ECHILIBRUL FIRELOR

Un vapor ancorat cu un cablu este actionat de un vant orizontal. Adancimea apei fiind h, iar forta vantului R, sa se determine lungimea cablului necesar ancorarii. Se presupune cunoscuta greutatea unitatii de lungime a cablului (fig.1).

Ecuatiile de echilibru ale firului (fig.1) sunt T_A cosa - H = 0, T_A sina - pL₀ = 0, la care se adauga , H = pa; rezulta

.

Tinand seama de ecuatiile de echilibru ale vaporului, vom avea

H = R, L₀ = ,

T_A = R + ph, F_a = G + .

Un fir omogen de lungime L si greutate specifica p este suspendat in doua puncte A, B situate la acelasi nivel (fig.2). Sageata lantisorului fiind f, sa se determine:

tensiunile din A si B;

tensiunea minima din fir;

distanta AB = l intre punctele de suspensie;

unghiul a dintre tangenta in A si orizontala;

parametrul a al lantisorului.

R. Se utilizeaza ecuatia lantisorului y = a ch si formula arcului de curba s = a sh.

Fig.2

Coordonatele punctului Bverifica ecuatia lantisorului s + f = a ch, iar lungimea totala a firului este L = 2 a sh. Aceste doua relatii formeaza un sistem de ecuatii transcendente cu necunoscutele a si l . Tinand seama de identitatile

, ,

ecuatiile precedente formeaza un sistem echivalent:

, ,

din care rezulta

.

Tensiunile din A si B sunt T_A = T_B = p y_a = p(a + f) = , iar unghiul a de inclinare a firului este dat de tg a = .

Un fir omogen de lungime L si greutate specifica p este suspendat in doua puncte A, B situate pe aceeasi orizontala. Cunoscand unghiurile a si b. dintre tangentele la fir duse in aceste puncte si orizontala, sa se determine:

tensiunile din A si B;

tensiunea minima din fir;

diferenta de inaltime h;

sageata f;

lungimile segmentelor de fir pana la punctul de inaltime minima (fig.3a).

Diferenta de inaltime h este h = y_A - y_B = .

Un lant omogen de lungime L si greutate G este suspendat in doua puncte situate pe aceeasi orizontala. Unghiul tangentei in B cu orizontala este de 60 . Sa se afle sageata lantului si tensiunile in punctele de prindere (fig.4).

R. Din ecuatia de echilibru a firului 2T_B sin 60 = pL = G rezulta

T_A = T_B = , p = .

Tensiunea minima din fir si parametrul lantisorului au expresiile

H = T_B cos60 =

a = .

Fig.4

Sageata firului este f = .

Un fir omogen are un capat legat de o bara, iar celalalt capat de un inel ce poate aluneca cu frecare (fig.5a). Cunoscand coeficientul de frecare m, lungimea firului L si sarcina distribuita pe unitatea de lungime p, sa se calculeze sageata f a firului si reactiunea din B.

Fig.5a

R. Din conditiile de echilibru ale inelului (fig.5a): T_A cosa mN, T_A sina = N,

rezulta cosa = .

Se izoleaza apoi firul (fig.5b) si se scriu ecuatiile

2T_A sina = pL, T_A cosa = H = pa, p(a + f) = T_B,

din care se obtine

T_A =

f =.

Fig.5b

Cand m = 0 firul isi pierde forma de lantisor, iar f =, a = .

O frana cu banda actioneaza asupra unui troliu de raze r, R prin intermediul unei parghii AO₁B (fig.6a). Troliul este antrenat in miscare de rotatie de o greutate P, situata pe un plan inclinat sub unghiul a.. Cunoscand dimensiunile a si b ale parghiei si coeficientul de frecare m intre banda si disc, sa se determine forta F necesara mentinerii sistemului in echilibru.

Fig.6a

R. Din ecuatiile de proiectie scrise pentru primul corp (fig.6b), rezulta

T = P sina , N = P cosa

Scriind in continuare ecuatiile de momente fata de O₁, pentru parghie si fata de O₂ pentru troliu, se pot elimina reactiunile V₁, H₁ si V₂, H₂ din articulatii:

F a - T₃ b = 0, T₁r + T₃R - T₂R = 0.

Fig.6b

Din aceste ecuatii se obtine T₃ = F, T₂ = P sina + F.

Pe de alta parte, pornind de la ecuatia de momente scrisa pentru troliu, deducem forta motoare T_m =T₂ si forta rezistenta T_r=T₃. Echilibrul este posibil daca este indeplinita conditia

, din care rezulta forta F necesara franarii

.