DINAMICA SISTEMELOR MATERIALE SI A RIGIDULUI

Sistemul material se defineste ca un ansamblu de puncte materiale sau corpuri solide aflate în interactiune mecanica. Daca dimensiunile corpurilor din sistem sunt neglijabile în raport cu distantele dintre ele, acestea pot fi tratate ca sisteme de puncte materiale.

Corpul solid (rigidul) se defineste ca un continuu material nedeformabil putând fi considerat ca limita unui sistem închis si rigid de puncte materiale care ocupa acelasi domeniu.

În cele ce urmeaza, unele notiuni fundamentale si teoreme generale, stabilite pentru un sistem de puncte materiale sunt extinse la rigid, pe baza unui proces de trecere la limita.

1. NOTIUNI FUNDAMENTALE

1.1. MOMENTE DE INERTIE MASICE

1.1.1. DEFINITII

Momentele de inertie sunt marimi care caracterizeaza modul de distribuire a masei unui sistem material sau rigid în raport cu un reper (plan, axa, pol). Momentele de inertie masice caracterizeaza inertia corpurilor în miscare de rotatie asa cum masa caracterizeaza inertia corpurilor în miscare de translatie.

Considerând un sistem de puncte materiale A_i având masele m_i si distantele în raport cu un reper, l_i (i = 1, 2,….n), momentul de inertie al sistemului în raport cu reperul considerat are expresia:

(1)

În cazul rigidului, suma se transforma în integrala referitoare la domeniul (D) ocupat de corp.

(2)

Dupa cum lungimea l_i respectiv l reprezinta distanta la un plan, axa sau pol (punct), momentele de inertie sunt (fig.1):

Momente de inertie planare

Pentru sistem material:

(3)

Pentru rigid:

(4)

Momente de inertie axiale

Pentru sistem material:

(5)

Pentru rigid:

(6)

Momentul de inertie polar

Pentru sistem material:

(7)

Pentru rigid:

(8)

Momente de inertie centrifugale

Pentru sistem material:

(9)

Pentru rigid:

(10)

1.1.4. VARIATIA MOMENTELOR DE INERTIE ÎN RAPORT CU AXE PARALELE

Se da un sistem de puncte materiale M_i de mase m_i cu centrul de greutate C. Fie o axa Δ care trece prin C si o axa Δ₁ paralela cu Δ, distanta dintre cele doua axe fiind d (fig.2). Cunoscând momentul de inertie al sistemului J_Δ si masa sistemului m sa calculam momentul de inertie .

Se alege un sistem de referinta Cxyz cu axa . Fata de acest triedru, punctul M_i are coordonatele x_i, y_i, z_i. Se alege un al doilea sistem de referinta O₁x₁y₁z₁ care are axele paralele cu cele ale triedrului precedent, planele de referinta O₁x₁y₁ si Cxy fiind confundate () iar axa .

Fata de acest triedru, punctul M_i are coordonatele x_1i, y_1i, z_1i.

Între coordonatele punctului M_i din planele confundate exista relatiile:

unde: x_C si y_C sunt coordonatele centrului de greutate C în raport cu sistemul de referinta O₁x₁y₁z₁.

Prin definitie:

(5)

(24)

Se noteaza:

(25)

Conform teoremei momentelor statice si tinând seama ca unde ξ si η sunt coordonatele punctului C în sistemul Cxyz, rezulta:

(26)

Introducând relatiile (25) si (26) în (24) se obtine relatia ce defineste teorema Steiner:

(27)

Momentul de inertie în raport cu o axa Δ₁ este egal cu momentul de inertie în raport cu o axa Δ ce trece prin centrul de greutate al sistemului, paralela cu axa Δ₁, plus produsul dintre masa sistemului si patratul distantei dintre cele doua axe.

1.1.7. PROPRIETATILE AXELOR PRINCIPALE DE INERTIE

1. Axele principale de inertie formeaza un triedru triortogonal

2. Momentele de inertie centrifugale în raport cu axele principale de inertie sunt nule.

3. Pentru un sistem material sau rigid orice axa de simetrie este axa principala de inertie

4. Pentru un sistem material sau rigid care admite un plan de simetrie, orice axa normala pe acest plan este axa principala de inertie în punctul în care axa intersecteaza planul.

1.2. LUCRUL MECANIC ELEMENTAR AL UNUI SISTEM DE FORTE CARE ACTIONEAZA ASUPRA RIGIDULUI

Se considera un rigid în miscarea generala, supus actiunii unui sistem de forte , (fig.10) care actioneaza în punctele M_i (i= 1, 2,…,n). În timpul elementar dt, punctul M_i a carui viteza data de relatia Euler (9.14):

se deplaseaza cu distanta elementara:

(83)

Lucrul mecanic elementar al fortei este:

(84)

Conform proprietatii produsului mixt, prin permutari se obtine:

(85)

Introducând relatia (85) în (84) rezulta lucrul mecanic elementar al fortei :

(86)

Cu notatiile:

- - deplasarea elementara din miscarea de translatie a rigidului

- - rotirea elementara, considerata vector, din miscarea de rotatie a rigidului

- - momentul în raport cu punctul O al fortei

relatia (86) devine:

(87)

Pentru întreg sistemul de forte , lucrul mecanic elementar devine:

(88)

Cum reprezinta forta rezultanta si reprezinta momentul rezultant, lucrul mecanic elementar al sistemului de forte este:

(89)

În cazul când originea sistemului mobil atasat corpului este centrul de greutate al acestuia , lucrul mecanic elementar al sistemului de forte este:

(90)

1.3. IMPULSUL

Cazul sistemului material

Fie un sistem de puncte materiale M_i cu mase m_i si viteze (i= 1, 2,…,n). Impulsul unui punct M_i din sistem este:

(93)

iar pentru întreg sistemul material, impulsul devine:

(94)

(95)

introducând relatia (95) în (94) obtinem:

(96)

unde:

- - conform teoremei momentelor statice

- - reprezinta masa sistemului

- - este vectorul de pozitie al centrului de greutate al sistemului

Cazul rigidului

Impulsul rigidului se obtine prin însumarea la limita a impulsurilor maselor elementare dm pe domeniul ocupat de corp:

(97)

unde:

- - conform teoremei momentelor statice

- - reprezinta masa rigidului

- - este vectorul de pozitie al centrului de greutate al rigidului

Impulsul unui sistem material sau rigid nu depinde de felul miscarii; se calculeaza considerând masa concentrata în centrul de greutate, în deplasarea cu viteza acestuia.

1.4. MOMENTUL CINETIC

Cazul sistemului material

Se considera un sistem de puncte materiale M_i cu mase m_i, viteze si vectori de pozitie în raport cu punctul fix O, (i= 1, 2,…,n).

Momentul cinetic al unui punct M_i este:

(98)

iar pentru întregul sistem devine:

(99)

Cazul rigidului

Momentul cinetic al rigidului în raport cu un punct fix O₁ se obtine prin însumarea la limita a momentelor cinetice ale maselor elementare dm pe domeniul ocupat de corp:

(100)

Cum , introducând aceasta expresie în (100) obtinem:

(101)

unde:

(102)

în care reprezinta momentul cinetic al rigidului calculat în raport cu originea sistemului mobil atasat rigidului, O.

Din relatiile (101) si (102) obtinem:

(103)

În cazul în care originea sistemului mobil atasat rigidului este centrul de greutate al acestuia , expresia momentului cinetic calculat în raport cu un punct fix O₁ devine:

(104)

care exprima teorema Koenig pentru momentul cinetic al rigidului în miscare fata de un reper fix.

Momentul cinetic al unui rigid, în raport cu un punct fix este egal cu suma dintre momentul cinetic al unui punct material fictiv având masa corpului situat în centrul de greutate care se deplaseaza cu viteza acestuia si momentul cinetic al rigidului din miscarea relativa fata de centrul sau de greutate.

Cazuri particulare:

Rigid în miscare de translatie

Specific miscarii de translatie este viteza aceeasi pentru toate punctele rigidului, egala cu viteza centrului de greutate ; Considerând originea sistemului mobil atasat rigidului ca fiind centrul de greutate , aceasta implica si iar expresia (104) devine:

(105)

În miscarea de translatie, momentul cinetic se calculeaza ca si cum toata masa corpului ar fi concentrata în centrul de greutate si se deplaseaza cu viteza acestuia

Rigid în miscare de rotatie

Considerând originile celor doua sisteme de referinta identice , deci si viteza unei mase elementare a rigidului , unde si sunt exprimati prin proiectii pe axele sistemului mobil Oxyz

(106)

expresia momentului cinetic al rigidului devine:

Conform relatiilor de definitie, termenii din integrale reprezinta momentele de inertie axiale (6) si centrifugale (10) ale rigidului, astfel încât momentul cinetic se scrie sub forma:

(107)

Din relatia (107) rezulta expresiile componentelor pe axe ale momentului cinetic:

(108)

Cazuri particulare

1. Axa Oz coincide cu axa de rotatie:

(109)

Introducând conditia (109) în (10.107) obtinem:

(110)

2. Axa Oz coincide cu axa de rotatie si este axa de simetrie a rigidului de revolutie:

(111)

Introducând conditia (111) în (107) obtinem:

(112)

1.5. ENERGIA CINETICA

Cazul sistemului material

Pentru un punct material M_i cu masa m_i, viteza , energia cinetica este:

(113)

Pentru un sistem de puncte materiale M_i cu mase m_i, viteze (i= 1, 2,…,n), energia cinetica este:

(114)

Cazul rigidului

În cazul rigidului prin discretizare la limita în mase elementare dm a caror viteze sunt , expresia energiei cinetice este:

(115)

În obtinerea expresiei (115) s-au avut în vedere urmatoarele:

- - reprezinta distanta elementului de masa dm la axa de rotatie Δ care trece prin O

- - este masa corpului

- - reprezinta momentul de inertie al corpului în raport cu axa Δ

- - viteza unghiulara care este un vector liber, deci o marime constanta pentru domeniul de integrare (D) ocupat de corp

- - reprezinta viteza centrului de greutate C din miscarea în raport cu originea O a sistemului mobil atasat corpului

În cazul în care originea sistemului mobil atasat rigidului este centrul de greutate al acestuia (un punct intrinsec al rigidului care nu depinde de sistemul de axe fata de care este calculat), expresia energiei cinetice devine:

(116)

care exprima teorema Koenig pentru energiea cinetica a rigidului în miscare fata de un reper fix.

Energia cinetica a unui rigid,în miscarea fata de un sistem fix este egala cu suma dintre energia cinetica a unui punct material fictiv având masa corpului situat în centrul de greutate care se deplaseaza cu viteza acestuia si energia cinetica a rigidului din miscarea relativa fata de centrul sau de greutate.

Cazuri particulare

1. Rigid în miscare de translatie

Considerând originea sistemului mobil ca fiind centrul de greutate , si viteza în miscarea de translatie fiind aceeasi pentru toate punctele rigidului, expresia energiei cinetice (116) devine:

(117)

2. Rigid în miscare de rotatie (cu axa fixa)

Pentru rigidul în miscare de rotatie în jurul unei axe Δ care trece prin , . Introducând aceasta conditie în (115) rezulta:

(118)

3. Rigid în miscare elicoidala

Viteza originii sistemului mobil atasat rigidului fiind si orientata pe axa miscarii elicoidale Δ în jurul careia se roteste cu viteza unghiulara , energia cinetica definita de (115) are expresia:

(119)

Termenul , întrucât reprezinta un produs mixt cu doi vectori coliniari, .

4. Rigid în miscare plan paralela

Considerând originea sistemului mobil în centrul de greutate al corpului si planul miscarii pependicular pe axa instantanee de rotatie adica , expresia energiei cinetice este data de relatia (116):

(120)

unde reprezinta momentul de inertie al corpului în raport cu axa de rotatie care trece prin C, perpendiculara pe planul miscarii.

În multe aplicatii, miscarea plan paralela este tratata ca o rotatie în jurul centrului instantaneu I si prin urmare, energia cinetica a rigidului se va determina corespunzator miscarii de rotatie, momentul de inertie al corpului fiind J_I.

Conform teoremei Steiner, relatia între momentele de inertie J_I si J_C este:

(121)

Din distributia de viteze fata de centrul instantaneu de rotatie, viteza centrului de greutate C este:

(122)

unde: , (IC) reprezentând distanta de la centrul instantaneu de rotatie I, la centrul de greutate al corpului C.

Înlocuind relatiile (122) si (121) în (120) obtinem relatia:

(123)

2. TEOREMELE GENERALE ÎN DINAMICA SISTEMELOR MATERIALE SI A RIGIDULUI

2.1. TEOREMA IMPULSULUI

Pentru un sistem material sau rigid, impulsul este definit de relatia (94)

Derivând în raport cu timpul rezulta:

(129)

Pentru punctul material M_i de masa m_i din sistem, legea fundamentala devine:

(130)

Însumând pe întregul sistem material obtinem:

(131)

unde: reprezinta rezultanta fortelor exterioare sistemului (direct aplicate si de legatura) iar reprezinta rezultanta fortelor interioare sistemului.

Conform principiului actiunii si reactiunii:

(132)

Introducând relatiile (131) si (132) în (129) se obtine expresia ce exprima teorema impulsului în cazul sistemului material sau rigid:

(133)

Derivata în raport cu timpul a impulsului unui sistem material sau rigid este egala cu rezultanta fortelor exterioare care actioneaza asupra sistemului sau rigidului.

Proiectând pe axe relatia vectoriala (10.133) se obtine:

(134)

Derivata în raport cu timpul a proiectiei pe o axa a impulsului unui sistem material sau rigid este egala cu proiectia pe acea axa a rezultantei fortelor exterioare care actioneaza asupra sistemului sau rigidului.

Conservarea impulsului

Daca în timpul miscarii sistemul material sau rigidul este izolat, atunci:

(137)

Daca sistemul sau rigidul este izolat, atunci impulsul se conserva adica are o valoare constanta care se determina din conditiile initiale ale miscarii.

În multe cazuri, rezultanta fortelor exterioare are nula, componenta dupa o axa, ceea ce conduce la conservarea impulsului dupa acea axa.

Astfel, daca

(138)

Daca proiectia pe o axa a rezultantei fortelor exterioare este nula, atunci proiectia impulsului pe axa respectiva se conserva adica are o valoare constanta care se determina din conditiile initiale ale miscarii.

2.2. TEOREMA MOMENTULUI CINETIC

Cazul miscarii absolute a sistemului material sau a rigidului în raport cu un reper fix.

Pentru un sistem material sau rigid, momentul cinetic calculat în raport cu un punct fix O, conform relatiei (99) este:

Derivând în raport cu timpul aceasta relatie se obtine:

(139)

întrucât: reprezinta un produs vectorial cu vectori coliniari

Conform relatiei (131):

care introdusa în (139) se obtine:

(140)

Se noteaza:

(141)

unde reprezinta momentul în raport cu punctul O al fortelor exterioare sistemului si reprezinta momentul în raport cu punctul O al fortelor interioare sistemului si care este nul deoarece momentul în raport cu acest punct al fiecarei perechi de forte interioare este nul.

Introducând (141) în (140) rezulta expresia vectoriala a teoremei momentului cinetic:

(142)

Derivata în raport cu timpul a momentului cinetic al unui sistem material sau rigid, calculat în raport cu un punct fix O este egala cu momentul rezultant al fortelor exterioare sistemului sau rigidului, calculat în raport cu acelasi punct.

Cazul miscarii relative a sistemului material sau a rigidului în raport cu centrul de greutate (al maselor).

În cazul în care originea sistemului mobil atasat rigidului este centrul de greutate al acestuia , expresia momentului cinetic calculat în raport cu un punct fix O₁,conform relatiei (104) este:

care exprima teorema Koenig pentru momentul cinetic al rigidului în miscare fata de un reper fix.

Momentul în raport cu punctul fix O₁ al fortelor care actioneaza asupra rigidului este:

(143)

unde:

Teorema momentului cinetic devine:

(144)

respectiv:

adica:

(145)

(146)

Introducând relatiile (146) în (145) rezulta:

(147)

care exprima teorema momentului cinetic din miscarea rigidului în raport cu centrul de greutate.

Derivata în raport cu timpul a momentului cinetic al unui sistem material sau rigid în miscarea relativa fata de centrul de greutate C, calculat în raport cu acest punct este egala cu momentul rezultant al fortelor exterioare rigidului, calculat în raport cu acelasi punct.

Teorema momentului cinetic pastreaza aceeasi forma în miscarea relativa fata de centrul de greutate ca si în miscarea fata de un punct fix

Proiectând pe axe relatia vectoriala (10.142) se obtine:

(148)

Derivata în raport cu timpul a proiectiei pe o axa a momentului cinetic al unui sistem material sau rigid calculat în raport cu un punct fix O este egala cu proiectia pe acea axa a momentului rezultant al fortelor exterioare care actioneaza asupra sistemului sau rigidului, calculat în raport cu acelasi punct

Conservarea momentului cinetic

Daca în timpul miscarii sistemul material sau rigidul este izolat, atunci:

(149)

Daca sistemul sau rigidul este izolat, atunci momentul cinetic se conserva adica are o valoare constanta care se determina din conditiile initiale ale miscarii.

Sunt situatii când momentul rezultant al fortelor exterioare are nula doar componenta dupa o axa, ceea ce conduce la conservarea momentului cinetic dupa acea axa. Astfel, daca:

(150)

Daca proiectia pe o axa a momentului rezultant al fortelor exterioare este nula, atunci proiectia momentului cinetic pe axa respectiva se conserva adica are o valoare constanta care se determina din conditiile initiale ale miscarii.

2.3. TEOREMA ENERGIEI CINETICE

Cazul miscarii absolute a sistemului material sau a rigidului în raport cu un reper fix.

Pentru un sistem material, energia cinetica este data de relatia (114):

Diferentiind expresia (10.115) obtinem:

(152)

Se considera sistemul material actionat în punctele M_i de fortele exterioare si fortele interioare . Pentru punctul material M_i de masa m_i, legea fundamentala este data de relatia (130):

Înmultind relatia (130) cu variatia vectorului de pozitie al masei m_i, si însumând pentru toate punctele din sistem obtinem:

(153)

(154)

unde si reprezinta lucrul mecanic elementar al fortelor exterioare, respectiv interioare sistemului.

Introducând relatiile (153) si (154) în (152) rezulta teorema energiei cinetice pentru un sistem material:

(155)

Variatia energiei cinetice în timpul elementar dt este egala cu lucrul mecanic elementar al fortelor exterioare si interioare sistemului efectuat în acelasi interval de timp.

Vor fi analizate cazurile posibile când lucrul mecanic elementar al fortelor interioare este nul:

(156)

Pentru simplificare se considera cazul unei perechi de forte interioare si care actioneaza punctele materiale M_i si M_j ale sistemului (fig.11).

(157)

deoarece: iar reprezinta viteza relativa din miscarea punctului M_i fata de M_j ca si când acesta ar fi fix; deci .

Cazurile când :

- în legatura dintre doua puncte materiale nu se manifesta fortele de legatura interioare;

- viteza relativa dintre puncte este nula;

- vectorii si sunt perpendiculari, ca în cazul a doua corpuri legate printr-un fir inextensibil, perfect întins; este cazul rigidului.

În cazul rigidului, teorema energiei cinetice - forma diferentiala este:

(158)

Variatia energiei cinetice în timpul elementar dt este egala cu lucrul mecanic elementar al fortelor care actioneaza asupra rigidului, efectuat în acelasi interval de timp.

Teorema energiei cinetice – forma integrala (finita) se obtine prin integrarea formei diferentiale (158) în intervalul de timp (t₀, t₁).

(159)

Variatia energiei cinetice din pozitia initiala în pozitia finala este egala cu lucrul mecanic al fortelor care actioneaza asupra rigidului, efectuat între cele doua pozitii (în intervalul de timp t₀,, t₁).

Conservarea energiei mecanice

Un sistem material este conservativ daca fortele interioare sistemului deriva dintr-o functie de forta , adica:

(160)

Daca se introduce notiunea de energie potentiala, definita ca în cazul punctului material atunci relatia (160) devine:

(161)

Introducând relatia (161) în (155) se obtine:

(162)

Daca:

(163)

care constituie teorema conservarii energiei mecanice:

Daca lucrul mecanic elementar al fortelor exterioare care actioneaza asupra unui sistem conservativ este nul într-un interval de timp dat, energia mecanica a sistemului se conserva, adica este constanta în acel interval de timp sau un sistem conservativ închis are energia mecanica constanta.

Cazul miscarii relative a sistemului material sau a rigidului în raport cu centrul de greutate (al maselor).

Când originea sistemului mobil atasat rigidului este centrul de greutate al acestuia , expresia energiei cinetice devine conform relatiei (116):

care exprima teorema Koenig pentru energiea cinetica a rigidului în miscare fata de un reper fix.

Tot în acest caz, lucrul mecanic elementar al sistemului de forte , conform (90) este:

Teorema energiei cinetice, conform (158) este si care prin diferentiere conduce la:

                                                                                                                  (164)

Introducând expresiile (90) si (164) în (158) rezulta:

(165)

care exprima teorema energiei cinetice din miscarea rigidului în raport cu centrul de greutate.

Variatia energiei cinetice a rigidului în miscarea fata de centrul de greutate, în timpul elementar dt este egala cu lucrul mecanic elementar al fortelor exterioare care actioneaza asupra rigidului, efectuat în acelasi interval de timp.

Teorema energiei cinetice pastreaza aceeasi forma în miscarea relativa fata de centrul de greutate ca si în miscarea fata de un punct fix

Conservarea energiei mecanice

Daca fortele care actioneaza asupra rigidului sunt conservative, adica deriva dintr-o functie de forta :

(166)

Folosind notiunea de energie potentiala , relatia (166) devine:

(167)

Introducând relatia (167) în (165) se obtine:

(168)

Daca fortele care actioneaza asupra unui rigid sunt forte conservative, energia mecanica a rigidului în miscarea relativa fata de centrul de greutate se conserva, adica are o valoare constanta care se determina din conditiile initiale ale miscarii

Observatie. Teoremele impulsului, momentului cinetic si energiei cinetice se aplica numai cu vitezele absolute.