Incarcarea cu sarcina electrica a particulelor in filtrele electrostatice

Incarcarea cu sarcina electrica a particulelor in filtrele electrostatice.

1. Introducere

Studiul functionarii filtrelor electrostatice necesita, in mod evident, cunoasterea cat mai amanuntita a mecanismelor ce se produc la nivel microscopic responsabile de procesul de incarcare cu sarcina electrica a particulelor. Avand in vedere acestea, in contiuare vom prezenta principalele mecanisme de incarcare cu sarcina electrica precum si factorii esentiali care influenteaza acest proces.

Numeroase studii au aratat ca procesul de incarcare cu sarcina electrica a particulelor poate fi atribuit in principal urmatoarelor doua mecanisme:

incarcarea prin camp;

incarcarea prin difuzie.

A) Incarcarea prin camp electric

Acest mecanism presupune captarea de catre particulele aflate in suspensie in gaz, a ionilor care se misca pe directia liniilor de camp electric.

Particula prezenta intr-un gaz provoaca o distorsiune locala a campului electric ce depinde de natura acesteia. Astfel, daca particula este conductoare, distorsiunea locala a campului electric este maxima. Pentru o particula izolanta, perturbatia campului depinde de permitivitatea sa. Suprafata particulei reprezinta suprafata de discontinuitate dintre doua medii cu proprietati diferite. In acest caz, ionii continuti de gaz, care se deplaseaza pe lung de linie in campul electric, pot sa se fixeze pe suprafata particulei. Fiecare ion care atinge o particula, schimba distributia locala a campului electric. Atata timp cat campul electric creat de incarcarea particulei este inferior campului electric maxim care exista la suprafata particulei (chiar daca aceasta nu este incarcata), ionii continua sa ajunga pe suprafata acesteia. In cazul in care sarcina acumulata este suficienta, liniile de camp inconjoara particula; aceasta semnifica faptul ca particula s-a incarcat cu sarcina de saturatie prin camp [1].

B) Incarcarea prin difuzie

Pentru particulele fine este necesar sa tinem seama de fenomenul de difuzie al ionilor in procesul de incarcare [1,7]. Ionii prezenti intr-un gaz au o miscare de agitatie dezordonata datorita energiei lor cinetice importante (agitatie termica). Daca consideram o regiune din spatiu fara camp electric, putem considera ca ionii au o repartitie uniforma in vecinatatea unei particule. In aceste conditii, pentru fiecare element de suprafata al unei particule, probabilitatea ciocnirii cu ioni este aceeasi si particula poate acumula o anumita energie. Acest mecanism de incarcare prin difuzie are o importanta mai mare pentru particulele foarte fine, de un diametru inferior 0,5 m [1,10]. Cantitatea de sarcina acumulata depinde in acest caz de densitatea de ioni, viteza de agitatie termica a acestora, de temperatura absoluta a gazului, de timpul prezentei particulelor in regiunile unde se gasesc ionii si de talia particulelor.

Desigur, in spatiul delimitat de electrozii precipitatorului, cele doua mecanisme de incarcare cu sarcina coexista. In realitate, prezenta campului electric produce o crestere a densitatii de ioni pe una din fetele particulelor, in timp ce, pe cealalta fata, numarul de ioni este mai redus. Exista diverse modele fizice de caracterizare a acestui fenomen care vor fi explicate in cele ce urmeaza.

1.1. Efectul corona in electrofiltre

Fie un camp electric divergent ; pentru aceasta consideram un sistem de electrozi punct-plan sau un fir -plan (fig. 1).

Figura 1. - Reprezentare sistematica a unei descarcari corona: avalansa electronica si formarea coroanei luminoase.

Intr-o asemenea situatie, daca electrodul cu raza de curbura mica este pus la un potential negativ egal sau mai mare ca V_RS (numit potential de prag sau de amorsare), intensitatea campului la suprafata electrodului de emisie atinge valoarea E_RS. Astfel, aerul prezent in imediata vecinatate a firului metalic se strapunge (intensitatea campului electric scade foarte repede pe masura ce distanta fata de fir creste) ceea ce determina o disociere a modeculelor din aceasta zona. Aerul dintre cei doi electrozi se ionizeaza puternic in urma acestor fenomene care sunt grupate sub denumirea de descarcare corona. Atata timp cat potentialul electric este inferior valorii maxime, descarcarea corona ramane localizata in apropierea electrodului ionizat. Avalansa de electroni se formeaza in acest caz doar pana la o distanta la care intensitatea campului electric nu mai este suficienta pentru multiplicarea electronica. In spatele acestei regiuni, electronii liberi se ataseaza rapid de moleculele neutre pentru a forma ioni negativi. Fenomenul de ionizare care genereaza electroni liberi determina si formarea unor ionilor pozitivi. Sub actiunea campului electric, acesti ioni se deplaseaza de-a lungul liniilor de camp si, din cauza mobilitatii lor, mult mai mica decat cea a electronilor, in aceasta zona se formeaza o sarcina electrica spatiala pozitiva.

In functie de valoarea potentialului electric aplicat, descarcarea corona poate trece prin mai multe regimuri. In vecinatatea V_RS descarcarea coronna este caracterizata de existenta impulsurilor regulate ce poarta denumirea de impulsuri Trichel [27]. Pentru aceeasi tensiune aplicata, frecventa si amplitudinea acestor impulsuri sunt influentate de caracteristicile geometrice ale electrozilor [27]. Diferite particule care vin sa se depoziteze pe suprafata electrodului emisiv influenteaza, de asemenea, aceste impulsuri.

Vizual, acest regim corespunde aparitiei apoi disparitiei punctului luminos de culoare violeta de pe suprafata firului. Pe masura ce valoarea potentialului electric creste, punctele luminoase devin din ce in ce mai numeroase. Pentru o tensiune electrica

suficient de ridicata, frecventa impulsurilor Trischel devine foarte mare (de ordinul 1MHz), apoi descarcarea trece in regim continuu [28]. In acest stadiu, descarcarea corona poate fi considerata ca 2 descarcari : una stationara si alta impulsionala. Importanta lor depinde doar de valoarea potentialului electric aplicat [28]. Uneori, componenta continua a descarcarii este suficienta pentru mascarea impulsurilor. In timpul acestui regim, catodul este inconjurat de o zona luminoasa de culoare violeta.

Daca valoarea potentialului electric aplicat creste, poate aparea fenomenul de strapungere electrica, explicat astfel: cand avalansa electronica incepe sa se formeze in vecinatatea catodului, electronii liberi se deplaseaza antiparalel cu campul electric; fotonii emisi conduc la formarea altor electroni (prin absorbtia acestora de catre moleculele de gaz), care se deplaseaza in regiunea din fata a avalansei, creand astfel o avalansa secundara, in fata celei initiale. Atunci cand campul electric este suficient de intens, noua avalansa avanseaza, si, la fel ca si sarcina spatiala a ionilor pozitivi, conduce la cresterea intensitatii campului electric intre cele doua avalanse. Acest lucru favorizeaza inaintarea primei avalanse, care o intalneste pe cea de a doua, in timp ce alti electroni, nou formati, vor crea o alta avalansa in fata celei secunde; strimerul avanseaza astfel pas cu pas. Nu se poate vorbi despre o valoare fixa a tensiunii de strapungere a gazului, insa exista o zona in care probabilitatea ca aceasta sa se produca creste odata cu valoarea tensiunii aplicate. De altfel, fenomenul de strapungere electrica este foarte sensibil la prezenta diverselor impuritati in gazul considerat.

Valoarea tensiunii de strapungere este influentata de cativa factori exteriori: temperatura si presiunea gazului, umiditatea, prezenta anumitor particule, etc.

Consideram acum cazul in care aplicam un potential pozitiv asupra electrodului cu raza de curbura mica.

In aceasta situatie zona campului intens nu mai este juxtapus sursei de electroni si astfel fenomenul devine mult mai complex. Un electron care se gaseste aproape de fir, produce o avalansa dar, cand electronul ajunge la electrodul de emisie, el nu mai produce nimic care ar putea intretine fenomenul. Catodul situat cel mai departe de zona de camp intens nu mai joaca rolul de sursa de electroni. Pentru o anumita gama de valori a tensiunii, exista o succesiune de avalanse, dar este inca dificil de obtinut un fenomen stabil.

Pentru acelasi gaz si aceleasi conditii exterioare, valoarea tensiunii de clacare este net inferioara in cazul polaritatii pozitive. Din acest motiv, in majoritatea electrofiltrelor, electrozii emisivi sunt conectati la un potential electric negativ pentru a asigura o buna incarcare a particulelor, un camp electric suficient de intens si pentru a limita pe cat posibil amorsarile.

Figura 2. - Regimurile descarcarii corona.

2. Mecanisme de incarcare cu sarcina electrica

Incarcarea cu sarcIna electrica a particulelor este etapa de baza in procesul de filtrare electrostatica si, datorita importantei fortei lui Coulomb este de dorit ca incarcarea particulelor sa se produca la un potential inalt. Chiar daca, precipitarea electrica este posibila in conditii de incarcare ambipolara a particulelor, incarcarea unipolara este mult mai eficienta si de aceea este mai utilizata. Fundamental, nu exista nici o diferenta intre incarcarea cu sarcini pozitive sau negative; amandoua sunt la fel de eficiente pentru acelasi potential aplicat. In practica insa, alegerea este determinata de alti factori. Pentru filtrarea industriala, polaritatea negativa este preferata deoarece prezinta o mai mare stabilitate si valori mai mari a tensiunii si intensitatii curentului. Pentru purificarea aerului este preferata polaritatea pozitiva si datorita generarii unei cantitati mai mici de ozon. Criteriul de baza in ambele cazuri este acela de a obtine un numar cat mai mare de particule incarcate.

In principiu, particulele aflate in gaze pot fi incarcate prin numeroase cai. De fapt, particulele neincarcate sunt foarte rare si sunt considerate ca fiind exceptii. De exemplu, ceata naturala poarta o incarcatura electrica apreciabila datorita efectelor radiatiilor cosmice.

Numeroasele investigatii experimentale au dus la concluzia ca majoritatea particulelor continute in diverse suspensii naturale sau rezultate in urma anumitor procese industriale sunt incarcate cu sarcini electrice, particulele neincarcate fiind foarte rare. De exemplu, masuratorile sarcinilor electrice libere ale picaturilor de ploaie, arata ca sarcina medie are o valoare de 10 la 100 sarcini elementare pe picatura, depinzand de altitudine si de intensitatea furtunii. Studiile din laboratoare au demonstrat ca in cazul incarcarii particulelor fine din aer , aproape toate particulele sunt incarcate (in numar egal pozitiv si negativ) si cu o sarcina medie pe particula ce creste odata cu diametrul particulei. Investigatii similare pe alte particule fine au aratat incarcari electrice semnificative pe aerosoli. Incarcarile electrice naturale ce se produc in aerosolii industriali au fost de asemenea intens investigate. Aceste masuratori au aratat ca majoritatea dispersiei industriale este incarcata si ca sarcina este de obicei distribuita in mod egal pozitiv si negativ, astfel incat suspensia de particule, ca un intreg, este neutra din punct de vedere electric si sarcina medie a particulei este mica dar nu neglijabila. Sarcinile specifice ale particulelor obtinute din procesul de slefuire a mobilei au fost gasite ca fiind de ordinul 10⁴ sarcini elementare pe gram, si numai 5%-10% sarcina obtinuta prin efect corona in precipitatoare.

Aburul industrial prezinta de obicei incarcare si mai mica, zero sau aproape zero in majoritatea cazurilor [1].

In ciuda posibilitatilor numeroase de incarcare, doar cateva dintre acestea prezinta eficienta in purificarea aerului. Cele mai multe produc o incarcare ambipolara cu o sarcina mica. Cat timp numarul de particule incarcate creste, este evident, de exemplu, ca, dublarea sarcinii duce la dublarea fortei de separare si acest lucru reduce marimea precipitatorului. Ca un principiu general, politica economica impune ca incarcarea particulelor sa fie cat se poate de mare. Teoriile si experienta indelungata au dus la concluzia ca descarcarea corona unipolara de potential inalt este de departe cea mai buna metoda in obtinerea de particule incarcate puternic in scopul de purificare a aerului. De aceea, atentia cercetatorilor s-a concentrat pe metodelele de incarcare ce folosesc efectul corona (sau de "plasma rece").

Particulele prezente intr-un gaz sunt purtatoare de sarcina electrica acumulata datorita fenomenelor de frecare (triboelectrizare), fie prin efect termic fie datorita radiatiilor terestre naturale. Marimea sarcinii electrice acumulate de o particula depinde de proprietatile intrinseci ale acesteia (rezistivitatea electrica, permitivitatea), dar si de campul electric existent in spatiul considerat. Aceste sarcini sunt insa mult prea mici pentru ca un camp electric aplicat din exterior sa poata modifica traiectoriile acestor particule. O actiune eficienta a unui camp electric necesita ca particulele sa posede o sarcina electrica cat se poate de mare. Asa cum s-a aratat in capitolele anterioare, o astfel de sarcina electrica poate fi acumulata numai in cazul trecerii acestora printr-o zona unde exista un camp electric suficient de intens pentru a produce o puternica ionizare a gazului.

Pentru explicarea procesului de incarcare cu sarcina electrica, se vor considera in continuare numai particule de forma sferica. Captarea ionilor negativi (produsi in interiorul precipitatoarelor electrostatice de descarcarile corona negative) de catre o astfel de particula, se poate face in urma a doua procese distincte:

campul electric intens produce o miscare a tuturor ionilor in lungul liniilor de camp, provocand astfel ciocniri intre particule si acestia. Aceste ciocniri conduc intr-un final la ionizarea particulelor: mecanismul de incarcare prin camp electric. Pentru particule ale caror diametre sunt superioare valorii de
1 μm, acest mecanism de incarcare este preponderent.

datorita fenomenului de agitatie termica, un ion negativ poate acumula o energie cinetica suficient de mare astfel incat sa ajunga pe suprafata unei particule: incarcare prin difuzie. Acest mecanism este important pentru particule de dimensiuni foarte mici (diametre inferioare valorii de 0,1 μm).

In practica, mecanismul de incarcare prin camp este preponderent pentru particule cu diametre superioare valorii de 0,5 μm, mecanismul de incarcare prin difuzie predomina in cazul particulelor cu diametre inferioare valorii de 0,2 μm iar pentru particule cu diametre cuprinse intre 0,2 μm - 0,5 μm, ambele procese sunt importante.

2.1. Incarcarea prin camp electric. Sarcina limita de incarcare.

In acest subcapitol se va prezenta modul in care o particula se poate incarca cu sarcina electrica prin acumularea pe suprafata acesteia a unui anumit numar de ioni a caror miscare este determinata de actiunea unui camp electric.

Figura - Liniile de camp electric si liniile echipotentiale pentru o sfera conductoare aflata intr-un camp uniform.

Figura 4. Liniile de camp electric si liniile echipotentiale pentru o sfera conductoare incarcata partial aflata intr-un camp electric uniform.

Consideram mai intai o particula conductoare, de forma unei sfere de raza a care poseda o sarcina electrica negativa de valoare -q si care este plasata intr-un camp electric (Figura 5). Se doreste identificarea fortelor care se exercita asupra unui ion negativ de sarcina - e, situat intr-un punct A, astfel incat OA = a(1+v), unde v este un coeficient de multiplicare. Se va considera numai componenta radiala a fiecarei forte, considerandu-le pozitive pe cele care cauta sa indeparteze ionul de particula.

Campul electric exercita o forta asupra ionului, data de relatia:

, (1)

iar componenta sa dupa directia OA:

, (2)

unde θ reprezinta unghiul dintre axa Ox si dreapta OA.

Figura 5. Fortele care se exercita asupra unui ion negativ in vecinatatea unei particule incarcate cu sarcina electrica.

Sarcina electrica negativa a sferei respinge ionul negativ cu o forta data de legea lui Coulomb:

, (3)

respectiv:

. (4)

Imaginea electrica a ionului in raport cu sfera (particula) (Figura 6) exercita asupra acesteia o forta de atractie, cu expresia [29]:

, (5)

unde: este data in Figura 6.

Imaginea electrica a ionului

Figura 6. - Definirea marimilor geometrice necesare calculului fortei create de imaginea electrica a ionului.

Neuniformitatea repartitiei sarcinilor electrice pe suprafata particulei conduce la aparitia unei forte a carei componenta radiala este data de relatia 6 [30]:

. (6)

Componenta radiala a fortei totale ce actioneaza asupra particulei incarcate cu sarcina electrica obtinuta prin insumarea algebrica a componentelor radiale ale fortelor
F_1-4 este data de relatia:

. (7)

Daca aceasta componenta este negativa, ionul se apropie de particula sferica considerata. Dar, forta totala F_T determina miscarea ionului numai atunci cand distanta dintre acesta si particula este suficient de mica, deci numai pentru valori scazute ale lui v, ceea ce conduce la expresia:

. (8)

Cum se observa in relatia 8, forta totala F_T depinde de unghiul θ dintre directia campului electric E si aceea de miscare a ionului considerat. Fie o sarcina de incarcare a particulei de valoare q. In aceste conditii, forta F₁ devine nula in cazul in care unghiul θ are valoarea θ₀ data prin relatia [31]:

. (9)

Pentru intensitatea campului electric , raza particulei , sarcina elementara si sarcina electrica de incarcare a particulei egala cu 10000, 30000 respectiv 38000 sarcini elementare, Pauthenier si Moreau - Hanot [31] au trasat punctele unde campul electric radial se anuleaza si isi schimba semnul (Figura 7.)

Figura 7. - Evolutia zonei de respingere din vecinatatea particulei pentru diverse marimi ale sarcinii electrice de incarcare si E = 1800 V / m [31].

Daca sarcina electrica de incarcare a particulei este mica, forta de interactiune
ion - particula este negativa (determina apropierea ionului de particula considerata) indiferent de distanta OA (valoarea v), ceea ce va conduce la o crestere a valorii sarcinii acumulate pe suprafata sferei (particulei). Daca sarcina particulei q creste, cosθ₀ creste (θ₀ scade) astfel incat zona de respingere se inchide in jurul sferei (Figura 7). Deci, la un moment dat, particula va fi inconjurata complet de o zona de repulsie pe care ionii nu o mai pot depasi decat in cazul in care agitatia termica le transmite o energie cinetica suficient de mare.

Astfel, atat timp cat sarcina electrica care se afla pe suprafata unei particule nu atinge o valoare limita, anumiti ioni negativi aflati in vecinatatea particulei si accelerati de campul electric pot fi atrasi (acumulati) de aceasta.

Ecuatia nu poate fi rezolvata algebric, insa, in regiunea in care si este neglijabila, expresiile fortei F_T si cosθ₀ pot fi scrise [31]:

, (10)

. (11)

Sarcina electrica acumulata de particula va atinge o valoare limita atunci cand , adica, in momentul in care ionii nu mai pot ajunge pana la suprafata sferei. In acest caz, expresia sarcinii electrice limita se poate scrie [31]:

. (12)

Definind raportul:

, (13)

obtinem urmatoarea expresie pentru F_T :

. (14)

Pauthenier si Moreau - Hanot [31] au remarcat ca zona de respingere a ionilor inconjoara complet sfera daca valoarea raportului λ este 1,014 si se mareste foarte rapid daca λ continua sa creasca. Dar, conform definitiei, raportul λ nu poate fi superior unitatii (sarcina electrica acumulata prin acest mecanism nu poate fi superioara celei limita ). Valoarea net superioara unitatii a raportului λ poate fi explicata prin faptul ca acest mecanism de incarcare cu sarcina electrica a particulelor neglijeaza fenomenul de incarcare prin difuzie (captarea ionilor care se deplaseaza datorita fenomenului de difuzie).

In aceste conditii, Pauthenier si Moreau-Hanot au trasat curba F_T(v) pentru λ = 1.014 (Figura 8). Ionul negativ considerat este supus unei forte de respingere intr-o regiune cu o largime de 1 μm, ceea ce este echivalent cu de 12 ori parcursul mediu mijlociu al unui ion in aer. Din acest motiv, probabilitatea ca un ion sa ajunga pe suprafata sferei datorita agitatiei termice este foarte mica. Aceasta conduce la concluzia ca, suplimentul de sarcina electrica ce poate ajunge pe suprafata particulei pe aceasta cale, este neglijabil in raport cu cantitatea de sarcina deja acumulata. Pentru a generaliza acest rezultat, Pauthenier si Moreau - Hanot [31] au calculat valorile raportului λ, creand o zona de repulsie de 1 μm pentru diferite marimi ale particulelor (vezi tabel 1). In tabelul 1 se observa ca raportul λ devine din ce in ce mai mare pe masura ce raza particulelor se micsoreaza. Pauthenier si Guillien [32] au comparat valoarea limita a sarcinii electrice obtinuta prin calcul, cu valorile masurate, utilizand bile de otel de raza mare. Abaterile intre rezultatele experimentale si cele calculate cu ecuatiile 10 si 11 sunt de 1-2%.

Figura 8. Curba de variatie a fortei F_e in functie de v

Tabel 1.

In cazul in care particulele au o rezistivitate electrica importanta (situate in zona materialelor electroizolante), expresia sarcinii electrice limita de incarcare nu mai poate fi calculata utilizand relatiile 10 si 11. Brigard [33] gaseste urmatoarea relatie de calcul:

, (15)

unde: , cu permitivitatea electrica a particulei.

In cazul in care dimensiunile particulelor sunt comparabile cu drumul liber mijlociu al ionilor in aer μm, Cochet [11] propune o expresie de calcul a sarcinii electrice limita, asemanatoare cu relatia 15, in care numai parametrul p este modificat:

, (16)

unde: este drumul liber mijlociu al ionilor in aer, ε_r permitivitatea relativa a particulei si E intensitatea campului electric.

Utilizand relatia 16, s-au realizat curbele de variatie a sarcinii electrice acumulate pentru diverse valori ale intensitatii campului electric, in functie de diametrele particulelor, la temperatura de 150˚C (Figura 9) (permitivitatea este considerata conventional: ε_r = 10).

Conform Figurii 9, pentru o intensitate a campului electric V/m, o particula cu diametrul μm va acumula 5 sarcini electrice elementare , in timp ce, pentru μm, numarul de sarcini elementare acumulate va fi de 10.000.

Figura 9. Incarcarea particulelor cu sarcina electrica in functie de diametrul acestora pentru diferite valori ale intensitatii campului electric, utilizand relatia Cochet (15).

Din cele prezentate anterior se observa ca agitatia termica nu poate avea decat o influenta nesemnificativa asupra valorii sarcinii electrice limita acumulate de o particula cu raza in jurul valorii de 1 μm, aflata intr-un camp electric.

Expresia sarcinii electrice in functie de timp este:

, (17)

unde: este o constanta de timp, numita timp caracteristic de incarcare, care depinde de densitatea ionilor negativi si de mobilitatea acestora: , unde μ si reprezinta mobilitatea, respectiv densitatea ionilor negativi.

Utilizand relatia 16 pentru determinarea sarcinii electrice limita, in Figura 10 este prezentata incarcarea cu sarcina a particulelor pentru diverse valori ale timpului . Se poate observa ca, pentru o particula caracterizata de un timp specific de incarcare ms, sarcina acumulata dupa un interval de timp ms este de aproximativ 10% din valoarea (sarcina care ar fi acumulata intr-un interval de timp foarte mare, identica cu sarcina limita ), in timp ce pentru o particula cu ms, sarcina acumulata va fi de 90% din valoarea .

Figura 10. Evolutia procesului de incarcare cu sarcina electrica a particulelor in timp pentru valorile timpului caracteristic de incarcare de 1, 10 si 100 ms, utilizand relatia Cochet.

2.2. Incarcarea prin difuzie

Mecanismul de incarcare prin difuzie se refera la sarcina acumulata de particule chiar daca, campul electric aplicat este foarte mic sau chiar nul, si chiar daca diametrele particulelor sunt extrem de mici (echivalent a catorva parcursuri libere medii a ionilor in aer). Acest mecanism depinde de probabilitatea de ciocnire intre particule si ionii animati de o miscare aleatoare sau de energia lor cinetica termica (miscarea Browniana).

In absenta campului electric, distributia de ioni este uniforma imprejurul particulelor si fiecare element de suprafata are o probabilitate de ciocnire egala. Prin incarcarea prin difuzie, cantitatea de sarcina acumulata depinde de diametrele particulelor, de densitatea ionica, de viteza termica medie a ionilor, de constanta dielectrica a particulelor, de timpul prezentei particulelor in camp.

White [1] propune o lege de incarcare a particulelor prin difuzie, in functie de viteza de agitatie termica si de concentratia ionilor, dar si de temperatura mediului considerat. Teoria cinetica a gazelor arata faptul ca, densitatea unui gaz considerat intr-un camp potential (de exemplu intr-un camp electric dat de o diferenta de potential) nu este uniforma si este descrisa de urmatoarea relatie:

, (18)

unde: ΔV reprezinta diferenta de potential, k este constanta lui Boltzman si T este temperatura.

In cazul in care o particula se afla intr-un gaz ionizat, considerand sarcina electrica de incarcare a particulei ca fiind , energia potentiala a unui ion aflat la distanta r fata de particula se exprima prin urmatoarea relatie:

, (19)

care este energia necesara pentru a aduce ionul respectiv de la infinit (unde potentialul este considerat nul), pana la punctul aflat la distanta r de particula.

Densitatea ionilor la suprafata particulei considerate poate fi scrisa astfel [1]:

, (20)

unde: reprezinta densitatea ionilor prezenti in gaz.

Conform teoriei cinetice a gazelor, numarul ionilor care ciocnesc suprafata particulei, este dat de relatia [1]:

, (21)

unde: v este viteza medie a ionilor.

Daca se considera ca toti ionii care ciocnesc suprafata particulei sunt captati, din relatiile 20 si 21, prin integrare, se obtine urmatoarea expresie a sarcinii acumulate de o particula [1]:

, (22)

unde, timpul caracteristic de incarcare τ este dat de relatia:

. (23)

Liu & Pui [34] au propus o alta formulare pentru descrierea vitezei de incarcare cu sarcina electrica prin difuzie a unei particule. Autorii sugereaza ca distributia ionilor in jurul unei particule nu respecta distributia Boltzman, ci provin din fluxul de ioni j care se deplaseaza catre aceasta:

, (24)

unde D este coeficientul de difuzie.

Exprimand coeficientul de difuzie cu relatia lui Einstein , , fluxul de ioni j poate fi scris astfel:

. (25)

In regim stationar, fluxul de ioni j este constant si independent de punctul considerat (de r). Punand conditia la limita cand (concentratia ionilor la o distanta suficient de mare de particula poate fi considerata ca nefiind influentata de prezenta particulei), se obtine urmatoarea expresie pentru calculul lui :

. (26)

Autorii utilizeaza o expresie a potentialului electric considerand forta lui Coulomb si forta data de imaginea electrica a ionului pe suprafata particulei:

. (27)

Cu expresia concentratiei de ioni si cea a potentialului electric cunoscute, calculele se desfasoara in continuare la fel ca in cazul teoriei lui White [1]. Compararea rezultatelor obtinute prin cele doua metode, conduce la concluzia ca, pentru particule fine ( μm), diferenta intre rezultatele teoretice si masuratorile experimentale sunt aproximativ aceleasi pentru teoria lui White si pentru cea elaborata de Liu & Pui. Pentru particule de dimensiuni mai mari ( μm), cea de-a doua teorie prezinta un acord mai bun intre rezultatele teoretice si cele experimentale.

2. Modele de incarcare cu sarcina a particulelor care considera simultan mecanismele de incarcare prin camp si prin difuzie

Hewit [35] arata ca in prezenta unui camp electric intens, pentru particule ale caror diametre sunt superioare catorva micrometri, mecanismul de incarcare prin camp electric este dominant.

Pentru particule cu dimensiuni mai reduse 0,15 μm, pentru care se presupune ca incarcarea prin difuzie este dominanta, se observa cum prezenta campului electric influenteaza procesul de ionizare (Figura 11). Hewit sugereaza combinarea celor doua mecanisme de incarcare, pentru a considera efectul combinat al acestora. Desi modelele prezentate anterior presupun ca incarcarea prin camp este independenta de cea prin difuzie si ca acestea sunt superpozabile, in realitate exista anumite dependente intre acestea doua.

2.1. Modelul Smith - McDonald

Datorita concentratiei de ioni care nu este decat de 10² - 10³ ori mai mare decat cea a particulelor, si datorita efectului de ecran in vecinatatea particulelor incarcate cu sarcina electrica, teoriile macroscopice bazate pe conceptul de difuzie datorata existentei unui gradient de concentratie, nu mai pot fi aplicate. Este posibil ca viteza de incarcare cu sarcina electrica a unei particule sa poata fi calculata utilizand teoria cinetico - moleculara a gazelor, tinand cont de probabilitatea de ciocnire dintre ioni si particule. Mecanismul de baza este atribuit fenomenului de agitatie termica. Prezenta campului electric este considerata ca o perturbare a procesului de ionizare a particulelor datorat agitatiei termice.

Prezenta campului electric poate influenta incarcarea cu sarcina electrica in doua moduri:

Figura 11. Contributia relativa a mecanismelor de incarcare a particulelor mici prin camp si prin difuzie; N₀ t ~ 10 ⁷ sec/cm

un ion poate primi energie cinetica, fiind accelerat de campul electric, energie care ii va permite acestuia sa invinga fortele de respingere datorate sarcinii electrice a particulelor;

distributia ionilor in jurul unei particule considerate, poate fi modificata de actiunile campului electric.

In realitate, energia cinetica a unui ion datorata agitatiei termice este superioara energiei cinetice pe care aceasta o poate primi de la campul electric. Experientele arata insa ca, viteza de incarcare cu sarcina electrica a unei particule creste considerabil atunci cand se aplica un camp electric exterior.

Fie o particula de forma sferica; va fi considerat numai campul electric exterior, presupus uniform, si campul electric produs de sarcina cu care particula este incarcata. Daca densitatea sarcinii electrice aflate intr-o regiune departata de sfera este uniforma, componenta radiala a campului electric intr-un punct apropiat de particula se poate scrie astfel:

, (28)

unde: este componenta radiala a campului electric in punctul de coordonate , campul electric aplicat din exterior.

Viteza de colectare a ionilor pe suprafata particulei este data de relatia:

, (29)

unde P reprezinta probabilitatea ca un ion ce se deplaseaza pe o anumita directie sa fie captat de particula si are expresia 18. Tinand cont de relatia 18 si exprimand sectiunea unei particule de raza a se obtine astfel expresia vitezei de colectare a ionilor pentru intreaga suprafata a particulei:

. (30)

Integrarea relatiei 30 este similara cu a aceleia data de White pentru incarcarea cu sarcina prin difuzie, considerand potentialul ΔV ca fiind egal cu , unde n este numarul de sarcini elementare deja acumulate. In aceasta situatie, campul electric exterior influenteaza procesul de incarcare cu sarcina electrica a particulei. In realitate, cum ciocnirile cu moleculele neutre de gaz duc la scaderea energiei cinetice a ionilor, un minim de energie trebuie transmis acestora pentru a fi adusi dintr-un punct din spatiu, definit de r = r', la suprafata particulei. De acest lucru se tine seama in urmatoarea relatie a potentialului electric:

, (31)

unde: este forta cu care campul electric actioneaza asupra ionilor pentru a-i deplasa pana la suprafata particulei.

Aceasta expresie trebuie aplicata pentru toata suprafata particulei. Exista o distanta radiala r'(θ), fata de particula, unde densitatea ionilor nu mai este perturbata de prezenta particulei (a sarcinii electrice existente pe suprafata particulei). Daca alegem punctul in care componenta radiala a campului electric este nula , relatia 30 nu se va putea aplica sub aceasta forma decat pentru regiunea II din Figura 12..

In regiunea I, si argumentul exponentialei (30) devine pozitiv, ceea ce inseamna, din punct de vedere energetic, ca probabilitatea ca ionul sa ajunga pe suprafata particulei este 1.

In regiunea III nu putem vorbi de un punct in care componenta radiala a campului electric sa fie nula; aceasta regiune reprezinta "partea intunecata"a particulei, in care campul generat de incarcarea particulei are aceasi directie ca si campul exterior.

In consecinta, viteza totala de incarcare cu sarcina electrica este obtinuta prin evaluarea vitezei de incarcare pentru fiecare regiune a suprafetei particulei:

. (32)

Rezolvarea ecuatiei 30 pentru studiul variatiei sarcinii electrice in functie de timp, revine la a considera dinamica acesteia ca o succesiune de stari stabile.

In regiunea I, ecuatia 30 conduce la obtinerea unor viteze de incarcare cu sarcina prea mari pentru a putea fi aproximata ca o succesiune de stari stabile, deoarece numarul ionilor ce pot ajunge pe suprafata sferei este limitat. De fapt, viteza de incarcare este limitata de viteza cu care ionii sunt adusi la suprafata particulei sub actiunea campului electric exterior. Aceasta viteza poate fi exprimata prin produsul dintre densitatea curentului electric si suprafata regiunii I:

. (33)

	Regiunea III

Figura 12. Definirea diferitelor regiuni ale suprafetei particulei supuse unor regimuri de incarcare diferite.

Aceasta ecuatie este de fapt, cea formulata de Pauthenier, care, explicitand intensitatea campului electric cu ajutorul legii lui Coulomb, poate fi scrisa in felul urmator:

, (34)

unde: si de unde se poate calcula valoarea unghiului θ₀ (Figura 11):

. (35)

In regiunea II, sarcina electrica este captata de particula datorita fenomenului de difuzie, la care isi aduce contributia si campul electric. Pentru aceasta regiune se pot aplica relatiile 29 si 30, viteza de incarcare avand urmatoarea relatie:

, (36)

care, exprimand aria suprafetei II in functie de a si θ devine:

. (37)

Pentru fiecare valoare a sarcinii electrice acumulate de particula , valoarea unghiului θ₀ este calculata utilizand relatia 34. Distanta r₀ este data de conditia .

In regiunea III, campul electric dat de sarcina electrica care incarca particula considerata si campul electric exterior au acelasi sens, motiv pentru care aici nu exista nici un punct de coordonata r₀ in care campul electric total sa fie nul. Astfel, ecuatiile 29 si 30 conduc la concluzia ca, in regiunea III a suprafetei particulei, nu va fi captat nici un ion. Din punct de vedere fizic, acest lucru se explica prin faptul ca ionii, care se misca pe directiile liniilor de camp, sunt respinsi departe de particula. In realitate, aplicarea unui camp electric exterior conduce la variatii ale densitatii ionilor, lucru care poate explica fenomenul de difuzie (descris in teoria lui White).

In concluzie, modelul Smith - McDonald descrie modul de incarcare cu sarcina electrica a unei particule in functie de marimea sa si de conditiile electrice locale. Ecuatia ce descrie procesul de incarcare este obtinuta utilizand conceptele teoriei
cinetico-moleculare a gazelor. Viteza de incarcare cu sarcina electrica a unei particule este determinata utilizand probabilitatea de ciocnire dintre particula considerata si ionii prezenti in jurul acesteia. Modelul considera simultan atat ionizarea particulelor, datorita prezentei unui camp electric exterior, cat si mecanismul de incarcare prin difuzie.

2.2. Modelul Lawless - Altman

Lawless & Altman [26] dezvolta o teorie care descrie incarcarea cu sarcina electrica a particulelor, evidentiind importanta fiecarui mecanism (prin camp si prin difuzie). Pentru simplificarea relatiilor matematice, autorii introduc numere adimensionale, cum ar fi - sarcina electrica, campul electric E^* si timpul de expunere a particulei la fluxul de ioni t^*, date de relatiile:

. (38)

Aceasta teorie combina cele doua mecanisme , dar ele sunt tratate diferit, pentru doua regiuni de incarcare.

Pentru , unde p este un factor de multiplicare a intensitatii campului electric, legea adimensionala de incarcare, ce considera in acelasi timp incarcarea prin camp si prin difuzie, este scrisa astfel [26]:

. (39)

In relatia 39 se regaseste suma dintre sarcina acumulata datorita campului electric (relatie determinata de Pauthenier), sarcina acumulata prin difuzie pe o fractiune din suprafata particulei , dependenta de intensitatea campului electric.

Pentru , particula considerata s-a incarcat cu sarcina limita. In acest caz, numai fenomenul de difuzie poate duce la acumularea de noi sarcini, ceea ce se scrie astfel [26]:

. (40)

Fractiunea din suprafata particulei prin care aceasta poate acumula alte sarcini electrice datorita difuziei, se exprima astfel:

. (41)

Fie cazul unei particule in miscare aflata intr-un camp electric afectat de o sarcina spatiala ionica. Atata timp cat sarcina acumulata de particula ramane inferioara sarcinii limitata de camp (care depinde de intensitatea campului electric local), intervin ambele modele de incarcare prin modelul Lawless. Sarcina de saturatie se calculeaza cu ajutorul teoriei lui White, prin relatia 42 si, in general, este functie de pozitia (x,y,z) a particulelor.

In cazul in care , in procesul de incarcare a particulei intervine doar fenomenul de difuzie a ionilor. Marimea sarcinii este caracterizata in acest caz de a doua ecuatie (43).

(42)

, (43)

unde: este sarcina elementara, este constanta lui Boltzman, este mobilitatea ionilor negativi in aer,

este permitivitatea vidului si T este temperatura. Timpul caracteristic al incarcarii este calculat plecand de la :

, (44)

Coeficientul de suprafata are expresia urmatoare:

, (45)

unde .