Rezistenta ideala in curent alternativ sinusoidal

Rezistenta ideala in curent alternativ sinusoidal

Se considera un circuit cu rezistenta ideala R (Fig. 4.5.1) conectata la o sursa de tensiune variabila sinusoidal cu valoarea momentana: u = U sinwt

Am considerat tensiunea u ca origine de faza, cu faza initiala zero, adica sinusoida porneste din originea axelor de coordonate.

In circuit ia nastere un curent a arui valoare instantanee este:

i = sinwt = I sinwt,

unde I = este valoarea efectiva (eficace) a curentului sinusoidal. Rezistenta interioara a sursei si rezistenta conductorului s-au neglijat sau se considera incluse in rezistenta R.

Deoarece I_m = I si U_m = U, legea lui Ohm este valabila si pentru valorile maxime cat si pentru valorile medii ale curentilor si tensiunilor, astfel:

U_m = R I_m si U_med = R I_med

Puterea instantanee (momentana) este prin definitie:

p = u i = U I sin²wt = U I (1 - cos2wt) = (1 - cos2wt) = R I² (1 - cos2wt).

Variatia in timp a marimilor u, i, p este prezentata in diagrama din figura de mai sus din care rezulta ca tensiunea si curentul sunt in faza (j = 0). Acest lucru la o rezistenta R, este concretizat practic prin faptul ca tensiunea u la borne urmareste instantaneu variatia in timp a curentului .

Se observa ca puterea este mereu pozitiva, p = u i = R i² ³ 0, prin urmare puterea electrica p este primita de rezistor din exterior si se transforma ireversibil in caldura. Pulsatia puterii este dubla (2 w) fata de cea a tensiunii, fapt ce face ca datorita inertiei termice, caldura dezvoltata in rezistoare sa fie proportionala cu valoarea medie in timp de o perioada a puterii instantanee, astfel ca expresia valorii medii P a puterii momentane este:

P = U I = R I²    [W]

Aceasta putere P se numeste putere activa.

In diagrama fazoriala s-au reprezentat fazorii lui U si I, ai tensiunii si curentului, acesti fazorii fiind ca niste vectori care nu au punct de aplicatie si cu care se pot efectua aceleasi operatii ca si cu vectorii fortelor mecanice.Pentru valorile date ale marimilor sinusoidale u si i , fazorii nesimplificati sunt:

u =

i =

iar fazorii in complex simplificat sunt:

U = U, respectiv I = I

deoarece faza initiala este nula iar .

4.6 Bobina ideala in curent alternativ sinusoidal

Se considera un circuit cu inductivitatea ideala L , reprezentat in figura alaturata, la care s-au neglijat rezistentele sursei, conductoarelor si a spirelor bobinei. Presupunem ca valoarea momentana a intensitatii curentului prin bobina este:

i = I sinwt,

Acest curent va produce in bobina un flux magnetic variabil, deci conform legii inductiei electromagnetice, si o tensiune indusa in bobina:

u_eL = - L

Aplicand teorema a doua a lui Kirchhoff, circuitului din figura rezulta

u_eL = -u, de unde se obtine u = - u_eL = L

Tensiunea u de la bornele bobinei se mai noteaza cu u_L. Relatia de legatura dintre intensitatea curentului electric printr-o bobina ideala si tensiunea la bornele acesteia este :

u_L = L

Inlocuind expresia valorii momentane a curentului in relatia anterioara, se obtine expresia tensiunii:

u_L = L = L I coswt = I L sin (wt +

Produsul dintre pulsatia w p f [rad/s] si inductivitatea L [H] se numeste reactanta inductiva, X_L = w L, si are ca unitate de masura [W

Valoarea efectiva a tensiunii este:

U = X_L I [A].

De mentionat    faptul ca aceleasi relatii sunt valabile si pentru valorile medii si pentru amplitudini:

U_med = X_L I_med U_m = X_L I_m

Puterea instantanee la bornele bobinei este:

p = u i = 2 U I sinwt sin = U I sin2wt

Variatia in timp a marimilor u, i, p este reprezentata in figura de mai sus. Se observa ca tensiunea la bornele bobinei este defazata inaintea curentului cu unghiul pozitiv , corespunzator unui sfert de perioada.

Prin urmare la o bobina ideala curentul si tensiunea in regim sinusoidal sunt defazate la 90⁰ (sunt in cuadratura) respectiv curentul este in urma tensiunii cu , sau reciproc, tensiunea este inaintea curentului cu

Puterea are alternante pozitive si negative, este variabila sinusoidal cu pulsatia dubla (2w) fata de tensiune si are valoarea medie nula:

P =

In intervalul de timp in care puterea p este pozitiva bobina ideala absoarbe putere de la sursa, pe care o inmagazineaza sub forma de energie magnetica, iar in intervalul de timp in care p < 0 bobina cedeaza putere sursei de alimentatre. Prin urmare o bobina ideala nu consuma putere, puterea ei activa este nula. O bobina ideala efectueaza doar un schimb de putere cu sursa de alimentare, amplitudinea acestui schimb de putere fiind Q:

Marimea Q poarta numele de putere reactiva, unitatea ei de masura este tot [W], dar pentru a putea fi identificata dupa unitatea de masura, se zice ca se masoara in "volt amper reactiv" [Var].

Energia instantanee bobinei se poate calcula:

W(t) =

Variatia ei in timp este prezentata de asemenea in graficul de mai sus (curba w( )). In primul sfert de perioada energia este:

W ' = > 0,

deci este primita de bobina de la sursa. Energia W ' este egala in modul cu energia acumulata in campul magnetic al bobinei la momentul

W ' = L = L I²

In complex simplificat fazorii tensiunii si curentului sunt:

U_L

I

Intre cei doi fazori exista relatia:

U_L = j L I = j X_L I

Se observa ca fazorul tensiunii este inainte cu 90⁰ fata de fazorul curentului, el este in cuadratura cu curentul.

Este important de mentionat faptul ca puterea sau energia nu pot fi reprezentate fazorial deoarece ele nu au aceeasi frecventa de variatie ca tensiunea si curentul. Pentru reprezentarea in complex a puterilor se vor folosi alte relatii.

4.7 Condensatorul ideal in curent alternativ sinusoidal

Se considera un circuit cu condensator ideal (fara pierderi in dielectric) conectat la o sursa de tensiune alternativa sinusoidala cu valoarea momentana:

u = U sinwt,

rezistenta interioara a sursei si a conductoarelor fiind neglijata. Tinand seama de relatia dintre sarcina q si capacitatea C a condensatorului:

u_C =

se obtine pentru curentul prin condensator, prin derivarea acestei relatii:

i = Cw C U coswt = cos t = I sin

unde = X_C se numeste reactanta capacitiva (W

iar I = reprezinta valoarea efectiva a curentului din circuit.

Puterea momentana este:

p = u i = U I sin2wt.

Variatiile marimilor u, i si p sunt reprezentate in figura de mai sus, din care rezulta ca intensitatea curentului este defazata inaintea tensiunii cu unghiul , corespunzator unui sfert de perioada.

Puterea momentana are alternante pozitive si negative, cu pulsatie dubla (2w) fata de tensiune si cu valoarea medie nula:

P = .

Condensatorul efectueaza si el un schimb de putere cu sursa de alimentare, puterea activa consumata fiind nula. Amplitudinea schimbului de putere se numeste de asemenea putere reactiva si se noteaza cu Q:

[Var]

Energia consumata intr-un sfert de perioada

W ' =

este identica cu energia campului electric al condensatorului:

W ' = = C U²

Se observa ca la condensator relatia dintre valorile efective ale tensiunii si curentului sunt:

Aceleasi relatii exista si pentru valorile medii si pentru amplitudini:

In complex simplificat fazorii tensiunii si curentului sunt:

U_C = U

I

Intre cei doi fazori exista relatia:

U_C = -j I = -j X_C I

I = j

Se observa ca pentru un condensator ideal fazorul curentului este inainte cu 90⁰ fata de fazorul tensiunii, el este in cuadratura cu curentul.

Reciproc, la un condensator ideal, fazorul tensiunii U_C este in urma curentului I_C cu 90⁰.

Este important de mentionat faptul ca nici in acest caz puterea sau energia nu pot fi reprezentate fazorial deoarece ele nu au aceeasi frecventa de variatie ca tensiunea si curentul.

4.8 Circuitul R, L, C serie in curent alternativ sinusoidal

Se considera circuitul serie din figura 4.8.1, format din rezistenta R, inductanta L si capacitatea C alimentat cu o tensiune sinusoidala u(t). Curentul in circuit va fi de asemenea variabil sinusoidal si va produce tensiunile u_R, u_L, si u_C la bornele celor trei elemente de circuit. Consideram cunoscute valorile rezistentei R, a inductantei L , a condensatorului C precum si intensitatea curentului electric din circuit:

i(t) = I_m sin ωt

Am considerat faza initiala a curentului nula. Aplicand teorema a doua a lui Kirchhoff rezulta:

u = u_R + u_L + u_C

sau tinand seama de expresiile tensiunilor la bornele celor trei elemente de circuit:

care reprezinta ecuatia integro-diferentiala a circuitul R, L, C serie.

Pentru rezolvarea circuitului si determinarea expresiei tensiunii u(t) si a tensiunilor u_R, u_L si u_C la bornele rezistorului, bobinei si condensatorului vom utiliza reprezentarea in complex a marimilor sinusoidale. Transcriem in complex ecuatia integrodiferentiala a circuitului:

Aceasta este ecuatia circuitului R, L, C serie in complex. Ea ne da legatura dintre fazorul tensiunii U la bornele circuitului si expresiile fazorilor tensiunilor la bornele rezistentei, bobinei si condensatorului:

, ,

adica:   

In fond, relatia obtinuta este chiar forma in complex a teoremei a II-a a lui Kirkhhoff pentru circuitul R, L, C serie si ea ne spune ca suma fazorilor tensiunilor la bornele celor trei elemente de circuit este egala cu fazorul tensiunii la bornele circuitului. Aceasta relatie este reprezentata in diagrama fazoriala din Fig. 4.8.2. Spre deosebire de forma integrodiferentiala a ecuatiei circuitului forma in complex nu mai contine operatii de derivare sau de integrare astfel ca se poate scrie mai departe:

Fig. 4.8.3 Graficele de variatie in timp ale i(t), u(t), u_R(t), u_L(t), u_C(t) pentru circuitul R, L, C serie

Relatia obtinuta permite calculul uneia dintre marimile U sau I cand este cunoscuta cealalta marime si cand sunt cunoscute valorile parametrilor R, L C ale circuitului.

De exemplu sa presupunem ca este cunoscuta valoarea intensitatii curentului electric:

i(t) = sin ωt, adica un curent sinusoidal avand:

I = 1 A φ = 0⁰ I_m = A = 1.414 A

Presupunem ca valorile parametrilor circuitului sunt:

o rezistenta R = 1 , o inductanta L = 6.612 10^-3 H si o capacitate C = 2.122 10^-3 F

adica:    R = 1 X_L = 2.077 X_C = 1.5

rezulta:   

Fazorul U poate fi scris sub forma exponentiala:

, respectiv

Tensiunea la borne u se poate acum scrie in forma sinusoidala:

Graficele curentului i(t) si tensiunii u(t) sunt prezentate in figura 4.8.3.

Se observa faptul ca diagrama fazoriala a circuitului ne da o reprezentare mai simpla si mai sugestiva decat graficele de variatie in timp a marimilor din circuit.

Unghiul de defazaj dintre tensiune si curent este :

In cazul cand X_L > X_C, avem φ > 0 iar circuitul are caracter inductiv, iar cand X_L < X_C, φ < 0, curentul este defazat inaintea tensiunii, iar circuitul are caracter capacitiv.

Marimea: X = X_L - X_C poarta numele de reactanta circuitului R, L, C serie

Marimea :Z = R + j X = R + j (X_L - X_C) se numeste impedanta complexa a circuitului R, L, C serie

Relatia dintre fazorii U si I pentru circuitul R, L, C serie se poate scrie:

U = Z I

cunoscuta si sub denumirea de legea lui Ohm in complex.

Valoarea absoluta (modulul) a impedantei complexe se poate scrie:

Relatia dintre valorile efective ale tensiunii si curentului este:

U = Z I

Valorile efective ale tensiunilor la bornele celor trei elemente de circuit sunt:

U_R = R I, U_L = X_L I,     U_C = X_C I