Tensorii tensiunii si deformatiilor infinitezimale

TENSORII TENSIUNII SI deformaTiilor infinitezimale

Deoarece pentru a se stabili conditiile de aparitie a diferitelor ruperi în structuri este necesara cunoasterea câmpurilor de tensiuni si deformatii în diferite zone ale structurii, pentru început, în acest capitol, se va face o prezentare succinta a principalelor elemente ce permit estimarea valorilor acestor câmpuri.

1 Tensori de ordinul doi

Fie V un spatiu vectorial.

Atunci o functie liniara T definita pe V cu valori în V se numeste tensor de ordinul al doilea

T:V V                                                           (1)

Daca valoarea functiei T pentru vectorul V este vectorul V atunci

= T () = T (2)

Proprietatea de liniaritate a tensorului se exprima prin relatia:

T a + b ) = a T + b T         (3)

pentru , V si a b

Multimea tensorilor de ordinul doi se noteaza cu L.

D. Se numeste produs tensorial sau diadic a doi vectori si din V si se noteaza cu L sau L, tensorul de ordinul al doilea definit prin relatia:

( ) = ( ) , V, (4)

unde ( ) reprezinta produsul scalar al vectorilor si

D. Un sistem de p vectori , … _p V se numeste liniar independent daca relatia:

a₁ + a₂ + … a_p = ō, (5)

unde a₁ a₂ a_p , nu poate avea loc decât daca a₁ a₂ a_p =0 În caz contrar sistemul de p vectori se numeste liniar dependent

D. Într-un spatiu vectorial n - dimensional orice sistem liniar independent de n vectori se numeste baza.

D. O baza a spatiului vectorial V_n se numeste ortonormata daca vectorii bazei sunt doi câte doi ortogonali si de marime unitara, adica:

= δ _km, (6)

unde δ _km sunt simbolurile lui Kronecker_.

δ _km = 1 pentru k = m

δ _km = 0 pentru k ≠ m

T. Daca este o baza ortonormata a lui V atunci produsele tensoriale ( ) k, m = 1, 2, 3 formeaza o baza a lui L.

În continuare, conform teoremei anterioare, aratam ca orice tensor T L poate fi scris ca o combinatie liniara a tensorilor (). Întrucât T V este un vector din V el se poate scrie în mod unic ca o combinatie liniara a vectorilor unei baze din V de exemplu,

T = T _km                              (7)

Atunci în baza relatiilor (8-10)

= δ _km (8)

() = ( ), V    (9)

(+) = ( + ) (10)

avem pentru V urmatoarea ecuatie

(T - T _km ) = T - T _km ) u_s = (T _ks - T _km δ _ms ) u_s = ō (11)

Relatia (11) fiind valabila pentru V rezulta ca: T - T _km = ō si în plus se obtine tocmai relatia ce dovedeste ca T poate fi scris ca o combinatie liniara de vectorii bazei () din L si anume (12)

T = T _km (12)

Marimile T _km se numesc componentele tensorului T în baza .

Ultima relatie se poate scrie dezvoltat.

T T₁₁ + T₁₂ + T₁₃ +

+ T₂₁ + T₂₂ + T₂₃ + (13)

+ T₃₁ + T₃₂ + T₃₃

Componentele tensorului T în baza se pot de asemenea dispune într-o matrice patratica de ordinul 3.

T = T _km =                                (14)

O clasa importanta de tensori de ordinul doi o reprezinta tensorii simetrici, ale caror componente respecta aceleasi reguli ca si în cazul matricilor simetrice si anume:

T = T^T = = (15)

D. Urma unui tensor este o aplicatie liniara definita pe L →

tr : L →

tr () = , , V (16)

Daca [ē_k ] este o baza ortonormata atunci conform (16) avem

tr () = δ _km                                                      (17)

Prin urmare tr T = tr( T _km ) = T _km tr () = T _km δ _km =

= T_mm = T₁₁ + T₂₂ + T₃₃ (Regula lui Einstein)

Regula lui Einstein prevede ca atunci când doi indici dintr-un monom se repeta, se va face sumarea termenilor obtinuti dând indicilor toate valorile posibile,de exemplu,în cazul anterior m=1,2,3

D. Un numar , C se numeste valoare proprie a tensorului T L daca exista un vector nenul V numit vector propriu a.î.

T = (18)

Observatii O valoare proprie se mai numeste valoare caracteristica sau principala. Un vector propriu de marime unitara se numeste directie principala.

T - = ō (T - 1) = ō,

relatie vectoriala ce se poate scrie pe componente astfel

(T _km - δ _km) u_m = o (19)

Acest sistem (19) de trei ecuatii liniare si omogene admite o solutie nebanala l satisface ecuatia algebrica de gradul 3(ecuatia caracteristica), obtinuta în urma dezvoltarii determinantului urmator:

Det T _km - δ _km = =

= ( T₁₁ - ) - T₁₂ + T₁₃ =

= (T₁₁ - ) [(T₂₂ - ) (T₃₃ - ) – T₂₃ T₃₂] – T₁₂ [ T₂₁ (T₃₃ - ) - T₂₃T₃₁] +

+ T₁₃ [T₂₁T₃₂ – (T₂₂ - )T₃₁ =

= (T₁₁ - ) [ (T₂₂T₃₃ - T₃₃ - T₂₂ + ²) – T₂₃T₃₂ ] – T₁₂ [T₂₁T₃₃ - T₂₁ - T₂₃T₃₁] + T₁₃ [T₂₁T₃₂ – T₂₂T₃₁ + T₃₁] =

= T₁₁T₂₂T₃₃ – T₁₁T₃₃ - T₁₁T₂₂ + ²T₁₁ - T₂₂T₃₃ + ²T₃₃ + ²T₂₂ - ³ – T₁₁T₂₃T₃₂ + T₂₃T₃₂ – T₁₂T₂₁T₃₃ + T₁₂T₂₁ + T₁₂T₂₃T₃₁ + T₁₃T₂₁T₃₂ – T₁₃T₂₂T_{31 +} T₁₃T₃₁ =

= - ³ + ² (T₁₁ + T₂₂ + T₃₃) - (T₁₁T₃₃ + T₁₁T₂₂ + T₂₂T₃₃ + T₂₃T₃₂ + T₁₂T₂₁ + T₁₃T₃₁) + T₁₁T₂₂T₃₃ + T₁₃T₂₁T₃₂ – T₁₁T₂₃T₃₂ – T₁₂T₂₁T₃₃ + T₁₂T₂₃T₃₁=0

Ecuatie ce se poate rescrie sub forma:

³ - I_T ² + II_T - III_T = 0 (20)

unde

I_T = T₁₁ + T₂₂ + T₃₃ = tr T (21)

II_T = + + (22)

III_T = det T = (23)

I_T, II_T, III_T se numesc invariantii lui T, deoarece cele trei valori principale ale unui tensor simetric T si anume(₁,₂,₃) nu depind de alegerea bazei din V si prin urmare coeficientii ecuatiei cubice în (20) vor fi de asemenea invarianti fata de schimbarea bazei în V

T. (Teorema de descompunere spectrala)

Daca T este un tensor simetric (T = T^T ) din L atunci exista o baza ortonormata a lui V si trei valori proprii (nu neaparat distincte) ₁ , ₂, ₃, ale lui T a.î.

T = _k k = 1, 2, 3. (fara sumare)

T = ₁ + ₂ + ₃ (24)

T =

Din ecuatia caracteristica cu ajutorul relatiilor lui Viète rezulta, tinând seama de (24), urmatoarele expresii pentru invarianti

I_T = + +

II_T = + + (25)

III_T =

2 Tensorul tensiunii

Fie un corp C asupra caruia actioneaza forta exterioara f. Pe lânga forta exterioara exista interactiuni între diferite parti ale corpului C, care sunt o consecinta a fortelor interatomice ce actioneaza în corpul C. Pentru a descrie aceste forte interne, Cauchy a presupus ca interactiunea dintre doua parti ale corpului ce au o frontiera comuna este echivalenta cu o distributie continua de forte de suprafata pe aceasta frontiera, care au aceeasi natura cu fortele externe de suprafata si care depind numai si de normala la frontiera, . Aceste forte, raportate la unitatea de arie, se numesc vectori ai tensiunii si sunt reprezentate prin simbolul . Vectorul tensiunii depinde prin ipoteza numai de si de directia normalei la suprafata de separare pe care actioneaza.

Tensorul T () L este tensorul tensiunii a lui Cauchy daca transforma un versor în vectorul tensiunii (,) ce actioneaza în punctul pe o suprafata a carei normala în are versorul .

Semnificatia fizica a lui T reiese din relatia:

(,) = T () (26)

Daca tensorul T L este tensorul lui Cauchy al tensiunii T = T () atunci componentele diagonale se numesc tensiuni normale, iar cele nediagonale se numesc tensiuni tangentiale.

Tensiunile normale pozitive corespund unei întinderi, iar tensiunile normale negative unei compresiuni pe când semnul atribuit tensiunilor tangentiale nu are o semnificatie intrinseca.

Întrucât tensorul Cauchy T este simetric, ceea ce reiese din ecuatia de bilant a momentului cinetic, el admite conform teoremei de descompunere spectrala trei valori proprii reale distincte sau egale.

În cele ce urmeaza denumim aceste valori proprii tensiuni principale si le notam , , iar cu , , notam trei directii principale ale lui T care formeaza o baza ortonormata în punctul considerat.

T = + + (27)

de unde se vede ca în baza tensiunile tangentiale sunt nule iar matricea componentelor tensorului tensiunii are forma diagonala.

T =

Deci (,) = T (x) = T (x) =

= () + () + () =

= (n₁ + n₂ + n₃ )

+ (n₁ + n₂ + n₃ )

+ (n₁ + n₂ + n₃ )

= n₁ + n₂ + n₃

unde n₁, n₂, n₃ sunt componentele lui în baza , deci în particular

(, ) = = + + (28)

ceea ce arata ca pe elementele de suprafata normale pe o directie principala vectorul tensiunii este dirijat dupa acea directie principala.

3. Tensiuni tangentiale extreme