CINEMATICA MISCARII RELATIVE A SOLIDULUI RIGID

CINEMATICA MISCARII RELATIVE A SOLIDULUI RIGID

1. Probleme rezolvate

Rezolvare:

Miscarile corpurilor sunt rotatii in plan 1,2 si plan - paralela 2, vitezele unghiulare fiind paralele intre ele, adica perpendiculare pe plan, rezulta ca miscarea compusa a corpului 2 este o suma de rotatii paralele. Considerand ca sens pozitiv, sensul orar al lui valoarea vitezei unghiulare absolute a corpului 2 se determina cu una dintre relatiile:

(1)

Dar in cazul rotatiilor paralele rezulta pentru corpul 2 o rotatie instantanee, in jurul centrului vectorilor paraleli Notand acest punct cu C, se poate aplica vectorilor teorema lui Varignon in raport cu punctul O. Din relatia precedenta se observa ca teorema lui Varignon poate fi aplicata de doua ori pentru fiecare suma de vectori paraleli:

(2)

In membrul drept al relatiilor de mai sus apar distantele fata de ale puntelor din plan aflate pe suporturile celor patru vectori: si trec prin trece prin A (A reprezinta punctul de viteza nula intre rotile 2 si 1, in acest punct neexistand alunecare intre cele doua roti); trece prin ponctul O, acesta fiind punctul de viteza nula intre corpurile 2 si 3 (O este articulatia comuna). Deci, relatiile de mai sus devin:

Inlocuind acest rezultat in relatiile (1), se obtine:

(3)

Din sistemul format din ecuatiile (4) si (1) rezulta:

In figura 2 se arata distributia de viteze a rotii 2, fata de punctul C, care devine pentru aceasta roata, centru instantaneu de rotatie fata de sistemul de referinta fix. Vitezele reprezentate pe figura pentru roata 2 sunt de forma:

Calculand viteza punctului A al rotii 1 rezulta un vector cu aceeasi directie, sens si modul cu cea calculata pentru punctul A al rotii 2, deci se verifica faptul ca punctul A este centru instantaneu al rotatiei relative intre rotile 1 si 2.

Pentru determinarea acceleratiilor punctelor M si N, se scrie:

(4)

Acceleratia unghiulara absoluta a rotii 2 este:

S-a scris expresia vectoriala a acceleratiei unghiulare absolute a rotii 2 pornind de la relatiile de miscare ale celor doua corpuri 1 si 3, cu care corpul 2 este in legatura. Acceleratia unghiulara este nula, deoarece vectorii viteza unghiulara de la care se porneste au directii si marimi care nu se modifica in timpul miscarii. Relatiile (4) devin:

(5)

Se determina:

Acceleratiile determinate ale punctelor O, M, N, A (punctul A apartinand rotii 2) sunt reprezentate in figura 3.

Miscarea rotii 2 cu centrul in O fiind plan - paralela, cu acceleratie unghiulara nula, rezulta ca toate acceleratiile rotii 2 vor converge spre centrul instantaneu al acceleratiilor (CIA) a carui pozitie fata de punctul O este definita de relatia:

Acceleratia se calculeaza in doua moduri astfel (figura 3):

Acceleratia , pentru roata 1, este

indreptata spre centrul deci doar vitezele fiind egale.

Pentru inversarea sensului lui

Din relatiile (2) rezulta: pe care inlocuindu-le in relatiile (1) se obtine deci miscarea absoluta a rotii 2 este de translatie. Vitezele, respectiv acceleratiile tuturor punctelor rotii 2 sunt egale, ele putand fi calculate pentru punctul O:

Observatie:

Din calculul vitezelor in punctele A si O se observa ca roata 2 are o miscare de translatie (figura 4) adica:

Rezolvare:

Viteza unghiulara din rotatia discului 2 fata de bara 1, are drept suport axa CD. Deoarece discul 2 se roteste in raport cu acesta, pe axa CD se gasesc toate punctele de viteza nula ale discului fata de axa; pentru axa CD, punctele de viteza nula se gasesc pe axa verticala OD. In aceste conditii, punctul D este un punct de viteza nula al discului in raport cu sistemul de referinta fix. Al doilea punct de viteza nula al discului fata de sistemul de referinta fix este A, deoarece discul se rostogoleste fara sa alunece pe suprafata conica. Rezulta de aici ca dreapta AD reprezinta suportul vitezei unghiulare a discului 2 fata de sistemul de referinta fix, fiind definita la un moment dat de doua puncte de viteza absoluta nula ale discului. Pe baza analizei anterioare se poate scrie (fig. 6):

Pe baza reprezentarii grafice, rezulta:

Pentru calculul vitezei lui A, se tine seama de rotatia instantanee a discului fata de dreapta AD, deci:

Expresia vectoriala a acceleratiei unghiulare absolute a discului 2 este de forma:

unde:

Asadar:

Expresia vectoriala a acceleratiei lui B fata de punctul fix D de pe axa instantanee de rotatie este:

unde:

Rezulta:

2. Probleme propuse

Indicatie:

Fata de problema 1, la care nu se cunostea punctul prin care suportul lui intersecteaza planul figurii, la aceasta problema el este cunoscut : punctul de tangenta intre roata 2 si suprafata cilindrica fixa, acesta fiind centrul instantaneu de rotatie absolut al rotii 2.

Raspuns:

Raspuns:

Raspuns:

Ambele sunt orientate spre dreapta.

Raspuns:

Bibliografie

Ceausu V., Enescu N. - "Probleme de Mecanica: vol. 1 Statica si cinematica"; Editura Corifeu Bucuresti; 2002;

Ceausu V., Enescu N., Ceausu F. - "Culegere de probleme de Mecanica Statica"; Institutul Politehnic Bucuresti; 1987;

Ceausu V., Enescu N., Ceausu F. - "Culegere de probleme de Mecanica Cinematica"; Institutul Politehnic Bucuresti; 1988;

4. Dinu I. - "Curs Mecanica"; Universitatea "Politehnica" din Bucuresti; 1997;
5. Enescu N. s.a. - "Seminar de mecanica - Culegere de probleme"; Institutul Politehnic Bucuresti; 1990;
6. Magheti I., Voiculescu L. - "Elemente de mecanica aplicata"; Editura Printech Bucuresti; 2000;
7. Sarian M. s.a. - "Probleme de mecanica"; E.D.P. Bucuresti; 1983;
8. Staicu St., Voiculescu L. - "Lectii de mecanica teoretica"; Editura Bren Bucuresti; 2006;
9. Staicu St., Voiculescu L. - "Probleme rezolvate de statica si cinematica"; Editura Bren; Bucuresti; 2005;
10. Stroe I. s.a. - "Probleme de statica pentru studentii din invatamantul superior tehnic"; Editura Printech; Bucuresti; 2000;
11. Voiculescu L., Busuioceanu I., Magheti I. - "Mecanica: teorie si aplicatii"; Editura Bren Bucuresti; 2004.