Ecuatia laturii de circuit in curent alternativ sinusoidal

Ecuatia laturii de circuit in curent alternativ sinusoidal

In curent alternativ, legea conductiei electrice din regimul stationar nu mai este valabila in valori instantanee, datorita caracterului reactiv al bobinelor si condensatoarelor si datorita t.e.m. induse.

Cu toate acestea studiul circuitelor de curent alternativ se poate face intr-un mod similar celor de curent continuu cu ajutorul reprezentarii in complex.

Fie o latura activa de circuit, cuplata magnetic cu alte laturi ale aceluiasi circuit si o curba de parcurs (Γ), luata prin interiorul conductorului in sensul curentului si prin exterior in lungul tensiunii la borne, in sens invers acestei tensiuni (fig. 6.29).

Fig.29

Fluxul total inlantuit de latura 1-4, calculat prin suprafata S_Γ cuprinsa de curba Γ tinand seama de sensul de asociere fata de curentul i este dat de relatia:

(6.113)

unde este fluxul propriu al bobinei L , iar este fluxul produs prin bobina de inductivitatile altor laturi ale circuitului. Aplicand legea inductiei electromagnetice pe conturul inchis dat de curba Γ se poate scrie:

(6.114)

In general, campul electric poate avea componente coulombiana (potentiala), indusa (solenoidala) si imprimata (sursa e) astfel ca se poate scrie:

(6.115)

de unde:

(6.116)

Ca urmare:

(6.117)

pentru ca

Tinand seama ca , relatia (6.117) devine:

(6.118)

de unde:

(6.118.a)

Integrala din membrul 1 al relatiei (6.118) se dezvolta intr-o suma pe portiuni (fig. 6.29):

(6.119)

unde:

Inlocuind aceste relatii in (6.119) se obtine:

(6.120)

Egaland acum relatiile (6.118) si (6.120) rezulta:

(6.121)

Daca se tine seama de expresia (6.113) pentru , relatia (6.121) se mai poate scrie:

(6.122).

Relatia (6.122) reprezinta ecuatia generala a unei laturi liniare, receptoare, active si cuplate (magnetic) a unei retele de curent alternativ sinusoidal.

Reprezentand in complex aceasta ecuatie se obtine:

(6.123)

unde:

(6.124)

reprezinta impedanta complexa proprie laturii.

Tinand seama de , relatia (6.123) devine:

(6.125)

Relatia de mai sus exprima ecuatia unei laturi receptoare, active si cuplate, de c.a. sinusoidal, reprezentate in complex. Schema echivalenta corespunzatoare este prezentata in figura (6.30).

Fig.6.30

In cazul unei laturi generatoare (fig. 6.30), tensiunea la borne are sensul inversat (linia intrerupta) si ecuatia laturii de circuit devine:

(6.126)

Daca se noteaza suma tensiunilor din membrul stang cu (tensiune aplicata) si se cumuleaza relatiile (6.125) si (6.126) intr-o singura relatie se obtine:

legea lui Ohm (6.127)

unde:

(6.128)

Relatia (6.127) reprezinta legea lui Ohm generalizata pentru o latura de circuit liniara, pasiva sau activa, cuplata sau necuplata, in curent alternativ sinusoidal.

Pentru o latura pasiva (E=0) si necuplata relatia (6.127) devine:

caz in care legea lui Ohm generalizata pentru o latura receptoare sau generatoare devine:

(6.129)

Pentru a evidentia impedantele mutuale in ecuatia laturii se considera o latura de circuit "m" cuplata mutual cu o latura vecina "s". (fig. 6.31).

Fig.6.31

In acest caz fluxul va fi fluxul magnetic produs in latura "m" de bobine din latura "s", aceasta din urma apartinand circuitului analizat.

Scriem ecuatia laturii cu precizarea indicelui acestei laturi:

(6.130)

Dar este dat de relatia:

(6.131)

Fluxul este produs in latura "m" de latura "s" ca urmare a cuplajului mutual al celor doua bobine, L_m si L_s. Derivand dupa timp si inlocuind in (6.130) se obtine:

(6.132)

Cum pot exista mai multe cuplaje intre latura angajata si celelalte laturi ale circuitului, reloatia (6.131) devine in acest caz:

(6.132.a)

Inductivitatea mutuala L_ms este pozitiva sau negativa , dupa cum fluxurile si se aduna sau se scad prin latura m.

Ca urmare, valoarea pozitiva sau negativa a unei astfel de inductivitati va trebui determinata prin indicarea sensului sau de referinta, marcandu-se cu stelute bornele bobinelor cuplate. Aceste borne marcate poarta numele de borne polarizate (fig. 6.32).

Fig.6.32

Daca curentii i_m si i_s au acelasi sens fata de bornele polarizate, atunci L_ms>0 si fluxul produs de bobina L_s prin bobina L_m se aduna cu flusul acesteia.

Daca curentii i_m si i_s au sensuri opuse fata de bornele polarizate, atunci L_ms<0 si fluxul produs de L_s prin L_m se va scadea din fluxul propriu al bobinei L_m.

Exprimand ecuatia (6.132) in complex rezulta:

(6.133)

Se introduce notatia:

Rezulta:

(6.134)

sau:

(6.135)

Ecuatia (6.135) reprezinta ecuatia unei laturi de circuit liniara, activa si cuplata magnetic, exprimata in complex, cu evidentierea impedantelor mutuale dintre latura analizata si celelalte laturi ale circuitului.