Tensiuni normale. Tensiuni tangentiale. Dualitatea tensiunilor tangentiale

Tensiuni normale. Tensiuni tangentiale. Dualitatea tensiunilor tangentiale

Ca urmare a cresterii sarcinilor exterioare, eforturile din interiorul corpului, fiecare din ele raspandite pe sectiunea de calcul, nu mai au capacitatea sa se opuna, astfel ca materialul corpului incepe sa se rupa in zona cea mai solicitata din sectiune. In consecinta, este interesant de vazut modul de repartizare a eforturilor R_F, R_M pe sectiune.

Se considera pe fata pozitiva de arie A a unei sectiuni fictive in jurul unui punct M o arie elementara dA, fig. (III.1), pe care este repartizat efortul elementar dR_F rezultat ca urmare a discretizarii eforturilor R_F si R_M. Se defineste tensiunea medie ca raportul:

(III.1)

Fig. III.1 Tensiunea medie p_{x med}

Deoarece mediul este considerat continuu, la limita obtinem tensiunea p_x in punctul M; prin x se indica orientarea suprafetei pe care se calculeaza tensiunea:

[MPa] (III.2)

Tensiunea p_x reflecta distributia punctuala a efortului sectional de pe suprafata de orientare x. Tensiunea dintr-un punct pentru o suprafata de orientare data este redata matematic printr-un vector; tensiunea din jurul unui punct este redata matematic printr-un tensor. Sistemul de axe se modifica odata cu orientarea suprafetei.

Daca in loc de ipoteza mediului continuu, studiul s-ar face prin prisma structurii atomice discontinue a solidului, tensiunea p va exprima variatia fortelor intermoleculare aferente unui punct la solicitarea corpului. Fiind dependenta de orientarea suprafetei, tensiunea din jurul unui punct este redata printr-un model matematic numit tensor.

Tensiunea dintr-o sectiune este definita prin doi indici: primul arata directia versorului normalei la suprafata sectiunii, al doilea indice reprezinta directia tensiunii. Daca este trecut un singur indice, acesta arata directia normalei la suprafata.

Tensiunea p_x dintr-un punct M situat intr-un plan, ce admite ca normala axa x, poate fi descompusa dupa normala si dupa cele doua axe din planul sectional, fig. (III.2 b). Proiectia tensiunii p_x dupa normala reprezinta tensiunea normala s_x (sigma), componentele din planul sectiunii numindu-se tensiuni tangentiale t (tau), notate t_xz t_xy. Tensiunile sunt insotite de indici conform explicatiilor date anterior.

Din descompunerea tensiunii p_x (diagonala paralelipipedului) in tensiunile componente, se poate scrie relatia:

(III.3)

Fig. III.2 Proiectia tensiunii p_x

Daca in jurul punctului M se considera o sectiune cu o alta orientare, tensiunea p capata o alta valoare si o alta directie.

Ansamblul tensiunilor corespunzatoare tuturor sectiunilor trecand prin punctul M determina starea de tensiune din jurul punctului. Aceasta poate fi exprimata considerand tensiunile de pe trei plane perpendiculare. Pentru redarea acestora pe fetele vizibile ale cubului elementar se reprezinta tensiunile in varful N, fig. (III.3), omolog cu M,conform fig. (III.4).

Fig. III.3 Tensiunile din varful N al cubului elementar

din interiorul unui corp solicitat

In cadrul acestui studiu, o reflectare a ipotezei mediului continuu este evidentiata prin tensiunile tangentiale care apar simultan pe suprafete ortogonale. Pentru aceasta in sistemul de axe x, y, z se considera din punctul M     un paralelipiped elementar dx dy dz supus unei stari omogene de tensiune pe intregul volum, fig. (III.4).

Fig. III.4 Cubul elementar

Scriind ecuatia de echilibru a momentelor elementare in raport cu punctul G, se constata:

rezultantele tensiunilor normale nu creeaza moment, deoarece suportul rezultantelor trece prin G;

scriind ecuatia de momente in raport cu una din directiile sistemului ortogonal, se observa ca in echilibrul momentului orientat dupa aceasta actioneaza doar forte elementare generate de t ce sunt definite pe perechi de suprafete opuse.

Fiind o stare omogena pe intregul volum, pentru o directie data, Gy', tensiunile fiind constante pe fetele paralelipipedului elementar, se poate scrie:

(III.4)

In mod analog, scriind     si , rezulta relatiile:

(III.5)

Relatiile (III.5) exprima proprietatea de dualitate a tensiunilor tangentiale potrivit careia, fiind date doua plane normale unul pe celalalt, in interiorul unui corp, de-a lungul muchiei de intersectie a celor doua plane, componentele tensiunilor tangentiale din aceste doua plane sunt normale pe muchie, egale in modul si converg sau diverg de la muchia respectiva.