Teoremele campului magnetic cvasistationar

Teoremele campului magnetic cvasistationar

Prin particularizarea legilor campului electromagnetic se pot deduce urmatoarele teoreme importante pentru studiul fenomenelor electromagnetice.

5.2.1. Teorema unicitatii determinarii campului magnetic cvasistationar

Campul magnetic cvasistationar din interiorul domeniului , limitat de suprafata , liniar, izotrop, cu permeabilitate magnetica data, este unic determinat daca se cunosc:

a) distributia densitatii curentului electric de conductie ;

b) intensitatea campului magnetic sau magnetizatia permanenta in regiunile cu magnetizatie permanenta;

c) componenta tangentiala a intensitatii campului sau a potentialul magnetic vector , pe suprafata de frontiera.

Pentru demonstrarea teoremei se presupun doua solutii si cu potentialele vector , respectiv, si se are in vedere relatia:

.

Se analizeaza, mai intai, produsul mixt din membrul al doilea al ecuatiei (5.22):

.

Produsul vectorial din partea dreapta se poate scrie:

Se analizeaza acum produsul vectorial de tipul (v. fig. 5. 1):

Notandu-se cu versorul vectorului , vectorul se poate scrie:

El are modulul si este perpendicular si pe si pe .

Vectorul perpendicular pe se afla in acelasi plan cu si daca este perpendicular pe este perpendicular si pe (teorema celor trei perpendiculare). Urmeaza ca vectorul se va suprapune peste . Rezulta deci:

Deoarece:

,

datorita conditiei c), rezulta ca integrala (5.22) este nula. Aplicandu-i-se formula divergentei va rezulta:

si tinandu-se cont de relatiile (5.6) si (5.7) se obtine:

.

Prima integrala este nula, datorita conditiei a) si, in consecinta:

.

Din ecuatia (5.8) rezulta insa:

in care termenul al doilea este nul, datorita conditiei b).

Relatia (5.23) devine astfel:

si, prin urmare, rezulta:

,

adica solutia este unica.

5.2.2. Teorema superpozitiei campurilor magnetice cvasistationare

Intr-un mediu liniar si izotrop, reuniunii unor ansambluri de conditii de unicitate ii corespunde ca solutie suma solutiilor determinate de fiecare ansamblu de conditii de unicitate separat.

In paragraful precedent s-a aratat ca unui ansamblu de conditii de unicitate:

(5.25)

ii corespunde solutia Urmeaza sa se arate ca suma solutiilor determinate de fiecare ansamblu de conditii de unicitate separat satisface conditiile de unicitate:

(5.26)

Suma solutiilor este:

(5.27-1)

(5.27-2)

(5.27-3)

iar conditiile de unicitate corespunzatoare sunt:

, (5.28-1)

(5.28-2)

si

. (5.28-3)

S-au obtinut conditiile (5.26), ceea ce atesta ca solutiile (5.27) sunt unice.

5.2.3. Teorema refractiei campului magnetic

In conformitate cu formele locale pe suprafete de discontinuitate ale legii fluxului magnetic (1.70) si legii circuitului magnetic (1.89), la trecerea dintr-un mediu intr-altul liniile campului magnetic se refracta (fig. 5.2).

Facandu-se raportul, membru cu membru, ale celor doua relatii, se obtine succesiv:

.

Ecuatia (5.29) reprezinta teorema refractiei liniilor de camp magnetic.

Daca mediul 1 este nemagnetic, si mediul 2 este feromagnetic, , atunci:

.

Relatia (5.30) este satisfacuta fie pentru , fie pentru .

In primul caz, liniile campului magnetic, produs de un curent electric aflat in mediul neferomagnetic sunt normale pe suprafata de separatie, in acord cu proprietatea de continuitate a componentelor normale ale inductiei magnetice (fig. 5.3). In celalalt caz, liniile campului magnetic produs de un curent electric aflat in semispatiul feromagnetic sunt paralele cu suprafata de separatie, in acord cu proprietatea de continuitate a componentelor tangentiale ale intensitatii campului (fig. 5.4). Relatia (5.30) explica si faptul ca pe suprafata polilor magnetici (v. cap. 6), aflati in vid (aer) sau in 'intrefier', liniile de camp magnetic sunt perpendiculare.