RÃSPUNSUL LIBER. VALORI PROPRII

RÃSPUNSUL LIBER. VALORI PROPRII

Determinare matricei modale implica rezolvarea problemelor valorilor proprii , problema asociata vibratiilor libere . Ecuatia matriceala :

rel 3.1

este constituita dintr-un numar de ecuatii diferentiale omogene egal cu numarul gradelor de libertate .

Ceea ce intereseaza in mod special este cazul in care componentele sistemului executa miscari sincrone . Ca urmare a solutiilor ecuatiilor cuprinse in relatia3.1 sunt de forma :

rel 3.2

Vectorul componentelor libere fiind :

rel 3.3

unde reprezinta amplitudinile fiecarei vibratii iar A este vectorul acestor amplitudini .

Prin inlocuirea vectorului din relatia 3.3 in ecuatia relatiei 3.1 se obtine:

rel 3.4 .

Tinand cont ca , valoarea ,ecuatia matriceala relatiei 3.4 poate fi impartita cu aceasta rezultand un nou sistem de ecuatii in care necunoscutele sunt reprezentate de amplitudinile :

rel 3.5

Asa cum este cunoscut din algebra , pentru ca sistemul relatiei 3.5 sa admita solutii diferite de cea banala , este necesar ca determinantul sistemului sa fie egal cu zero .

In fapt din relatia 3.5 rezulta :

rel 3.6

ceea ce determina aparitia unei noi ecuatii care , prin rezolvare conduce la aflarea pulsatiilor proprii ale sistemului cu mai multe grade de libertate .

Ca urmare , aceasta ecuatie mai este intalnita in literatura de specialitate si sub denumirea de ecuatia pulsatiilor proprii

Asociat fiecarei frecvente exista cate un vector i care contine amplitudinile de vibratie ale fiecarei coordonate generalizate corespunzatoare acelei pulsatii .

Vectorii rezulta ca solutii ale problemelor de valori proprii de forma :

rel 3.7

Pe baza acestuia se pot scrie pentru fiecare pulsatie , proprie , relatii de legatura intre amplitudinile coordonatelor generalizate .Ca urmare , cunoscand pulsatiile proprii precum si amplitudinile raspunsul liber al sistemului cu mai multe grade de libertate liniar invariant in timp este :

rel 3.8

Relatia 3.8 se poate rescrie punandu-se in evidenta vectorii modali :

.

rel 3.9

Asa cum s-a mai specificat un mod propriu de vibratie este diferit de vectorul propriu Aq si pulsatia proprie ωng , vectorii modali putand fi scrisi pe baza relatiei

si sub forma : rel 3.10

Tinand cont de modul de scriere a relatiei 3.10 al vectorilor modali , raaspunsul liber al relatiei 3.9 sistemului cu mai multe grade de libertate este :

rel 3.11

Unde :

rel 3.12

Este matricea modala a sistemului cu mai multe grade de libertate in timp ce

rel 3.13

Reprezentand vectorul coordonatelor principale .

Ca si in cazul sistemelor cu doua grade de libertate sistemele cu mai multe grade de libertate reprezinta proprietatea de ortogonalitate a vectorilor proprii , demonstrarea acesteia fiind identica cu cea prezentata in cazul sistemelor cu doua grade de libertate .

Iesirile sistemelor cu mai multe grade de libertate pot fi decuplate in mod asemanator celor cu doua grade de libertate , acestea comportandu-se ca m sisteme monovariabile independente ale caror pulsatii proprii pot fi determinate pe baza relatiei :

rel 3.14

3.1 Solutia problemei valorilor proprii prin metoda puterii

Pornind de la ecuatia matriceala de miscare din relatia 3.1 si considerand raspunsul sistemului din relatia 3.3 prin inlocuirea solutiei se obtine o noua relatie matriceala :

rel 3.15

Relatia matriceala reprezinta asa numita problema de valori proprii .

Un vector arbitrar Z poate fi exprimat ca o combinatie liniara a vectorilor proprii de forma :

rel 3.16

Relatia 3.16 poate fi inmultita , la stanga cu matricea D si rezulta un nou vector :

rel 3.17

Avand in vedere relatiile 3.16 si 3.17 un nou vector Z este :

rel 3.18

Astfel incat , in forma generala se obtine:

rel 3.19

Asa cum este cunoscut , operatia de impartire a doi vectori nu are sens ,insa impartind componentele vectorilor si calculand limita acestor rapoarte se obtine frecventa fundamentala :

rel 3.20

Marirea rapiditatii convergentei poate fi facuta cu ajutorul coeficientului Rayleigh care se defineste sub forma :

rel 3.21

3. 2 Vibratii libere cu amortizare

Ca o varianta de studiu poate fi folosita metoda ecuatiilor de stare pentru sisteme multivariabile care permite simularea numerica problemelor de vibratii si pentru sistemele amortizate .

Miscarea unui sistem liber multivariabil amortizat avand q grade de libertate este descrisa de ;

rel 3.22

Care matricele M,C si K sunt matrice simetrice nesingulare de tipul .

Inmultind ecuatia matriceala din relatia 3.22 cu matricea se obtine:

rel 3.23

Pentru analiza starii se alege drept vector de stare :

rel 3.24

obtinandu-se :

rel 3.25

In care ;

rel 3.26

Unde I este matricea unitate de tip (q,q) iar 0 este matricea nula de tipul (q,q) matricea fiind matricea de evolutie .

Determinare valorilor proprii pe baza matricei de evolutie

Ecuatia matriceala din relatia 3.25 admita ca solutie pe :

rel 3.27

Care substituita in ecuatie conduce la o forma de tipul :

rel 3.28

Relatie ce defineste forma standard a problemei valorilor proprii .

Tinand cont de relatia 3.11ecuatia de miscare din relatia 3.22 poate fi scrisa sub forma :

rel 3.29

Care inmultita cu , la stanga conduce la relatia :

rel 3.30

Unde Md Cd , Kd sunt matrice diagonale astfel incat ecuatia matriceala este echivalenta cu un sistem de q ecuatii diferentiale :

rel 3.31

Tinand cont de relatia:

rel 3.32

Rezulta faptul ca relatia : poate fi rescrisa dupa cum urmeaza :

rel 3.33

Pe baza relatiei 3.33 se pot determina:

rel 3.34

Unde reprezinta pusatia proprie a modului l iar este factorul de amortizare corespunzator modului i de vibratie .

Raspunsul sistemului in cazul vibratiilor fortate fara amortizare

In cadrul subcapitolelor anterioare s-a prezentat modul de determinare al raspunsului fortat pentru sisteme cu doua grade de libertate neamortizat . Consideratiile facute raman valabile si pentru sistemele multivariabile cu specificatia ca raspunsul va fi de forma :

rel 3.35

In timp ce vectorul fortelor exterioare de excitatie va fi :

rel 3.36

Ca urmare a relatiilor 3.35 si 3.36 se obtine forma matriceala :

rel 3.37

Din care se poate determina solutia multipla :

rel 3.38

Aplicandu - se transformata Laplace ecuatiilor de miscare scrise sub forma matriceala se pot determina in mod identic cu cazul sistemului cu doua grade de libertate , matricea rigiditatilor dinamice si matricea cedarilor .

Raspunsul sistemului in cazul vibratiilor fortate cu amortizare

In cazul sistemelor multivariabile amortizate ,ecuatia de miscare este de forma :

rel 3.39

In care M,C si K sunt matricele de inertie , de amortizare respective de rigiditate matrice simetrice nesingulare .

Rezolvarea ecuatiei matriceale este dificila daca vectorul excitatiilor este de o forma oarecare .

Pentru un set de excitatii de forma :

rel 3.40

Cu o pulsatie ω solutia este foarte complicata raspunsurile fiind totusi armonice cu pulsatia ω de tipul :

rel 3.41

Ca urmare o cale mult mai simpla o constituie folosirea ecuatiilor de stare . Plecand de la ecuatia matriceala din relatia 3.39 , prin inmultirea la stanga cu matricea rezulta :

rel 3.42

Conform celor aratate in capitolele anterioare se poate alege drept stare vectorul de faza :

rel 3.43

Cu ajutorul caruia pe baza relatiei 3.42 rezulta :

rel 3.44