Conductia termica in regim stationar prin corpuri fara surse interioare de caldura

Conductia termica in regim stationar prin corpuri fara surse interioare de caldura

Studiul transferului de caldura prin conductie consta in stabilirea ecuatiei campului de temperatura (variatia temperaturii prin corp) si a unei relatii de calcul a fluxului de caldura, [W] si a variantelor acestuia, densitatea de flux termic, q [W/m²] sau fluxul termic liniar, _L [W/m].

A. PERETE PLAN

A1. Perete plan omogen cu temperaturi cunoscute pe suprafetele limita

Consideram un perete plan omogen de grosime d, [m], dintr-un material cu conductivitatea termica l, [W/m.K], pentru care se cunosc temperaturile pe suprafetele extreme, t_p1, respectiv, t_p2, [^oC] (t_p1 > t_p2).

Daca lungimea si inatimea peretelui sunt mult mai mari decat grosimea

acestuia, se pot neglija efectele de capat, astfel incat temperatura variaza unidirectional.

Ecuatia campului de temperatura devine t = t(x), iar gradientul temperaturii

este grad t = (fig. 3).

In acest caz, legea lui Fourier este :

(1.8)

Separand variabilele :

(1.9)

Prin integrare, se obtine :

(1.10)

Constanta de integrare C se determina punand conditiile la limita de speta I-a :

- pentru x = 0, t_x = t_p1 = C

- pentru x d, t_x = t_p2 =

Din prima conditie constanta de integrare C = t_p1. Rezulta ecuatia canpului de temperatura :

(1.11)

Concluzie : variatia temperaturii printr-un perete plan este liniara.

Fluxul termic transmis prin peretele plan se determina integrand relatia (1.9) :

(1.12)

Rezulta :

[W], (1.13)

unde

[m².grd/W] (1.14)

reprezinta rezistenta termica a peretelui plan.

In calculele practice se foloseste notiunea de densitate termica : fluxul termic raportat la unitatea de suprafata de transfer de caldura :

[W/m²] (1.15)

A,2. Perete plan omogen marginit de doua fluide cu temperaturi cunoscute

Se considera transferul de caldura intre doua fluide cu temperaturile t_f1, respectiv, t_f2, cunoscute (t_f1 > t_f2) despartite de un perete plan omogen de grosime d si conductivitate termica, l (fig. 4).

Acest proces implica transmiterea caldurii prin convectie de la fluidul cald la perete, prin conductie prin perete si prin convectie de la perete la fluidul rece:

(1.16)

(1.17)

(1.18)

La suprafata peretelui se constata o scadere brusca a temperaturii fiecarui fluid in stratul limita termic, a carui grosime se determina din conditile la limita de speta a III-a.

Punand conditia de unidirectionalitate a fluxului termic, q₁ = q₂ = q₃ = q, se obtine:

[W/m²], (1.19)

unde:

[m².grd/W] este rezistenta de suprafata (superficiala) ; (1.20)

[W/m².grd] este coeficientul total (global) de transfer de caldura (1.21)

Temperaturile pe suprafetele peretelui sunt:

t_p1 = t_f1 - [^oC] (1.22)

t_p2 = t_p1 - = t_f1 - [^oC] (1.23)

A.3. Perete plan neomogen marginit de doua fluide cu temperaturi cunoscute

Corpurile neomogene sunt corpurile cu structuri compuse (mai multe straturi) cu sau fara contacte perfecte intre acestea. Fiecare strat se considera alcatuit dintr-un material omogen cu dimensiuni si conductivitate termica cunoscute. Transferul de caldura se considera unidirectional sau poate fi aproximat cu un proces unidirectional.

Consideram un perete plan format din "3" straturi perpendiculare pe directia fluxului termic, de grosime d_i si conductivitate termica, l_i, constanta, marginit de doua fluide cu temperaturi cunoscute, t_f1, respectiv, t_f2 (t_f1 > t_f2).

Procesul complex de transfer de caldura poate fi defalcat in 5 procese simple :

(1.24)

(1.25)

(1.26)

(1.27)

Punand conditia de unidirectionalitate a fluxului termic, q₁ = q₂ = q₃ =.= q_n , se obtine:

[W/m²] (1.29)

unde [W/m².grd] - coeficientul total de transfer de caldura (1.30)

Temperaturile pe suprafetele laterale si pe suprafetele de contact ale peretelui:

[^oC]

A.4. Izolarea termica a peretelui plan (Conditii la limita de speta a II-a)

Densitatea de flux termic transmisa prin perete:

, [W/m²] (1.32)

Grosimea stratului de izolatie termica:

, [m] (1.33)

Grosimea stratului de izolatie termica se standardizeaza pentru fiecare material in parte.

Cu noua valoare a grosimii stratului de izolatie termica se recalculeaza densitatea de flux termic, q_p, [W/m²].

B. PERETE CILINDRIC

B.1. Perete cilindric omogen cu temperaturi cunoscute pe suprafetele limita

Consideram un perete cilindric omogen, de diametre d₁, respectiv, d₂, si conductivitate termica a materialului, l = const. Temperaturile pe cele doua fete limita sunt cunoscute si constante, t_p1, respectiv, t_p2 (t_p1 > t_p2).

Presupunand lungimea cilindrului mult mai mare decat oricare dintre cele doua diametre (fig.8), se pot neglija efectele de capat, astfel incat, suprafetele izoterne sunt suprafete cilindrice concentrice de raza r, iar propagarea fluxului termic va fi unidirectionala (radiala), cu grad t

Ecuatia generala a conductiei termice (legea Fourier) este:

(1.34)

Separand variabilele:

(1.35)

Prin integrare, se obtine:

(1.36)

Constanta de integrare C se determina din conditiile la limita de speta I-a:

- pentru r = r₁

- pentru r = r₂

Rezulta:

(1.37)

Rezulta ecuatia campului de temperatura printr-un perete cilindric omogen:

(1.38)

Conclizie: variatie logaritmica de temperatura

Fluxul termic transmis va fi:

, [W] (1.39)

unde:

R_t = , [grd/W] (1.40)

este rezistenta termica a peretelui cilindric omogen.

Pentru peretele cilindric se calculeaza fluxul termic liniar:

, [W/m] (1.41)

unde

R_{t l} , [grd/W] (1.42)

este rezistenta termica liniara a peretelui cilindric omogen.

Daca d₂/d₁ < 1,5 (2), in calculele tehnice se poate utiliza relatia de la peretele plan cu d d₂ - d₁).

B.2. Perete cilindric omogen marginit de doua fluide cu temperaturi cunoscute

Se considera transferul de caldura intre doua fluide cu temperaturile t_f1, respectiv, t_f2, cunoscute (t_f1 > t_f2) despartite de un perete cilindric omogen cu diametrele d₁ si d₂ si conductivitate termica, l. (fig.9).

Acest proces implica transmiterea caldurii prin convectie de la fluidul cald la perete, prin conductie prin perete si prin convectie de la perete la fluidul rece:

(1.43)

(1.44)

(1.45)

Punand condtiia de unidirectionalitate a fluxului termic, Q_L1 = Q_L2 = Q_L3= Q_L,se obtine:

, [W/m] , (1.46)

unde:

R_sL = , [m.grd/W] (1.47)

este rezistenta de suprafata (superficiala);

, [W/m.grd] (1.48)

- coeficientul total (global) de transfer de caldura.

Temperaturile pe suprafetele peretelui sunt:

t_p1 = t_f1 - , [^OC] (1.49)

t_p2 = t_f1 - , [^oC] (1.50)

B.3. Perete cilindric neomogen marginit de doua fluide cu temperaturi cunoscute

Condideram un perete cilindric neomogen format din 3 straturi cu diametrele

d₁, .d₄, din materiale cu conductivitatile termice l l , marginit de doua fluide cu temperaturi cunoacute t_f1, respectiv, t_f2. Procesul complex de transfer de caldura poate fi defalcat in 5 procese simple:

(1.51)

(1.52)

(1.53)

(1.54)

(1.55)

Punand conditia de unidirectionalitate a fluxului termic, se poate scrie: Q_L1 = Q_L2 = . = Q_L5

Rezulta fluxul termic liniar:

, [W/m] , (1.56)

unde:

, [W/m.grd] (1.57)

- coeficientul total liniar de transfer de caldura

Temperaturile pe suprafetele peretelui sunt:

t_pi = t_f1 - , [^oC] (1.58)

B.4. Izolarea termica a peretelui cilindric (Conditii la limita de speta a II-a)

Calculul termic al sistemelor de conducte reprezinta un caz particular al transferului de caldura intre doua fluide despartite de un perete format din unul sau mai multe straturi.

In functie de temperatura fluidului transportat se deosebesc doua categorii

de conducte izolate termic:

- conducte care transporta fluide calde (fig.12), la care izolatia termica are drept scop reducerea pierderilor de caldura si de temperatura in mediul ambiant si asigurarea unor temperaturi pe suprafata exterioara in conformitate cu normele de protectie a muncii;

- conducte care transporta fluide reci (fig.13), la care izolatia termica are drept scop micsorarea absorbtiei de caldura din mediul ambiant si evitarea condensarii umiditatii din aer pe suprafata conductelor.

Conditiile la limita de speta a II-a, presupun cunoscut fluxul termic liniar, _L, [W/m], cedat sau absorbit.

Se considera o conducta cu un strat de izolatie de baza si un strat protector (fig.12, pentru conducte care transporta fluide calde si fig.13, pentru conducte care transporta fluide reci). In vederea calcularii grosimii izolatiei termice sunt necesare urmatoarele date:

- amplasarea conductei si temperatura mediului ambiant, t_e , [^oC];

- dimensiunile conductei, d_i si d_e , [m];

- temperatura fluidului transportat, t_f , [^oC];

- constructia si materialul izolatiei termice, l_iz [W/m.K];

- modul de sustinere a conductei, armaturile si compensatoarele de dilatatie.

Fluxul termic liniar (unitar) transmis prin conducta izolata se calculeaza cu relatia:

, [W/m] (1.59)

unde:

R_Li = , [m.grd/W] este rezistenta superficiala liniara a fluidului transportat;

Rezistenta superficiala liniara R_Li se ia in calcule in urmatoarele cazuri:

- la diametre ale conductei d_i < 50 mm, daca a_i < 150 W/m².grd;

- la diametre ale conductei 50 < d_i < 500 mm, daca a_i < 120 W/m².grd;

- la diametre ale conductei d_i > 500 mm, daca a_i < 90 W/m².grd.

Pentru unele fluide (abur supraincalzit de inalta presiune, abur saturat, apa, agenti frigorifici, uleiuri), rezistenta superficiala R_li se poate neglija, reprezentand sub 1% din rezistenta totala;

R_Lp = , [m.grd/W] - rezistenta termica liniara a peretelui conductei ;

Pentru conductele metalice, conductivitatea termica a materialului are valori ridicate (l > 15 W/m.K), din care cauza, rezistenta termica R_Lp poate fi neglijata, reprezentand sub 1% din rezistenta totala.

R_Liz , [m.grd/W] - rezistenta termica liniara a stratului de izolatie;

R_Lsp , [m.grd/W] - rezistenta termica liniara a stratului protector ;

In general, stratul protector este realizat sub forma unui invelis metalic (tabla vopsita, tabla zincata, tabla din aluminiu) sau sub forma unui strat de tencuiala din cimenturi pe baza de azbest, cu grosimi de (10.20) mm

In cazul invelisului metalic, rezistenta termica R_Lsp poate fi neglijata.

In cazul stratului de tencuiala, rezistenta termica R_Lsp reprezinta pana la 20% din rezistenta totala.

R_Le , [m.grd/W] - rezistenta superficiala liniara a mediului ambiant.

Rezulta rezistenta termica a stratului de izolatie:

, [m.grd/W] (1.60)

Grosimea stratului de izolatie termica:

, [m], (1.61)

de unde:

, [m] (1.62)

Grosimea stratului de izolatie termica se standardizeaza, functie de materialul ales.

C. PERETE SFERIC

C.1. Perete sferic omogen cu temperaturi cunoscute pe suprafetele limita

Consideram un perete sferic omogen cu diametrele d₁ si d₂, dintr-un material cu conductivitatea termica l, pentru care se cunosc temperaturile pe suprafetele limita, t_p1,

respectiv, t_p2 (fig.14). In cazul peretelui cilindric, simetria este centrala, deci, temperatura variaza numai radial. Suprafetele izoterme sunt suprafete sferice concentrice.

Ecuatia generala a conductiei termice (legea Fourier) este:

(1.63)

Separand variabilele:

(1.64)

Prin integrare, se obtine:

(1.65)

Concluzie: variatie hiperbolica a temperaturii prin perete sferic.

Constanta de integrare, C , se determina punand conditiile la limita de speta I-a:

- pentru r = r₁ t_r = t_p1 =

- pentru r = r₂ t_r = t_p2 =

Rezulta:

(1.66)

Ecuatia campului de temperatura :

, [^oC] (1.67)

Concluzie: variatie hiperbolica a temperaturii.

Fluxul termic transmis prin perete :

(1.68)

Rezulta:

, [W] (1.69)

unde

R_t = , [grd/W] (1.70)

este rezistenta termica a materialului

C.2. Perete sferic omogen mginit de doua fluide cu temperaturi cunoscute

Consideram un perete sferic omogen cu diametrele d₁ si d₂, dintr-un material cu conductivitatea termica l, marginit de doua fluide cu temperaturi cunoscute, t_f1, respectiv, t_f2 (fig.15)

Procesul complex de transfer de caldura poate fi defalcat in trei procese simple: convectie de la fluidul cald la perete, conductie prin peretele sferic si convectie de la perete la fluidul rece:

(1.71)

(1.72)

(1.73)

Punand conditia de unidirectionalitate a fluxului, Q₁ = Q₂ = Q₃, rezulta fluxul termic:

(1.74)

unde

, [grd/W] (1.75)

este rezistenta de suprafata (superficiala) 

, [W/grd] (1.76)

este coeficiemtul total de transfer de caldura

Temperaturile pe suprafetele laterale ale peretelui:

, [^oC] (1.77)

, [^oC] (1.78)