Conductia stationara prin pereti plani paraleli

Se considera un perete plan infinit cu fete paralele, in exteriorul caruia se afla doua fluide cu temperaturi diferite (fig. 7.13):

Fig. 7.13

Transferul de caldura de la fluidul cald se realizeaza prin convectie, intre fluidul cu temperatura si suprafata peretelui cu temperatura . Prin interiorul peretelui, fluxul termic se transmite prin conductie catre suprafata cu temperatura , apoi prin convectie catre fluidul rece cu temperatura .

In interiorul peretelui, ecuatia ce defineste procesul de conductie se obtine prin particularizarea ecuatiei (7.24) pentru cazul monodimensional, stationar si fara surse de caldura.

(7.34)

O consecinta a ecuatiei (7.2), in conditiile relatiei (7.34), este ca fluxul de caldura in cazul conductiei monodimensionale, stationare, fara surse de caldura, este constant si nu depinde de variabila x.

Prin integrarea ecuatiei (7.34) se obtine solutia

(7.35)

Pentru determinarea constantelor, trebuie sa punem conditiile la limita. Utilizand notatiile din figura 7.13, acestea sunt

(7.36)

(7.37)

Din sistemul format de ecuatiile (7.36) si (7.37) se determina constantele, astfel incat solutia generala a ecuatiei (7.34) este

(7.38)

Se observa ca in cazul conductiei stationare, prin pereti plani paraleli, fara surse de caldura, variatia de temperatura in lungul peretelui este liniara. Pentru a determina fluxul de caldura, utilizam ecuatia lui Fourier (7.2)

[W] (7.39)

Pentru usurinta scrierii, notatia se inlocuieste cu notatia , avand in vedere ca in cazul transferului de caldura atat , cat si , reprezinta puteri termice. Fluxul termic pe unitatea de suprafata, numit flux termic unitar, este:

[W/m²] (7.40)

Acest flux termic (7.40) provine de la fluidul cald - datorita diferentei de temperatura intre temperatura fluidului cald departe de perete si temperatura peretelui - si se transmite fluidului rece. In ipoteza ca temperatura peretilor este uniforma pe intreaga lungime, fluxul termic se transmite numai pe directie perpendiculara, directia x (fig. 7.13), neavand componenta longitudinala. Acesta observatie ne permite sa scriem bilantul puterilor termice pentru cele doua suprafete ale peretelui, ecuatia (7.12), sub forma (7.41). Exprimand diferentele de temperatura functie de fluxul termic si insumandu-le, obtinem o relatie ce leaga fluxul termic unitar de temperaturile celor doua fluide si rezistentele termice asociate celor doua feluri de transfer de caldura.

(7.41)

(7.42)

(7.43)

(7.44)

Prin insumarea relatiilor (7.42), (7.43) si (7.44), rezulta:

(7.45)

Din relatia de mai sus, se noteaza cu si se defineste coeficientul global de schimb de caldura, in cazul unui perete plan, prin relatia

(7.46)

Analogia electrica

Relatiile (7.40), (7.45) si (7.46) ne permit stabilirea unei similitudini intre transferul de caldura si circuitele electrice de curent continuu. Astfel, prin analogie, consideram fluxul termic similar cu intensitatea curentului electric, diferenta de temperatura similara tensiunii, iar ceilalti termeni - rezistente termice definite astfel:

- rezistenta termica convectiva asociata procesului de convectie dintre

fluidul cald si perete

rezistenti termica conductiva asociata procesului de conductie din

interiorul peretelui

- rezistenta termica convectiva asociata procesului de convectie dintre

fluidul rece si perete

(7.47)

Fluxul termic unitar de caldura se poate scrie functie de rezistentele termice asociate diferitelor forme de transfer de caldura (7.47). In figura 7.13 b) este prezentata schema unui circuit electric echivalent, impreuna cu rezistentele respective. Se observa ca formularea matematica a ecuatiilor ce descriu transferul de caldura printr-un perete plan este asemanatoare cu relatiile circuitului electric de curent continuu pentru cazul legarii in serie a rezistentelor. Pe baza acestui concept, coeficientul global de schimb de caldura pentru peretele plan se defineste astfel

(7.48)

Fig. 7.14

Pentru un perete plan compus din mai multe straturi (fig. 7.14), utilizand analogia electrica si notatiile din figura, putem defini usor coeficientul global de caldura:

(7.49)

Fluxul termic se calculeaza din relatia (7.45). Ca si in cazul circuitelor serie de curent continuu, pentru care curentul ce strabate rezistentele este acelasi, si in cazul transferului de caldura prin pereti plani fluxul termic ce strabate diferitele straturi ale peretelui este acelasi, egal cu fluxurile termice convective de pe fetele peretelui. Aceasta observatie permite determinarea temperaturilor dintre straturile peretelui. Daca am determinat fluxul termic cu relatia (7.45), plecand de la o margine se pot determina temperaturile fetelor peretelui si cele dintre straturi:

; ; ; (7.50)

Fig. 7.15

Analogia electrica ne permite rezolvarea unor probleme de transfer de caldura prin pereti cu o structura complicata. In figura 7.15 este prezentat un perete compus din mai multe straturi, iar in partea de jos a figurii sunt prezentate doua scheme posibile de calculare a rezistentei echivalente.

Problema care apare in cazurile in care un perete are straturile plasate paralel cu fluxul termic (in cazul de fata, straturile notate cu F si G ) depinde de diferenta valorilor conductivitatii acestor straturi . Daca diferenta este mica, problema se poate rezolva prin analogia electrica; daca aceasta diferenta este mare, apar componente ale fluxului termic, intre cei doi pereti, lucru ce nu mai permite aplicarea relatiilor de pana acum; problema, in acest caz, necesita o abordare numerica.

Situatia a) se poate utiliza daca suprafata de separare dintre cei doi pereti este o suprafata izoterma. Rezistenta echivalenta in acest caz este

(7.51)

Fluxul termic pentru acest caz este

(7.52)

Rezistenta termica in cazul b) este data de formula (7.53), iar fluxul termic se calculeaza cu formula (7.52)

(7.53)

Rezistenta de contact

O problema importanta ce apare in practica o constituie faptul ca suprafetele de contact dintre diferitele straturi ale peretilor nu sunt perfecte. Acest lucru determina aparitia unor rezistente termice suplimentare, datorate contactelor imperfecte dintre diferitele straturi ale peretilor. Din punct de vedere matematic, in aceste puncte temperatura prezinta discontinuitati (fig. 7.16). In figura, in zona de contact a peretilor, temperatura are un salt .

Rezistenta termica dintre straturi se datoreaza diferentelor de rugozitate. astfel, sunt zone in care cele doua straturi sunt in contact direct si sunt zone in care intre cele doua straturi exista un spatiu umplut - de regula - de un fluid, de cele mai multe ori gaz.

Fluxul termic in zona contactelor imperfecte dintre straturi are doua componente

reprezentat de suma fluxurilor conductive din zonele de contact direct    intre materialele celor doua straturi

Fig. 7.16

- reprezinta suma fluxurilor termice transmise prin golurile existente in cazul unui contact imperfect intre straturi. Aceste fluxuri termice sunt de natura convectiva si radianta.

In cazul contactelor imperfecte intre straturile unui perete, utilizand notatiile din figura 7.16, se defineste rezistenta termica de contact

(7.54)

Pentru diverse cupluri de materiale, rezistentele de contact se determina experimental. In anexa 5 se gasesc valori pentru rezistente de contact.

Exemplul E 7.2

Usa unui cuptor este compusa din doua straturi de grosime si ce indeplinesc conditia , avand conductivitatile , . Aerul din cuptor are temperatura de 400 C, iar cel exterior 25 C. In interiorul cuptorului, coeficientii de convectie si radiatie sunt ; la exterior caldura pierduta prin radiatie se considera negljjabila, iar coeficientul de convectie este .

Sa se determine grosimea usii cuptorului, astfel incat pe fata exterioara a acesteia temperatura sa nu depaseasca 50 C.

Solutie

In figura 7.17 este prezentata geometria problemei:

Fig. 7.17

Transferul de caldura prin usa cuptorului este stationar si monodimensional. Schimbul de caldura de la peretele interior al usii spre exterior este format din convectie plus radiatie - conductie prin peretele usii si convectie la exterior. Rezistentele termice parcurse de fluxul termic de la interior catre exterior, cu notatiile din figura 7.17, sunt prezentate in figura 7.18:

Fig. 7.18

Puterea termica ce strabate usa cuptorului de la interior pana la peretele exterior este

[W/m²]

Puterea termica ce paraseste usa de la peretele exterior catre aer este

[W/m²]

Bilantul puterilor se va face pe suprafata peretelui exterior al usii cuptorului, unde s-a impus conditia pentru temperatura, aplicand relatia (7.12).

Rezistenta termica echivalenta gruparii serie este

Bilantul puterilor este

Avand in vedere ca , din relatia de mai sus extragem :

m

Grosimea totala a peretelui usii este

Exemplu E 7.3

Un procesor este fixat pe un suport de aluminiu de grosime mm, printr-un film epoxidic de 0,08 mm. Procesorul si suportul sunt raciti intr-un curent de aer ce are temperatura de 25 C. In aceste conditii, coeficientul de convectie este de 100 W/m²/K. Daca procesorul produce in conditii normale o putere termica de 10⁴ W/m², poate sa functioneze la o temperatura mai mica decat 85 C, temperatura maxima admisa ? (pentru aluminiu W/m/K

Solutie

Fig. 7.19

In figura 7.19 este prezenta schematic geometria problemei. Filmul epoxidic aplicat intre procesor si suportul de aluminiu, datorita grosimii reduse este considerat ca o rezistenta de contact. Din anexa 5 obtinem, pentru acest caz, valoarea: m²K/W.

Caldura produsa de procesor este preluata prin fata acestuia si prin suportul de aluminiu . Bilantul puterilor in acest caz este

Schema din dreapta figurii ne ajuta sa scriem puterile preluate de aerul de racire

Din relatia de mai sus calculam temperatura procesorului in conditiile cand acesta produce o putere termica W/m²:

C

Rezultatul de mai sus arata ca procesorul lucreaza sub temperatura maxima admisa.

7.3.3 Conductia stationara prin pereti cilindrici

O situatie cu numeroase aplicatii tehnice o constituie cazul transferului de caldura prin pereti cilindrici. Geometria acestei probleme este prezentata in figura 7.20:

Fig. 7.20

Simetria axiala a geometriei permite tratarea problemei intr-un sistem de coordonate cilindrice. Considerand ca suprafetele de izoterme sunt suprafete cilindrice, rezulta ca fluxul de caldura are numai componenta radiala. Pentru situatia stationara, ecuatia campului termic rezulta din particularizarea relatiei (7.30).

Solutia generala a ecuatiei de mai sus este

(7.56)

Considerand temperaturile pe fetele cilindrului si , corespunzatoare razelor si , conditiile la limita sunt

(7.57)

(7.58)

Determinand constantele din relatiile (7.57) si (7.58) si introducandu-le in relatia (7.56), rezulta ecuatia variatiei temperaturii in interiorul cilindrului:

(7.59)

Ecuatia (7.59) permite determinarea fluxului termic pe baza ecuatiei lui Fourier:

(7.60)

Avand in vedere analogia electrica din relatia (7.60), deducem expresia rezistentei termice conductive pentru cazul peretilor cilindrici:

(7.61)

Considerand un sistem complet, prin care schimbul de caldura se face intre doua fluide despartire de un perete cilindric (fig. 7.20), observam ca fluxul termic se transmite de la fluidul cald - prin convectie - catre suprafata interioara a cilindrului, prin conductie in interiorul cilindrului si prin convectie catre fluidul rece. Rezistenta termica convectiva pentru cazul peretilor cilindrici se deduce din relatia fluxului termic:

(7.62)

Pentru schimbul de caldura dintre cele doua fluide, rezistenta termica totala este suma rezistentelor convective si conductive:

(7.63)

Expresia fluxului termic pentru cazul peretii cilindrici este

(7.64)

S-a introdus notatia - coeficientul global de schimb de caldura pentru pereti cilindrici. expresia acestuia este

(7.65)

Fig. 7.21

In cazul cand peretele cilindric este compus din mai multe straturi cu proprietati termice diferite (fig. 7.21), rezistenta termica echivalenta este

(7.66)

Exemplul E 7.4

O teava de cupru. care transporta un lichid frigorific. are diametrul exterior mm, este izolata cu polistiren ce are conductivitatea W/m/K si raza exterioara r. Coeficientul de convectie catre aerul exterior este W/m²/K. Sa se analizeze existenta unei grosimi optime de izolatie.

Solutie

Schema conductei din problema este prezenta in figura 7.22.

Fig. 7.22

Odata cu cresterea diametrului izolatiei, rezistenta conductiva creste, iar rezistenta convectiva scade datorita cresterii suprafetei exterioare a izolatiei. Se pune problema existentei unei grosimi optime a izolatiei, care sa minimizeze fluxul termic.

Cu notatiile din figura 7.22, schema rezistentelor termice este urmatoarea

Fig. 7.23

Rezistenta termica echivalenta pentru un metru de conducta si fluxul termic sunt

;

Pentru gasirea unui optim pentru rezistenta termica echivalenta, anulam prima derivata

Pentru a vedea daca aceasta valoare maximizeaza sau minimizeaza fluxul termic, facem derivata a doua

pentru valoarea , aceasta devine

Valoarea derivatei a doua este totdeauna pozitiva; acest lucru inseamna ca la raza rezistenta termica echivalenta are un minim, deci fluxul termic este maxim. Rezultatul de mai sus ne arata ca nu poate exista o problema de optimizare a grosimii izolatiei.

Valoarea razei a fost denumita valoare critica, practic ea maximizeaza fluxul termic. In general, odata cu cresterea izolatiei scade fluxul termic, daca raza izolatiei este mai mare decat valoare critica.

Cu valorile numerice din problema, obtinem

in tabelul de mai jos s-au trecut rezultatele calculelor efectuate pentru diferite grosimi ale izolatiei. Se observa ca rezistenta conductiva creste o data cu raza, insa rezistenta convectiva scade cu cresterea razei. Aceste tendinte sunt insumate de valorile rezistentei termice echivalente. Observam ca acesta are minimul prezis de anularea primei derivate: