iesire corespunde cu inversarea constantelor A si D in ecuatiile cuadripolului . Aceasta observatie permite sa afirmam ca se obtine un cuadripol simetric daca :

A = D    (18.5)

18.2..SCHEME ECHIVALENTE ALE CUADRIPOLULUI

Deoarececele patru constante ale cuadripolului sunt legate prin conditia de reciprocitate (18.2) , rezulta ca numai trei dintre ele sunt independente .

Cuadripolulul poate fi inlocuit deci cu o schema echivalenta care trebuie sa contina numai trei elemente . Sunt posibile doua scheme echivalente : schema in T (fig. 18.3) si schema in II (fig. 18.4)

Sa stabilim legatura intre parametrii schemelor echovalente si constantele cuadripolului .

Pentru schema in T se pot scie relatiile :

Fig. 18.3 Fig. 18.4

I = I₂ + (U₂ +Z₂ I₂ )Y₀ =Y₀ U₂ + (1+Z₂ Y₀) I₂    (18.6)

apoi :

U₁ =Z₁ I₁ + Z₂ I₂ + U₂ = Z₁ Y₀ U₂ + (1+ Z₀ Y₀ )I₂ + Z₂ I₂ + U₂ =

(1+ Z₁ Y₀)U₂ + (Z₁ + Z₂ + Z₁ Z₂ Y₀ ) I ₂ (18.7)

Identificand relatiile (18.6) si (18.1) , se obtin constantele cuadripolului in functie de parametrii schemei echivalente in T :

A = 1 + Z₁ Y₀ ; B = Z₁ + Z₂ + Z₁ Z₂ Y₀ ; C = Y₀ ; D = 1 + Z₂ Y₀     (18.8)

sau invers :

Y = C ;     (18.9)

Cuadripolulul este simetric pentru Z₁ = Z₂

Pentru schema in II , se pot scrie relatiile :

U = Z₀ (I₂ + U₂ Y₂)+ U₂ = (1+Y₂ Z₀) U₂ + Z₀ (18.10)

apoi :

I = I₂ + U₂ Y₂ + U₁ Y₁ = (Y₁ + Y₂ + Y₁ Y₂ Z₀) U₂ + (1 + Y₁ Z₀ (18.11)

Identificand relatiile (18.10) si (18 .11) cu (18.1) , se obtin constantele cuadripolului in functie de parametrii schemei echivalente in II :

A = 1+ Y₂ Z₀ ; B = Z₀ ; C = Y₁ + Y₂ + Y₁ Y₂ Z₀ ; D = 1 + Y₁ Z₀ (18.12)

sau invers :

Z = B ; Y₁ =     (18.13)

Cuadripolul este simetric pentru Z₁ = Z2

18.3. INCERCAREA IN GOL SI IN SCURTCIRCUIT A CUADRIPOLULUI

Regimurile limita de functionare a cuadripolului sunt caracterizate de valori limita ale impendantei de sarcina Z_s (fig.18.1) . Regimul de mers in gol corespunde unei impendante de sarcina Z_s = , iar regimul de scurtcircuit corespunde unei impendante de sarcina

Z_s

Aceste regimuri se realizeaza astfel incat la mersul in gol , tensiunea secundara sa aiba valoarea U₂ , iar in scurtcircuit curentul secundar sa fie egal cu I₂

Marimile de la intrare pentru incercarea de mers in gol se noteaza U₁₀ si I₁₀ iar pentru incercarea de mers in scurtcircuit cu U_1sc si I_{1sc .}

La mers in gol , I₂ =0 , si ecuatiile cuadripolului devin :

U = A U₂ ; I₁₀ = C U₂ (18.14)

La mersul in scurtcircuit U₂ =0 , deci ecuatiile cuadripolului se scriu :

U_1sc = B I₂ ; I_1sc = D I₂ (18.15)

Introducand relatiile (18.14) si (18.15)

In ecuatiile cuadripolului (18.1) rezulta :

U₁ = U₁₀ + U_{1sc ;} I₁ = I₁₀ + I_1sc (18.16)

Aceasta relatie arata ca un regim regim de functionare al cuadripolului (caracterizat de U₂ si I₁ ) poate fi obtinut ca o suprapunere a celor doua regimuri extreme : mersul in gol si mersul in scurtcircuit .

Relatiile (18.14) si (18.15) dau impendantele echivalente vornelor primare la mersul in gol si scurtcircuit :

(18.17)

    (18.18)

Daca se alimenteaza cuadripolul pe la bornele de iesire , impendantele echivalente , la mersul in gol si scurtcircuit pentru bornele de iesire , vor avea valorile :

si (18.19)

(se inverseaza constantele A si D ) .

De fapt la alimentarea cuadripoluluiinvers nu mai este nevoie decat de de o singura incercare , deoarece a patra ecuatie este data de conditia de reciprocitate . Ea poate fii utilizata doar ca verificare .

18.4. IMPEDANTA CARACTERISTICA SI CONSTANTA DE PROPAGARE A

CUADRIPOLULUI SIMETRI

S-a in paragraful 18.2 ca un cuadripol este caracterizat prin trei parametri independenti . Cuadripolulul simetric insa este caracterizat numai prin doua constante independente . Cele doua constante caracteristice cuadripolului simetric pot fi luate arbitrar si de exemplu ele pot fi : impendanta caracteristica si constanta de propagare , notiuni care se vor defini mai jos .

Se numeste impendanta caracteristica     sau repetata , impendanta care conectata la bornele de iesire se regaseste la bornele de intrare ,,adica exista relatia :

(18.20)

Facand raportul intre cele doua ecuatii (18.1) pentru un cuadripol simetric (A=D) ,

(18.21)

si impartind numitorul si numaratorul membrului drept din (18.21) prin I₂ , tinand cont de (18.20) rezulta ecuatia :

    (18.22)

rezolvand ecuatia (18.22) se obtine impendanta caracteristica a cuadripolului simetric sub forma : (18.23)

Aeasta expresie a impendantei caracteristice permite sa tragem concluzia ca in cazul particular cand

B = C =0 (18.24)

orice impendanta este o impendanta caracteristica .

Din expresiile care dau constantele cuadripolului pentru cele doua scheme echivalente :

B = 2Z₁ + Z₁² Y₀ ; C = Y₀ , pentru shema in T (18.25)

B = Z₀ ; C = 2Y₁ + Y₁² Z₀ , pentru schema in II , (18.26)

conditia (18.24) conduce la urmatoarele conditii echivalente : Y₀ = 0 si Z₁ = 0 , respectiv Z₀ = 0 si Y₁ = 0 , adica aceste conditii pot fi indeplinite numai pentru cuadripoliformati exclusividin elemente reactive acordate la rezonanta (fig.5) .

Daca cuadripolul simetric este inchis pe impendanta caracteristica , ecuatiile cuadripolului se scriu :

U = A U₂ + B I₂ = U₂ ( A +     (17.27)

I = C U₂ +     A I₂ = I₂ (A + (17.28)

Deci :

    (18.29)

Se numeste constanta de propagare a cuadripolului simetric logaritmul natural al expresiei (18.29) :

    (18.30)

Fig. 18.5

Numarul complex t se poate pune sub forma :

(18.31)

unde se numeste constanta de atenuare , iar se numeste constanta de faza .

Deoarece :

si (18.32)

(conditia de reciprocitate )

rezulta :

e^-g=A- (18.33)

Din (18.32) si (18.33) se pot deduce relatiile :

    (18.34)

    (18.35)

Tinand cont de (18.23) , din (18.35) rezulta :

; (18.36)

Cu relatiile (18.34) si (18.36) ecuatiile cuadripolului simetric se pot exprima in functie de impendanta caracteristica Z_c si constanta de propagare g astfel :

U = U₂ chg + I₂ Z_C shg

I₁ =

Din incercarea in gol (I₂ = 0 ) si la scurtcircuit (U₂ = 0 ) a cuadripolului simetric alimentat numai pe la bornele de intrare , rezulta :

; (18.38)

; (18.39)

Impartind relatiile , se obtine :

; (18.40)

cu care se determina constantele Z_c si g

(18.41)

    (18.42)

Trebuie remarcat faptul ca atat impendanta caracteristica Z_c cat si connstanta de propagare g sunt constante numai daca frecventa este invariabila .

Fig. 18.6)

Fig. 18.6

Aplicatie

Sa se determine constantele fundamentale ale cuadripolului din figura 18.6 , precum si impendanta caracteristica si constanta de propagare , daca la o frecventa data , schema echivalenta in T contine elemente indicate pe figura in ohmi .

Constantele fundamentale se determina cu relatiile (18.8) :

(18.43)

(18.44)

    (18.45)

Impendanta caracteristica (relatia 18.23) este :

(18.46)

Constanta de propagare este :

(18.47)

18.5. FILTRE ELECTRICE DE FRECVENTA

In tehnica frecventelor inalte se intalnesc foarte des situatii in care este necesar sa se lase sa treaca de la generator la receptor numai curenti ai caror frecventa se gasesc intr-o anumita gama de frecventa .Pentru aceasta , intre generator si receptor se intercaleaza cuadripoli care pot indeplini aceste functii si in acest caz cuadripolii respectivi se numesc filtre electrice de frecventa .

Filtrele care lasa sa treaca curentii care au frecventele cuprinse intre w si w se numesc filtre ,, trece-banda " . Filtrele care lasa sa treaca frecventele cuprinse intre 0 si w sau intre w si senumesc filtre ,, trece-jos " si respectiv filtre ,, trece-sus ".

18.5.1.INTERVALE DE TRECERE ALE FILTRELOR

Se presupune ca filtrul este reprezentat de un cuadripol simetric care contine numai elemente reactive . Constantele fundamentale sunt date de relatiile (18.34) si (18.36) . Rezulta deci :

(18.48)

Dar , in cazul cuadripolului care contine numai elemente reactive , constanta A (relatiile (18.8 si 18.12) este o marime reala , deci din (18.48) pot exista urmatoarele doua situatii :

a)      a b 0 ;interval de trecere (semnalul nu este atenuat) .

b)      b a 0 ; interval de atenuare in care semnalul este atenuat de e^a ori , conform (18.30) si (18.31) .

Corespunzator acestor situatii , avem in intervalul de trecere :

, deci (18.49)

iar in intervalul de atenuare :

, deci (18.50)

Separarea celor doua domenii (de trecere si de atenuare )este data deci de relatia :

sau (18.51)

18.5.1DETERMINAREA LIMITELOR DE TRECERE ALE UNOR

FILTRE

a)      Se considera filtrul di figura 18.7 (cuadripolul simetric si avand numai elemente reactive ) , pentru care se poate scrie :

    (18.52)

(18.53)

Fig. 18.7 Fig. 18.8

a b

Fig. 18.9

Utilizand notatiile :

; ; ; (18.54)

rezulta :

    (18.55)

(18.56)

Constanta fundamentala A a cuadripolului are valoarea (vezi relatia 18.8) :

(18.57)

Limitele de trecere se determina din (18.51) si (18.57) , si rezulta :

    (18.58)

(18.58)

Curba de atenuare a=f(h)este data aproximativ in figura 18.8 .

Pentru k=1 se obtine filtrul din figura 18.9 , a , pentru care :

si , (18.59)

deci se obtine un filtru ,, trece sus " , a carui caracteristica de atenuare a=f(h) este data in

figura 18.9 ,b .

Fig. 18.10 Fig. 18.11

b)      Considerand filtrul di figura 18.10 , elementele componente sunt :

; (18.60)

Notand de aceasta data si mentinand aceleasi valori w h si r , constanta A a cuadripolului P este :

(18.61)

Limitele de trecere se determina punand conditia :

re rezulta :

; (18.62)

Pentru k=1 , se obtine :

si , (18.63)

deci un filtru ,, trece jos " , a carui schema (dedusa din figura 18.10 pentru k=1) este data de figura 19.11 .

Acest filtru este utilizat in toate instalatiile de redresare .

Exemplu

La redresarea unei singure alternante a curentului alternativ , filtrul utilizat trebuie sa lasa sa treaca toate frecventle care sunt mai mici decat frecventa redresata ( 50 Hz de exemplu ) . Avand la dispozitie un condensator de 2 mF se cere a se calcula valoarea inductivitatii .

Cunotatiile utilizate :

Din (18.63) rezulta :

, sau (18.64)

Avand C=25mF si impunand f=50 Hz , rezulta valoarea inductivitatii :

(18.65)

In cazul redresarii ambelor alternante , frecventa minima care apare este de 100 Hz , deci conform relatiei (18.64) valoarea inductivitati este de patru ori mai mica pentru a obtine acelasi efect de filtrare .