ELECTROCINETICA SI MAGNETOSTATICA - APLICATII

2. Efectul Hall

O placa paralelipipedica de Cu are lungimea = 60 mm, latimea b = 20 mm si grosimea a = 1 mm ( Figura 1 ).

a 3

b 1 2 I₁₂

4

Figura 2

Daca se trece de-a lungul placii un curent I₁₂ = 10 A se observa intre punctele 1 si 2 o diferenta de potential U₁₂ = 0,51 mV, intre punctele 3 - 4 nemasurandu-se nici o diferenta de potential.

Daca se aplica insa un camp magnetic uniform de inductie B = 0,1 T perpendicular pe placa, se observa intre punctele 3 - 4 aparitia unei diferente de potential

U₃₄ = 0,055mV.

Se cere:

a) sa se justifice aparitia diferentei de potential U₃₄;

b) sa se determine din datele problemei concentratia n a electronilor liberi din Cu;

c) sa se calculeze mobilitatea m a electronilor liberi;

d) sa se calculeze constanta Hall R_H = 1 (n e ) pentru cupru.

Ce concluzii se pot trage din valoarea determinata

Rezolvare

a) In campul magnetic de inductie B fiecare electron component al curentului I₁₂ este supus actiunii transversale a fortei Lorentz :

,

sau:

deoarece :

Intre punctele 3 - 4 ale placii apare un camp electric de intensitate :

Deci, intre aceste puncte apare o diferenta de potential :

Din intensitatea I₁₂ a curentului :

se deduce :

unde n este concentratia electronilor liberi prin placa de Cu.

Atunci :

b) Din relatia dedusa pentru tensiunea Hall, U₃₄ se determina :

c) Mobilitatea purtatorilor de sarcina se determina din relatia de definitie :

,

de unde:

d)

Cunoscandu-se constanta Hall, se poate determina experimental concentratia si tipul purtatorilor de substanta solida.

4. Bilantul energetic intr-un circuit de curent continuu

Printr-o linie electrica de transport, cu lungimea totala =10 Km, trebuie alimentati mai multi receptori de curent continuu avand o putere totala instalata P_u=4500 KW. Sunt folositi conductori de Cu cu sectiunea S=150 mm².

a)Faceti bilantul energetic al intregului circuit si deduceti expresia generala a randamentului electric.

b) Deduceti expresia energiei si a puterii utile debitate de baterie pe circuitul exterior.

c) Calculati t.e.m. a sursei de alimentare, (presupusa de rezistenta electrica neglijabila), pentru circuitul considerat, stiind ca randamentul electric al retelei este

d) Care va fi pierderea de tensiune si de putere pe linia de alimentare in acest caz?

e) Analizati in ce conditii transferul de putere de la baterie la circuitul exterior este maxim si deduceti valoarea randamentului electric in astfel de situatii.

Rezolvare

R_c

a)

, r P_u, R U

Figura 1

In Figura 1 a fost notata cu - tensiunea electromotoare a sursei de alimentare, cu r - rezistenta interna a acesteia, cu R_c-rezistenta electrica a conductoarelor de legatura, iar cu P_u si R-puterea utila consumata, respectiv rezistenta electrica totala a consumatorilor.U-este tensiunea utila (de cele mai multe ori identificata ca tensiunea la bornele sursei in functiune) de alimentare a consumatorilor.

Energia electrica debitata de sursa de alimentare este consumata deci pentru efectuarea de lucru mecanic rezistent necesar transportului sarcinilor electrice prin:consumatoare, conductoarele de legatura si sursa insasi.

Randamentul electric al circuitului de curent continuu prezentat in figura anterioara va fi:

Din relatia obtinuta se vede ca randamentul circuitului este subunitar. El este cu atat mai mic cu cat rezistenta interna r a bateriei si rezistenta R_c a conductoarelor de legatura sunt mai mici.

b) Energia utila debitata pe circuitul exterior va fi:

(2)

Energia electrica se masoara in Jouli (J). O unitate de masura des uzitata este kilowattul ora: 1 KWh=10³Wx3600s=36.10⁵J.

Puterea utila consumata de circuitul exterior, conform definitiei, va fi:

(3)

Puterea se masoara in wati (W).

Pornind de la legea lui Ohm pentru circuitul intreg, se poate exprima puterea utila debitata prin circuitul exterior in functie de tensiunea electromotoare si rezistenta interna a sursei:

(4)

c)In cazul solicitat, r = 0, iar . In calculul rezistentei conductoarelor de legatura lungimea totala a acestora este 2 deoarece peste tot, linia este bifilara.

Pornind de la expresia generala a randamentului in conditiile date si, tinand cont de expresia puterii in curent continuu, se obtine:

(5)

d)Pierderea de putere pe conductoarele de legatura se determina cu ajutorul primei relatii din (5):

(6)

Caderea de tensiune pe conductoarele de legatura va fi:

(7)

e)Dupa cum se poate observa din relatia (4), depinde de rezistenta consumatorilor si de rezistenta interna a sursei si a conductoarelor de legatura, pe de alta parte. Puterea utila debitata va fi maxima atunci cand dP_u/dR=0. Facand derivata, se obtine:

(8)

Rezultatul obtinut se numeste teorema transferului maxim de putere care spune ca transferul de putere de la sursa la consumatorii externi este maxima atunci cand rezistenta circuitului exterior este egala cu rezistenta interna a sursei.

6.1Campul magnetic creat de conductorul rectiliniu parcurs de curent stationar

a)Deduceti expresia inductiei cimpului magnetic creat de un conductor rectiliniu, infinit lung, aflat in aer, care este parcurs de un curent continuu de intensitate I, intr-un punct aflat pe mediatoarea conductorului la distanta y de acesta.

b) Printr-un fir conductor rectiliniu, infinit lung trece un curent cu intensitatea I=50 A. Un electron care se misca cu viteza constanta v=10⁷ m/s, trece printr-un punct aflat la distanta y = 5 cm de fir.

Determinati cu ce forta va actiona conductorul asupra electronului daca miscarea electronului are loc:

b₁) perpendicular spre fir;

b₂) paralel cu firul;

b₃)perpendicular pe fiecare dintre cele doua directii anterioare.

Se cunoaste sarcina electronului e = -1,6.10^-19C, permeabilitatea magnetica absoluta a aerului-.

c) Patru conductoare lungi strabatute fiecare de acelasi curent I=20 A, sunt plasate in varfurile unui patrat de latura a = 20cm, normal la planul acestuia. Sensul curentilor este cel indicat pe Figura 1.

Sa se determine marimea, directia si sensul campului magnetic rezultant in centrul patratului.

1

4

Figura 1

Rezolvare

a)In Figura 2 este prezentat conductorul infinit lung, pe directia Oz parcurs de curentul de intensitate I.

z

dz q

z Figura 2

I

P

y

O y

Se va calcula inductia campului magnetic creat de intregul conductor intr-un punct P, aflat pe axa Oy (mediatoarea conductorului) la distanta y de acesta. Consideram, la distanta z de originea sistemului de coordonate, un element infinitezimal dz din conductor. Fir vectorul de pozitie al punctului P fata de elementul considerat. Acesta face unghiul q cu directia conductorului.

Elementul infinitezimal va crea in punctul P campul de inductie , avand orientarea din figura.Conform expresiei din enuntul problemei pentru legea Biot-Savart-Laplace, acesta va avea fi:

Inductia campului rezultant in P se deduce, integrandu-se pe intreaga lungime a conductorului si, tinandu-se cont de simetria punctului O, se obtine:

Din figura se poate observa ca cele tre elemente z, q si r nu sunt independente, incat se poate face schimbarea de variabila:

Inlocuind in expresia lui B, se obtine:

Campul magnetic rezultant B are aceeasi orientare ca si elementul de camp si se poate determina cu regula burghiului: un burghiu drept, plasat de-a lungul conductorului este rotit astfel incat sa inainteze in sensul curentului prin conductor. Sensul de rotatie al burghiului da sensul liniilor de camp magnetic creat de conductor in punctul respectiv. Vectorul este tangent la linia de camp magnetic in orice punct si are sensul acesteia.

b)Se poate folosi Figura 2.Inductia campului magnetic creat de de conductor in punctul P, are orientarea de pe figura si are marimea:

Din expresia fortei Lorentz cu care campul magnetic al conductorului va actiona asupra unei sarcini oarecare:

se constata ca un camp magnetic actioneaza asupra unei sarcini in miscare numai daca exista o componenta a vitezei particulei normal la directia campului. Actiunea este maxima atunci cand viteza particulei este perpendiculara la directia campului. Urmarindu-se figura se constata:

b₁), orientata de-a lungul conductorului, in sensul curentului prin acesta.

b₂) , orientata normal la directia conductorului. Daca v este in sensul curentului prin conductor, forta este repulsiva.

b₃) In ambele cazuri viteza este coliniara cu inductia magnetica si actiunea este nula.

c)

1 2

₃

_{4 1}

4 3

Figura 3

c₁) Inductiile magnetice create de fiecare dintre conductoare in centrul patratului sunt egale ca valoare:

si au orientarile din Figura 3.

Ele sunt coliniare si de acelasi sens doua cate doua, astfel incat inductia rezultanta B_P este orientata vertical in sus. Valoarea sa va fi:

6.2. Inductia campului magnetic creat de o spira parcursa de curent continuu

O spira circulara de raza a, aflata in aer este parcursa de un curent de intensitate I.

Sa se calculeze si sa se reprezinte inductia campului magnetic creat de spira:

a)intr-un punct P situat pe axa de simetrie a spirei, la distanta y de centru;

b) in centrul spirei.

c) In modelul Bohr al atomului de hidrogen, electronul se roteste in jurul nucleului pe o traiectorie circulara cu raza r₀=5,1.10^-11m cu frecventa n=6,8.10¹⁵ s^-1.Sa se determine inductia magnetica produsa de miscarea electronului in centrul orbitei.

Rezolvare

In Figura 1 de mai jos este reprezentata proiectia unei spire plasata in plan vertical normal la planul foii. z

q dB_z dB

a

q

O y P dB_y y

Figura 1

Se va considera ca curentul electric intra in spira prin partea de sus si iese din planul imaginii prin partea de jos a spirei. La partea superioara a spirei, am considerat un element infinitezimal din spira, orientat, ca si sensul curentului prin el, spre cititor.

Conform legii Biot-Savart-Laplace, acesta va produce in punctul P o inductie infinitezimala:

care este normal la r si are sensul din figura.Aceasta are o componenta dB_y pe axa spirei si una dB_z normala la aceasta. Datorita simetriei spirei, componenta dB_z va fi anulata de un element infinitezimal simetric, situat in partea de jos a spirei. In aceste conditii, inductia totala in punctul P va fi determinata numai de componentele campului magnetic creat de spira de-a lungul axei. Se obtine:

Se observa din figura ca variabilele r si q nu sunt independente. Se poate scrie:

Pentru punctele foarte indepartate de spira pentru care , ecuatia se reduce la:

b)Daca in expresia () se pune y = 0, se gaseste expresia inductiei campului magnetic in centrul spirei:

c)Conform definitiei, intensitatea curentuluieste sarcina care trece in unitatea de timp prin orbita electronului:

Inductia campului magnetic in centrul orbitei electronului, conform rezultatelor de la punctul (b), va fi: