Cinematica si dinamica actionarilor electrice

Caracteristicile cinematice au in vedere diverse marimi mecanice ce caraterizeaza miscarea, fara a lua in considerare fortele. In schimb, in cadrul dinamicii, considerarea fortelor/ cuplurilor este primordiala.

a)      Carateristici cinematice

Fig. 1

Acestea se refera mai ales la diagrama de viteza. Aceasta poate sa apara, de exemplu, sub forma din fig. 1, in care se presupune ca miscarea porneste din repaus, la momentul t = 0 si se incheie tot cu viteza nula, la momentul t₃. Graficul de forma trapezoidala contine o portiune de viteza maxima de regim (intre t₁ si t₂) si portiunile de pornire si respectiv de oprire, care se desfasoara cu acceleratii constante: si .

Exista diverse actionari la care nu intereseaza in mod deosebit caracteristicile cinematice, dar de multe ori se insista asupra acestora, ca o conditie importanta in proiectarea actionarii. Astfel, exista cazuri in care se impun valori pentru marimile , a₁ si a₂ din graficul de mai sus (sau numai pentru unele dintre acestea); de exemplu, acceleratia trebuie limitata pentru a nu cauza eforturi exagerate in anumite organe ale masinii de lucru, sau pentru a nu cauza neplaceri persoanelor transportate (de exemplu, intr-un ascensor). Sunt situatii in care vitezele, acceleratiile si timpii trebuie corelate cu lungimea totala a cursei (de exemplu, tot la un ascensor).

In unele cazuri, vitezele si acceleratiile se stabilesc in baza unor conditii suplimentare, cum ar fi: durata redusa a procesului (pentru o productivitate mare), sau sa conduca la o incalzire redusa a motorului s.a.

Nu trebuie neglijat ca la transportul de persoane se recomanda ca acceleratia sa nu aiba variatii bruste (smunciturile - care corespund tocmai variatiei de acceleratie - cauzeaza efectele fiziologice cele mai neplacute daca acceleratia se mentine in limite rezonabile). Ca atare, se poate recomanda o variatie parabolica pentru anumite portiuni ale graficului de viteza, de exemplu - la inceputul si la sfarsitul portiunii ascendente din fig.1.

b)      Dinamica actionarilor electrice

Ecuatia fundamentala a miscarii

Sa pornim de la cazul binecunoscut al miscarii de translatie pentru care se scrie:

F = F_r + ma, (1)

in care F este forta motoare care produce miscarea, F_r este forta rezistenta care se opune miscarii, iar ma este forta de accelerare (a fiind acceleratia , iar m - masa corpului considerat).

In particular, pentru miscarea uniforma (a = 0),

F = F_r . (2)

In cazul miscarii de rotatie, trebuie avute in vedere cuplurile care se obtin prin multiplicarea fortelor cu distanta R pana la centrul de rotatie.

FR = F_r R + ma R

Dar asa incat relatia anterioara se scrie

, unde M = FR si M_r = F_r R sunt cuplul motor si respectiv cel rezistent. Cum J = m R² este momentul de inertie al corpului in miscare de rotatie, se obtine:

, (3)

care reprezinta ecuatia fundamentala a miscarii.

In expresia (3) , , reprezinta cuplul dinamic (de accelerare).

c)      Observatii privind ecuatia fundamentala a miscarii

In cazul unui sistem de actionare, marimile care intervin in ecuatia (3) se considera pozitive pentru functionarea ca motor a masinii electrice, adica corespund conventiei din fig.2: viteza si cuplul motor sunt in acelasi sens., iar cuplul rezistent are sens contrar. Vom face conventia de a pastra semnul termenilor sub forma in care apar in ecuatia (3), dar cuplurile care intervin pot fi pozitive sau negative.

In privinta cuplurilor rezistente, precizam ca ele pot fi de doua tipuri: cupluri de reactie, respectiv cupluri potentiale. Cuplurile de reactie se opun intotdeauna miscarii si apar ca pozitive in ecuatia (3). Ele nu pot provoca miscare si contribuie la micsorarea vitezei sau acceleratiei. Se intalnesc la majoritatea utilajelor - masini unelete, prese, laminoare, ventilatoare etc. Cuplurile rezistente potentiale apar atunci cand motorul

Fig. 2

actioneaza asupra unor corpuri care pot inmagazina energie potentiala, de exemplu corpuri elastice sau corpuri deplasate pe verticula. Acest din urma caz se intalneste, de exemplu, la actionarea mecanismelor de ridicare de la macarale sau poduri rulante, cuplul rezistent fiind dat, in principal, de produsul Gr, unde G este greutatea corpului deplasat, iar r este raza tobei pe care se infasoara cablul de tractare (evident, toba este antrenata de motor). Sensul acestui cuplu corespunde intotdeauna cu cel al coborarii corpului. Daca miscarea este de ridicare atunci M_r > 0 (se opune miscarii). In cazul miscarii de coborare, M_r ajuta miscarii (actioneaza ca un cuplu motor in cadrul sistemului).

Sa precizam mai amanuntit sensul marimilor din ecuatia (3) pentru diverse situatii intalnite la actionarea pe verticala a unui corp.

Ridicarea corpului: in acest caz, w>0 (indreptat in sus) si M_r se opune miscarii (are sensul corespunzator coborarii); conform conventiei, in (3) se considera M_r>0;

daca M>0 (indreptat in sus) si M=M_r, miscarea este uniforma (de regim stationar), cu w= const.;

daca M>0 si M>M_r, rezulta M_d>0, adica dw/dt>0: miscarea este accelerata;

daca M>0 si M<M_r, atunci M_r<0, sau dw/dt<0; acceleratia fiind de semn contrar lui w, viteza scade; aceasta scadere poate sa aiba loc pana la w=0; daca in aceasta situatie se intervine cu o forta de franare, sistemul ramane in repaos; in caz contrar, w isi schimba sensul (corpul incepe sa coboare);

daca M<0, ambele cupluri se opun miscarii (M devine cuplu de franare) si viteza scade (eventual pana la zero sau chiar isi schimba semnul).

Coborarea corpului: in acest caz, w<0 (indreptat in jos), iar M_r are tendinta de a deplasa corpul tot in jos (ajuta miscarii); intrucat el isi pastreaza sensul, in ecuatia (3) se va lua tot cu semnul plus; conform conventiei, cuplul rezistent avand semn contrar lui w, el are efectul unui cuplu motor;

M>0 (tinde sa urce corpul) si , functionarea are loc in regim stationar, cu w= const.;

daca M>0 si , atunci M_d>0 (indreptat in sus), adica dw/dt>0; viteza creste de la o valoare negativa spre zero (scade in valoare absoluta);

daca M>0 si , atunci M_d<0 si dw/dt<0 , ceeace conduce la o scadere a vitezei catre o valoare si mai negativa (viteza creste in valoare absoluta, dar spre sensul cosiderat negativ);

daca M<0, atunci ambele cupluri ajuta miscarii, M_d<0, dw/dt<0 si viteza negativa creste in valoare absoluta.

In practica, se foloseste uneori, in locul momentului de inertie J, asa numitul moment de valant GD² (D fiind diametrul)

(4)

Momentul de inertie J (sau GD²) se poate calcula relativ simplu pentru corpurile cilindrice omogene. Pentru motoarele electrice, o astfel de ipoteza este de regula admisibila. De fapt, pentru acestea, momentul de inertie se poate afla si din unele cataloage sau se poate aproxima pe baza unor formule empirice date in literatura de specialitate, pentru diverse tipuri de motoare, puteri si turatii nominale.

Pentru un sistem de corpuri in miscare de rotatie, momentul de inertie total J se determina ca suma a momentelor de inertie componente . Fiecare moment de inertie partial se poate calcula cu (4) daca corpul este aproximativ cilindric si omogen sau se determina prin proceduri cunoscute din mecanica, daca formele sunt mai complexe.

Pentru un sistem de actionare trebuie sa avem in vedere ca:

, (5)

unde J_m si J_ml sunt momentele de inertie ale motorului, respective ale masinii de lucru. Formula (5) se aplica direct atunci cand intre cele doua elemente este un cuplaj direct. In caz contrar, unul din cele doua momente de inertie trebuie redus (raportat) la celalalt, tinand cont de raportul de transmisie al organului de transmisie. Aceeasi operatie trebuie realizata si pentru cuplurile care intervin in ecuatia de miscare (3). De cele mai multe ori, reducerea se face la arborele motorului si aceste aspecte vor fi tratate la punctual urmator.

b3) Reducerea cuplurilor si a momentelor de inertie

Consideram ca intre motor si masina de lucru (ML)(sarcina pentru motor) este interpus un organ de transmisie, de exemplu un reductor cu roti dintate. Notam cu M_m, J_m, w_m si M_s, J_s, w_s cuplurile, momentale de inertie si vitezele celor doua elemente. Raportul de transmisie, considerat in sensul de la motor catre sarcina este

` (6)

Datorita organului de transmisie, cuplul M_s si momentul de inertie J_s sunt "vazute" cu alte valori la arborele motorului, adica ele produc aceleasi efect pe care le-ar realiza marimile reduse (raportate) M_R si J_R, daca acestea ar actiona direct la arborele motorului. Spunem ca reducerea respectiva se realizeaza la arborele motorului. Ea poate fi realizata si la arborele masinii de lucru, dar, de obicei, suntem interesati in utilizarea primei variante.

Reducerile respective se realizeaza din conditia de egalitate a puterilor, respectiv a energiilor la cei doi arbori. De fapt, puterile respective nu sunt chiar egale, din cauza pierderilor care apar in organul de transmisie si care pot fi evidentiate prin randamentul h al transmisiei:

(7)

unde cu P_s, P_m si A_s, A_m s-au notat puterile, respectiv energiile la cei doi arbori. Daca fluxul de putere se transmite de la masina de lucru catre motor (de exemplu, in cazul coborarii unui corp greu), atunci puterea mai mica este la arborele motor si vom scrie

(7')

Nu este obligatoriu ca h h

Folosind prima relatie (7), se scrie

si utilizand (6), rezulta pentru cuplul redus

(8)

Similar, folosind a doua relatie (7),vom scrie

si utilizand (6), rezulta pentru momentul de inertie redus

(9)

Cuplul rezistent Mr la arborele motorului este deci cuplul redus M_R. Asa cum mentionam, uneori se include aici si cuplul M_M corespunzator pierderilor mecanice in motor:

Mr = M_R + M_M (10)

Momentul de inertie total redus la arborele motorului (deci cel care influenteaza dinamica miscarii) este

J = J_m + J_R (11)

unde J_m este momentul de inertie al rotorului motorului.

Observatii

Transmisiile mecanice se introduc de obicei, pentru a reduce viteza la arborele masinii de lucru, care nu trebuie rotita cu viteza mare a motorului (din acest motiv se vorbeste de un "reductor" mecanic). Prin urmare, raportul de transmisie (6) este, in majoritatea cazurilor, sensibil mai mare cu unu. Din (8) si (9) se vede ca valorile reduse M_R si J_R sunt mult mai mici decat marimile respective de la arborele masinii de lucru. Prin urmare utilizarea unui reductor mecanic prezinta avantajul ca faciliteaza conditiile de functionare pentru motor, mai ales in cazul pornirii. De exemplu, sunt situatii in care un motor nu poate asigura demarajul in cazul cuplarii directe cu masina de lucru, deoarece M_s depaseste cuplul de pornire M_p al motorului. Acelasi motor insa poate fi folosit daca se utilizeaza un reductor mecanic, deoarece se poate obtine M_R < M_p.

In cazul actionarii unei masini de lucru cu o structura cinematica mai complexa, relatiile anterioare se pastreaza, cu precizarea ca M_R si J_R reprezinta suma tuturor marimilor respective reduse. Pentru un reductor cu mai multe perechi de roti dintate, pentru raportul de transmisie i din relatiile de mai sus se va considera valoarea sa globala. Un calcul mai exact pentru J_R impune sa se aiba in vedere si momentele de inertie ale rotilor dintate intermediare; in acest caz, pentru fiecare dintre ele se va considera raportul de transmisie partial pana la arborele intermediar respectiv.

Daca masina de lucru contine organe cu miscare de translatie, reducerile respective se fac din acelasi considerente. De exemplu, din conditia de egalitate a energiei ( neglijand pierderile), se scrie

unde m si v sunt masa si respectiv viteza corpului in miscare de translatie.

In cazul sistemelor de actionare, raportul de transmisie i se alege astfel incat sa se asigure o viteza cat mai apropiata de cea nominala pentru arborele masinii de lucru, avand in vedere viteza nominala a motorului. In cazul sistemelor de pozitionare, exista o libertate mai mare in alegerea lui i si a treptelor intermediare. In acest caz se pot impune conditii suplimentare in proiectare, prin care valoarea aleasa pentru i sa asigure dinamica cat mai buna pentru sistem.

Ecuatia fundamentala a miscarii (3) ramane valabila pentru orice situatie, cu conditia ca - atunci cand este cazul - sa se faca reducerea cuplurilor si a momentului de inertie la acelasi arbore (de obicei al motorului).

Oricum, in (3), J reprezinta suma celor doua momente de inertie indicate in(11). Valoarea lui J influenteaza foarte mult desfasurarea proceselor dinamice ale SA, ea intervenind ca factor multiplicator in valoarea constantei electromecanice de timp a SA; fiind cea mai mare constanta de timp intr-un astfel de sistem, este evident ca ea intervine decisiv in comportarea dinamica.