Ecuatiile diferentiale de echilibru

Ecuatiile diferentiale de echilibru

Tensiunile care iau nastere intr-un corp nu au aceeasi valoare in fiecare punct decat in cazul unei stari omogene de tensiuni. Presupunand ca tensiunile variaza de la punct la punct, atunci, daca pe una din fetele elementului actioneaza, de exemplu, tensiunile s_x t_xy t_xz, fig. (III.5), pe fata opusa actioneaza aceleasi tensiuni plus cresterile respective, adica , , . In mod analog se stabilesc tensiunile si pe celelalte fete.

Tensiunile dau nastere unor forte avand directia tensiunii respective si marimea egala cu produsul dintre valoarea tensiunii si suprafetele pe care actioneaza. Neglijand fortele masice, fortele care actioneaza pe cele sase fete ale elementului trebuie sa mentina elementul in echilibru.

Scriind ecuatia de proiectii pe Ox se obtine:

(III.6)

rezultand relatia diferentiala:

(III.7)

Fig. III.5 Variatia tensiunilor pe cubul elementar

In mod analog, din ecuatiile de proiectii pe Oy si Oz se obtin alte doua relatii, astfel ca rezulta urmatoarele ecuatii diferentiale de echilibru:

(III.8)

cunoscute sub denumirea de ecuatiile diferentiale de echilibru ale lui Cauchy.