STATICA SISTEMELOR

Doua bare identice A₁B₂ = A₂B₁= 2l, de greutate P fiecare, sunt articulate in O. Barele se sprijina pe un plan orizontal, capetele superioare sunt legate printr-un fir A₁A₂, iar intre cele doua bare se introduce o sfera de raza r si greutatea G (fig.1a). Cunoscand unghiul q, sa se determine fortele din legaturile exterioare si interioare ale sistemului.

R. Se izoleaza fiecare corp, introducandu-se fortele cunoscute si fortele din legaturi si se scriu ecuatiile scalare de echilibru. (fig.1b).

Din conditiile de echilibru ale sferei

rezulta

Ecuatiile de echilibru ale celor doua bare (fig.1b) sunt

Rezolvand sistemul de ecuatii, se obtine

. Sistemul este format din barele AB, BC si DF, fixate prin articulatiile B, C, E si prin reazemul din A (fig.2a). Cunoscandu-se forta P si distantele , BD = CD = EF = l, AC = 2l, sa se determine reactiunile din legaturile exterioare A, C si din legaturile interioare B, D si E. Greutatile barelor se presupun neglijabile.

Se izoleaza mai intai bara DF articulata in D si E si se scriu ecuatiile de echilibru (fig.2b).

,

de unde rezulta mai intai

Se izoleaza apoi bara BC, articulata in B, C si D (fig.2c) si se scriu ecuatiile de echilibru

In sfarsit, se izoleaza ultima bara AB, articulata in B si E si rezemata in punctul A (fig.2d). Ecuatiile de echilibru sunt:

Celelalte ecuatii furnizeaza urmatoarele necunoscute

Observatie: Reactiunile din legaturile exterioare se pot determina cu metoda solidificarii intregului sistem. Introducand fortele de legatura exterioare N, H, V si forta cunoscuta P , se scriu cele trei ecuatii de echilibru:

din care se obtin aceleasi rezultate

Doua sfere omogene identice de raza r si de greutate G sunt asezate in interiorul unui cilindru de raza R deschis la ambele capete. Sa se calculeze greutatea P a cilindrului pentru ca acesta sa nu se rastoarne (fig.3a).

R. Vom aplica metoda echilibrului partilor izoland mai intai ansamblul celor doua bile (fig. 3b).

Ecuatiile de echilibru vor fi unde

Din aceste ecuatii rezulta .

In continuare se aplica metoda solidificarii si se introduc fortele cunoscute P, 2G si fortele din legaturile exterioare: N₃ si N₄ (fig.3a). Vom observa ca suportul reactiunii N₄ dintre cilindru si planul orizontal este deplasata cu o distanta s in sensul tendintei de rostogolire. Din ecuatiile de echilibru

N + N₄ - P - 2G = 0,

deducem . Pentru ca cilindrul sa nu se rastoarne va trebui ca suportul reactiunii N₄ sa fie in interiorul cilindrului, adica , de unde rezulta .

Pe o bara AB de greutate neglijabila, care se poate roti in jurul mijlocului sau M, se sprijina o alta bara omogena CD de greutate G, articulata la extremitatea sa D (fig.4a). Sa se determine pozitia punctului E pe bara AB, unde trebuie suspendata greutatea Q, pentru ca bara sa ramana in echilibru in pozitia orizontala.

R. Asupra barei CD actioneaza greutatea proprie , reactiunea normala si reactiunea din articulatie (fig.4b). Asupra barei AB va actiona tensiunea din fir , reactiunea normala si reactiunea din articulatia M (fig.4c).

Pentru a elimina din calcul reactiunilr si , vom scrie numai ecuatii de momente in raport cu articulatiile barelor; se obtine , , din care rezulta

.

Fie sistemul de corpuri (fig.5a). Sa se determine: 1). reactiunile din legaturile interioare si exterioare ale sistemului, 2). Greutatea Q la echilibru. Greutatile barelor sunt presupuse neglijabile, iar coeficientul de frecare dintre greutatea G si bara CD estem

Fig.5a

R. Se aplica metoda izolarii corpurilor: Din ecuatiile de echilibru ale corpului de greutate G (fig.5b) S - T - G sina N₁ - G cosa = 0, si din conditia de frecare de alunecare T = m N rezulta N₁ = G cosa T = m G cosa S = G (sina mcosa

Fig.5b Fig.5c

Ecuatiile de echilibru ale troliului (fig.5c)

H - S cosa V₁ - P - Q - S sina Q R - S r = 0

furnizeaza necunoscutele H₁ = G cosa (sina mcosa), V₁ = P + Q + G sina (sina mcosa

Din ecuatia de momente, rezulta extremele greutatii Q:

(sina mcosa), (sina mcosa

Din conditiile de echilibru ale celorlalte doua corpuri (fig.5d, fig.5e)

H + T - N₂ cosa V₂ - N₁ + N₂ sina N₂ 3l sina - N₁ 2l = 0,

H - H₁ = 0, V₃ - V₁ = 0, M₃ - H₁a - V₁ 2a = 0,

Fig.5d Fig.5e

se obtin urmatoarele rezultate

N = G ctga, H₂ = G cosa, V₂ = G cosa

H = G cosa (sina mcosa), V₃ = Q + P + G sina (sina mcosa

M = .

Fie sistemul de corpuri format din barele O₁A = AB = l, de greutati egale G, troliul de greutate Q si bara CD de greutate neglijabila (fig.6a).

Sa se determine:

reactiunile din legaturile sistemului,

pozitia punctului de aplicatie al fortei P.

Fig.6a

R. Se izoleaza mai intai bara CD (fig.6b). Ecuatiile de echilibru sunt

H = 0, S₁ - P + V₁ = 0, S₁ a - Px = 0,

de unde rezulta H₁ = 0, V₁ = P , S₁ = .

Fig.6b

Din ecuatiile de echilibru ale troliului

S - H₂ = 0, V₂ - S₁ - Q = 0, S₁ r - S₂ R = 0, deducem H₂ = S₂ = , V₂ = Q + .

In continuare, se separa bara AB (fig.d) si se scriu ecuatiile de echilibru

H - S₂ = 0, V₃ - G + N = 0, V₃ l cosa + H₃ l sina - Gcosa

de unde rezulta H₃ = , V₃ = - tga, N = + tga

In sfarsit, prin izolarea ultimului corp al sistemului, bara O₁A (fig.6e), se obtine sistemul de ecuatii

H - H₃ = 0, V₄ - V₃ - G = 0, H₃ l sina - V₃ l cosa - G cosa

cu urmatoarele solutii H₄ = , V₄ = - tga, x = .

Se considera sistemul de corpuri din fig. 7a format dintr-un troliu de raze r, R si de greutate G, o bara OA = 3a, de greutate neglijabila si o contragreutate Q care se reazema fara frecare pe un plan inclinat. Cunoscand coeficientul de frecare m intre bara si troliu, sa se determine:

reactiunile din legaturile exterioare si interioare ale sistemului de corpuri,

valoarea maxima a greutatii Q pentru care sistemul ramane in aceeasi pozitie de echilibru.

Fig.7a

Fig.7b Fig.7c

R. Deoarece apar mai mult de trei necunoscute introduse de legaturile exterioare, se utilizeaza metoda izolarii corpurilor. Asupra celor trei corpuri actioneaza fortele cunoscute si fortele de legatura. Din ecuatiile primului corp (fig.7b)

S₁ - Q sina = 0, N₁ - Q cosa

rezulta S₁ = Q sina , N₁ = Q cosa

Ecuatiile de echilibru ale troliului (fig.7c)

H - N₂ - S₁ cosa V₁ - T - S₁sina - G = 0, S₁ r - T R = 0

si conditia de echilibru cu frecare T = mN se obtine

T = Qsina, N₂ = Qsina

H = Qsina , V₁ = G + Qsina .

Se considera sistemul de corpuri intr-o pozitie de echilibru cunoscuta (fig. 8a). Cunoscand lungimile barelor AB = 2a, DE = 3l, razele r, R ale discului si troliului, greutatile G, Q, coeficientul de frecare de alunecaresi coeficientul de frecare de rostogolire s, sa se determine:

fortele din legaturile exterioare si interioare,

limitele greutatii P pentru ca sistemul sa ramana in aceeasi pozitie de echilibru.

R. Se aplica metoda izolarii corpurilor.

Se separa mai intai bara AB (fig.8b) si se scriu urmatoarele ecuatii de echilibru:

H -S₁ = 0, V₁ - P + = 0, P - S₁ 2a = 0,

din care deducem S₁ =, H₁ =, V₁ =.

Fig.8a

   

Fig.8b Fig.8c Fig.8d

Din echilibrul troliului (fig.8c) rezulta ecuatiile

H + S₁ - S₂ cosa V₂ - Q - - S₂ sina S₁ r - S₂ R = 0,

iar din echilibrul discului (fig.8d) pe bara inclinata, deducem inca trei ecuatii

S - T - G sina N - G cosa M_r + Gr sina - S₂ 2r = 0.

Rezolvand acest sisteme de ecuatii, rezulta

S = , T = Gsina

H = cosa - , V₂ = Q + + sina

N = G cosa M_r = - Gr sina

Pentru ca discul sa nu alunece si sa nu se rostogoleasca in sus sau in jos se scriu urmatoarele conditii: -mN T mN, -sN M_r sN, din care obtinem valorile fortei P:

G(sina mcosa P G(sina mcosa

pentru ca discul sa nu alunece, si

G(sina - cosa P G(sina + cosa

ca discul sa nu se rostogoleasca. Reactiunile in articulatia E si in reazemul D se deduc din ecuatiile de echilibru ale barei DE (fig.8e):

N =

H =

V =.

Un troliu de raze r, R si de greutate P este articulat cu frecare in capatul unei bare de lungime 2a. Pe suprafata troliului sunt infasurate doua fire ce sustin greutatea Q si capatul unei bare AB de lungime l si greutate G (fig.9a). Cunoscand coeficientul de frecare si raza r a lagarului, se cere sa se determine:

fortele din legaturile exterioare si interioare ale sistemului,

valorile extreme ale greutatii Q la echilibru.

R. Se aplica metoda izolarii corpurilor. Ecuatiile de echilibru ale barei AB (fig. 9b). sunt H₁ = 0, V₁ + S - G = 0, S l cosa - G cosa = 0; rezulta H₁ = 0, V₁ = , S = .

Din ecuatiile de echilibru ale troliului (fig.9c) H₂ = 0, V₂ - P - S - Q = 0,M_f + Sr - QR = 0, se determina necunoscutele H₂ = 0, V₂ = P + Q +, M_f = - QR - .

Fig.9a

   

Fig.9b Fig.9c

Fig.9d

Din conditiile ca troliul sa nu se roteasca rezulta valorile fortei Q:

.

Izoland ultimul corp (fig.9d) se obtin urmatoarele ecuatii

H - H₂ - F = 0, V₃ - qa - F - V₂ = 0, M₃ - q- Fa - V₂ 2a - M_f = 0,

care conduc la rezultatele

H = -

V = qa + P + Q + ,

M = + 2a +QR - r.

O bara OA = l de greutate G se sprijina cu capatul A pe un paralelipiped de greutate Q, care are are baza un patrat de latura b si inaltimea h Cunoscand coeficientul de frecare m sa se studieze echilibrul sistemului de corpuri.

R. Se izoleaza cele doua corpuri (fig.10b si fig.10c).

Ecuatiile de echilibru pentru bara si pentru corpul al doilea. sunt urmatoarele

H - N₁ = 0, V - G = 0, Gcosa - N₁ l sina

N - T = 0, N₂ - Q = 0, N₂ s - N₁ l sina

Rezolvand ecuatiile, rezulta

N =ctga, N₂ = Q, H = ctga, V = G, T = ctga, s = cosa

Pentru ca blocul sa nu alunece, se pune conditia de echilibru cu frecare T m N , din care se obtine

   

Fig.10a Fig.10b Fig.10c

. Ca blocul sa nu se rastoarne in jurul punctului C, se scrie , de unde rezulta conditia .