Inductivitati

Inductivitati

Prin inductivitate se intelege, la modul general, marimea egala cu raportul dintre fluxul magnetic total prin suprafata limitata de conturul circuitului si curentul care il produce, indiferent daca curentul este stabilit in circuitul inlantuit de flux sau nu. Daca mediul magnetic este liniar (cu permeabilitate magnetica constanta, independenta de intensitatea campului magnetic) inductivitatea este si ea constanta, dependenta fiind numai de geometria si de dispunerea circuitelor care genereaza flux magnetic, precum si de materialul sistemului fizic.

5.4.1. Inductivitate proprie. Inductivitate mutuala

Fie spira din figura 5.10, filiforma, nedeformabila, in regim electrocinetic cvasistationar de intensitate , situata intr-un mediu omogen, izotrop si liniar de permeabilitate si aflata in afara influentei oricaror fluxuri magnetice exterioare. Raportul pozitiv dintre fluxul prin orice suprafata deschisa , care se sprijina pe curba si curentul , se numeste inductivitatea sau inductanta proprie a spirei :

.

Facandu-se conventia calcularii fluxului , numit flux propriu al spirei, pentru un sens de referinta al normalei la suprafata asociat cu sensul curentului dupa regula burghiului drept, relatia (5.47) defineste o marime pozitiva.

Fie acum o bobina cu spire, constituita dintr-un conductor filiform cu doua borne de acces (fig. 5.11), in aceleasi conditii de mediu si de izolare fata influente magnetice exterioare. Inductivitatea proprie a bobinei se defineste ca raport dintre fluxul corespunzator unei suprafete care se sprijina pe curba inchisa ce urmareste fibra medie a conductorului si se inchide prin cele doua borne si intensitatea curentului prin bobina. Desi portiunea de curba dintre cele doua borne nu este univoc determinata, campul magnetic din interiorul bobinei fiind mult mai intens decat cel exterior, alegerea acelei portiuni de curba nu va influenta valoarea fluxului prin suprafata

Fluxul este fluxul total al bobinei. El poate fi inlocuit in calcule prin produsul dintre numarul de spire si fluxul , referitor la o suprafata deschisa ce se sprijina pe o singura spira, numit flux fascicular :

.

Daca spirele bobinei nu se suprapun (fig. 5.12) si liniile inductiei magnetice care determina fluxul bobinei nu inlantuie toate spirele, se defineste un flux fascicular mediu, ca raport intre fluxul total si numarul de spire:

^.

Exprimarea fluxului total sub forma (5.48) este utila pentru ca pune in evidenta aportul numarului de spire la aspectul cantitativ al fenomenului.

Se presupun, in continuare, doua bobine, cu conductoare filiforme, nedeformabile, mentinute in aceeasi pozitie relativa si situate in mediul de permeabilitate . Ele sunt reprezentate in figura 5.13 prin cate o singura spira.

Se considera, mai intai, ca numai circuitul este parcurs de curentul , in celalalt circuit curentul fiind nul. Se noteaza cu fluxul produs de curentul , inlantuit de circuitul si cu fluxul produs de curentul care inlantuie circuitul . Raportul:

^, (5.50)

dintre fluxul prin circuitul , stabilit de curentul din circuitul , prin acest curent, se numeste inductivitate mutuala sau inductanta mutuala intre cele doua circuite.

Se va arata in cele ce urmeaza ca exista relatia de reciprocitate:

. (5.51)

Cele expuse sunt suficiente pentru a clarifica modul in care inductivitatea a fost definita, inca de la inceput, ca marime de relatie intre un flux si curentul care produce fluxul, indiferent daca curentul se afla prin circuitul inlantuit de flux sau nu.

Se convine ca notatia fluxurilor sa fie afectata de doi indici, primul indicand circuitul inlantuit de flux iar al doilea indicand curentul care produce fluxul.

Sensul de referinta al fiecaruia din fluxuri este, prin conventie, asociat dupa regula burghiului drept cu sensul curentului din circuitul inlantuit de flux. Ca urmare fluxul propriu al circuitului , notat aici cu , este intotdeauna pozitiv, in timp ce poate fi pozitiv sau negativ. Corespunzator, inductivitatile , pot fi pozitive sau negative.

Pentru a indica modul in care trebuie introdusa in calcule inductivitatea mutuala se indica prin asteriscuri bornele de inceput ale bobinelor (in sensul de bobinare) asa ca in figura 5.14. Daca sensurile de referinta ale curentilor fata de bornele polarizate ale bobinelor avand acelasi sens de bobinare sunt aceleasi pentru ambele bobine, inductivitatea mutuala se ia cu semnul plus si cu minus in caz contrar. Daca sensurile de bobinare nu sunt aceleasi regula semnelor se schimba.

Unitatea SI de inductivitate se numeste henry (cu simbolul H) si corespunde inductivitatii unei bobine prin care un curent de un amper stabileste fluxul magnetic de 1 weber.

5.4.2. Calculul inductivitatilor

Calculul inductivitatii unui circuit filiform presupune, in principiu, parcurgerea urmatoarelor etape: se considera circuitul parcurs de curentul ; se calculeaza inductia magnetica a campului produs in diferite puncte ale spatiului; se calculeaza fluxul magnetic prin suprafata ce se sprijina pe curba ce coincide cu fibra medie a circuitului; se aplica relatia de definitie:

Fie spira din figura 5.10. Inductia magnetica intr-un punct situat pe se calculeaza utilizand relatia (5.43):

^,

iar fluxul magnetic va fi:

^.

Rezulta inductanta spirei:

^.

Calculul inductantei bobinei din figura 5.11 va tine seama ca fluxul magnetic fascicular este datorat inductiei:

si va avea expresia:

^.

Fluxul total fiind rezulta:

^.

Relatiile (5.52) si (5.55) ne arata ca inductivitatea proprie este o marime de material, dependenta de geometria circuitului si de permeabilitate. La concluzia ca si inductivitatea mutuala este o marime de material vom ajunge stabilind relatia generala pentru calculul inductivitatii mutuale a doua circuite ca acelea din figura 5.15.

Fluxul magnetic prin circuitul stabilit de curentul din circuitul are expresia:

(5.56)

in care potentialul vector produs de curentul se calculeaza cu relatia (5.41):

Inductanta , calculata potrivit relatiei de definitie (5.50) este:

^,

de unde rezulta ca si ea este dependenta de geometria circuitelor, de pozitia lor reciproca si de permeabilitate.

Relatia (5.57) se numeste formula lui Neumann pentru inductivitati mutuale.

Daca se considera circuitul parcurs de curentul si se calculeaza fluxul prin circuitul stabilit de curentul :

(5.58)

in care ^, se obtine pentru tot expresia (5.57). Se demonstreaza astfel relatia de reciprocitate:

, (5.59)

fiind simbolul generic adoptat pentru inductivitatea mutuala.

Circuitele electrice a caror inductivitate mutuala este diferita de zero se numesc circuite cuplate magnetic.

Observatie. Daca se face referire la bobinele din figura 5.13 se va tine seama ca fluxurile si au expresiile si , unde si au expresii conforme cu (5.56) si (5.58) si ca inductia -conforma si ea cu (5.53)- este:

^,

iar potentialul vector va fi:

^.

Astfel, fluxul fascicular va rezulta cu expresia:

^,

iar inductivitatea mutuala, calculata cu relatia de definitie, va fi:

^. (5.60)

5.4.3. Inductivitati utile si de dispersie

Revenindu-se la cele doua bobine cuplate magnetic din figura 5.13 se constata ca numai o parte din liniile de camp ale fluxului fascicular propriu produs de una din bobine inlantuie cealalta bobina. Acestea constitue fluxul magnetic fascicular util sau, pe scurt, fluxul fascicular util.

Liniilor de camp care se inchid prin aer, fara a inlantui cealalta bobina, le corespunde fluxul de dispersie sau fluxul de scapari.

Notandu-se cu fluxul fascicular propriu al bobinei 1, cu fluxul fascicular produs de prima bobina printr-o spira a bobinei 2 si cu fluxul fascicular de dispersie al bobinei 1 fata de bobina 2, rezulta relatia:

.

Partea din inductivitatea propriea bobinei 1 corespunzatoare fluxului de dispersie fata de bobina 2 se numeste inductivitate de dispersie a bobinei 1 fata de bobina 2:

^.

Deoarece si , relatia de mai sus se scrie

.

Analog, se defineste inductivitatea de dispersie a bobinei 2 fata de bobina 1:

.

In general deoarece , conform expresiei (5.59). Termenii:

si

,

din ecuatiile (5.61) si (5.62) se numesc inductivitatea utila a bobinei 1 fata de bobina 2, respectiv, inductivitatea utila a bobinei 2 fata de bobina 1.

Din relatiile (5.61) la (5.63) rezulta urmatoarele expresii pentru inductivitatile proprii:

si

.

Din (5.61) si (5.62) mai rezulta ca in absenta dispersiei (cuplaj perfect) avem . In realitate nu exista cuplaje pefecte, astfel ca dispersia a doua bobine culpate magnetic va fi caracterizata global prin urmatorii indicatori:

- coeficientul de cuplaj :

^.

Pentru bobinele necuplate, , si prin urmare ;

- coeficientul de dispersie magnetica :

La dispersie magnetica maxima (bobine necuplate) , iar la cuplaj pefect , si deci, practic, .

Problemele de dispersie magnetica intervin in studiul circuitelor magnetice ale masinilor si aparatelor electrice.

5.4.4. Relatiile lui Maxwell pentru inductivitati.

Exprimarea t.e.m. induse cu ajutorul inductivitatilor

Intr-un mediu liniar din punctul de vedere magnetic, cunoscandu-se inductivitatile proprii si mutuale ale unui sistem de circuite, se poate calcula fluxul magnetic prin oricare circuit daca se cunosc curentii din toate circuitele.

Intr-adevar, daca fluxul total prin circuitul , produs de curentul este , atunci, potrivit principiului superpozitiei (mediul fiind liniar) fluxul total prin circuitul , produs de toti curentii, se poate calcula ca suma a fluxurilor produse de fiecare curent in parte:

. (5.69)

Fluxurile find functii liniare de curenti, de forma , fluxul poate fi exprimat astfel:

, (5.70)

in care,

(5.71)

este inductivitatea proprie a circuitului iar:

(5.72)

este inductivitatea mutuala intre circuitele si .

Relatiile (5.70) intre fluxuri si curenti sunt relatiile lui Maxwell pentru inductivitati . Sub forma compacta ele se scriu:

, (5.73)

unde L este matricea patratica si simetrica, de ordin , a inductivitatilor proprii si mutuale:

L= . (5.74)

Daca matricea L este nesingulara, ecuatia (5.73) se poate scrie:

i = L^-1F GF (5.75)

in care G este matricea inductivitatilor reciproce proprii si mutuale.

Sistemul (5.75) se scrie desfasurat:

, (5.76)

unde:

, (5.77)

este inductivitatea reciproca proprie a circuitului si:

^, (5.78)

este inductivitatea reciproca mutuala intre circuitele si .

Daca in relatiile (5.70) curentii sunt variabili in timp, fluxurile vor fi de asemenea variabile in timp si, ca urmare, in circuitul se induce tensiunea electromotoare:

^,

ale carei componente sunt:

- tensiunea electromotoare de autoinductie

;

- tensiuni electromotoare de inductie mutuala intre circuitul si circuitele :

^.

5.4.5. Inductivitati echivalente

Se presupune, mai intai, o bobina ideala, a carei rezistenta ohmica este neglijabila, parametrul ce o caracterizeaza fiind numai inductivitatea proprie (fig. 5.16).

Pentru circuitul bobinei ideale din figura 5.16, aflat in regim electrocinetic variabil in timp, este valabila legea lui Ohm scrisa sub forma:

Aici este tensiunea electromotoare de autoinductie, , iar . Rezulta atunci, ca intre tensiunea la bornele bobinei ideale si curent exista relatiile:

^,

(5.83) .

In circuitele electrice pot exista mai multe bobine conectate intre ele in diferite moduri. Uneori exista posibilitatea ca ele sa fie apreciate printr-o inductivitate unica, numita inductivitate echivalenta.

Inductanta echivalenta a doua bobine ideale legate in serie, necuplate inductiv (fig. 5.17), rezulta din ecuatia tensiunilor:

,

unde , si .

Inlocuind tensiunile cu expresiile lor de mai sus in ecuatia tensiunilor si simplificand cu se deduce relatia:

(5.84) .

Pentru a stabili expresia inductantei echivalente a doua bobine ideale in serie, cuplate inductiv (fig.5.18), se scrie legea lui Ohm pentru portiunile neramificate de circuit care urmaresc fibra medie a conductoarelor celor doua bobine :

,

unde si sunt tensiunile electromotoare de autoinductie iar si sunt tensiunile electromotoare de inductie mutuala.

Deoarece exista relatiile:

^,

^,

^,

va rezulta:

, (5.85)

^. (5.86)

Existand relatiile:

(5.87)

si

^, (5.88)

rezulta, daca se inlocuiesc in (5.87) tensiunile cu expresiile lor (5.85), (5.86) si (5.88):

^,

de unde:

(5.89)

In cazul cuplajului diferential, se schimba semnul din fata lui si relatia (5.89) devine:

. (5.90)

Inductanta echivalenta a doua bobine ideale legate in paralel si necuplate inductiv (fig. 5.19), rezulta din urmatoarele:

- teorema I a lui Kirchhoff (v. cap. 8) aplicata la nod da:

- prin derivare in raport cu timpul rezulta:

; (5.91)

- din expresiile tensiunii la bornele celor doua bobine:

si ^,

se obtine:

si ^.

Analog, din ecuatia: va rezulta ;

- daca se inlocuiesc derivatele dn ecuatia (5.91) cu expresiile lor obtinute ca mai sus rezulta , adica:

^.

In cazul bobinelor in paralel cuplate inductiv (fig. 5.20), se scriu ecuatiile:

^,

^,

^.

Din ultimile doua ecuatii se expliciteaza si :

;

^.

Cu ajutorul teoremei I a lui Kirchhoff se obtine: si, prin derivare in raport cu timpul:

^.

Introducandu-se in ultima ecuatie explicitat din (5.93-1) si , cu expresiile lor de mai sus, se obtine:

,

de unde:

(5.94) ^.

Pentru cuplaj diferential se schimba semnul din fata lui :

^.