ESTIMAREA PUNCTUALǍ

Formarea unui esantion aleator dintr-o populatie, nu constituie un scop in sine. Acesta, prin valorile particulare ale variabilelor vectorului aleator trebuie sǎ serveascǎ deducerii numerice a unui parametru necunoscut (proportie, medie, variantǎ etc.) relativ la o variabilǎ statisticǎ X din populatia univers.

Asadar, situandu-ne la momentul care precede citirea in tabelul cu numerele intamplǎtoare se pune problema de a alege, dintre toate variabilele de esantionare asociate esantionului aleator de volum n, una numitǎ estimator si notatǎ cu , caracterizatǎ printr-un ansamblu de proprietǎti "dorite", care sǎ-i confere capacitatea de a furniza o bunǎ evaluare (estimatie) a parametrului necunoscut din populatia univers.

Dupǎ formularea mai riguroasǎ a conceptului de estimator si estimatie se introduce eroarea de estimare a cǎrei mǎrime constituie criteriul fundamental in baza cǎruia poate rezulta estimatorul al unui parametru . Utilizarea directǎ a acestui criteriu sau sub o formǎ echivalentǎ a condus la aparitia si dezvoltarea mai multor metode generatoare de estimatori, impunandu-se prin calitatea rezultatelor douǎ dintre ele si anume: metoda pǎtratelor minime (MPM) si metoda verosimilitǎtii maxime (MVM). In general, calitǎtile estimatorilor obtinuti prin cele douǎ metode nu diferǎ semnificativ, in sensul cǎ estimatorii obtinuti prin MVM, se caracterizeazǎ printr-o eroare de estimare minimǎ.

1. Estimator, estimatie si eroare de estimare

Definitie. Estimatorul parametrului necunoscut al unei populatii este o variabilǎ de esantionare care depinde si de parametrul , respectiv,

Pentru estimatorul unui parametru, se mai foloseste si denumirea de functie de estimatie sau statisticǎ.

O estimatie (estimatie punctualǎ) a unui parametru este valoarea numericǎ a estimatorului acestuia corespunzatoare esantionului particular .

In vederea simplificarii scrierii, atat pentru estimatorul parametrului cat si pentru o estimatie a sa, se va folosi in principal notatia sau , cu precizarile de rigoare, dacǎ va fi cazul.

Estimatorul al unui parametru , ne apare, deci, ca o functie oarecare de vectorul aleator asociat unui esantion. Problema care se pune in continuare, constǎ in a alege dintre toti estimatorii posibili, acela care sǎ posede un ansamblu de calitati considerate absolut necesare. Eroarea de estimare joacǎ un rol esential in definirea acestor criterii de alegere.

Definitie. Eroarea de estimare a unui parametru este diferenta intre estimatorul acestuia si parametrul , adica variabila aleatoare -.

Un criteriu necesar, dar nu si suficient in aprecierea calitatii estimatorului , se impune a fi speranta matematicǎ a erorii de estimare, respectiv E(-). Dacǎ aceasta este nulǎ, sau ceea ce este acelasi lucru E()=, inseamna cǎ variabila aleatoare are o distributie cu centrul in . Evident, nu este totuna, cum se distribuie aceste valori in jurul parametrului , la ce distantǎ sunt situate ele, de o parte si de alta, fatǎ de . De aceea pentru o imagine realǎ asupra calitǎtii estimatorului se impune cunoasterea mǎrimii variatiei erorii de estimatie - fatǎ de zero, sau a lui fatǎ de . Se folosesc in acest scop urmǎtoarele douǎ mǎsuri ale variatiei: momentul de ordine 2 a erorii de estimare si amplitudinea variatiei estimatorului de la , prima conducand la eroarea medie pǎtraticǎ de estimare iar a doua la eroarea limitǎ de estimare.

Definitie. Eroarea medie pǎtraticǎ de estimare este rǎdǎcina pǎtratǎ din momentul de ordinul 2 a erorii de estimare, adicǎ,

Aceastǎ mǎsurǎ poate fi folositǎ si sub formǎ relativǎ si anume,

/.

Momentul de ordin 2 a erorii de estimare poate fi descompus dupǎ cum urmeazǎ:

pentru cǎ

Deci, descompunerea preconizatǎ este urmǎtoarea:

unde

constituie o mǎsurǎ a deplasǎrii estimatiilor generate de estimatorul de la parametrul .

Definitie. Eroarea limitǎ de estimare, sub formǎ absolutǎ, are urmǎtoarea expresie de definitie,

iar sub forma relativǎ

Eroarea limitǎ sub formǎ absolutǎ, se exprimǎ ca un multiplu k, de eroarea medie pǎtraticǎ de estimare, respectiv,

sau,

dacǎ    E()=.

In aplicatiile practice, eroarea limitǎ sub formǎ relativǎ, exprimatǎ in procente, nu depǎseste 5%. Aceasta inseamna cǎ dacǎ =100, estimatiile posibile generate de cǎtre , cu o anumitǎ probabilitate , nu se vor abate de la , cu mai mult de 5 unitǎti, intr-un sens sau altul, dacǎ

Probabilitatea p si eroarea limitǎ , definesc in realitate precizia de estimare a parametrului . Fixarea apriori a acesteia, conduc la o anume dimensiune n a volumului esantionului, cu care se realizeazǎ precizia de estimare fixatǎ, in conditiile in care, printre altele, estimatorul utilizat, prin calitǎtile sale este suficient de performant.

2. Principalele tipuri calitative de estimatori

Aprecierea calitǎtii unui estimator se realizeazǎ in principal, prin urmǎtoarele douǎ caracteristici: speranta matematicǎ si varianta sa. In raport cu una sau ambele caracteristici, se deosebesc, estimatori centrati sau nedeplasati, estimatori corecti, absolut corecti, eficace etc.

Estimator centrat (nedeplasat)

Un estimator al unui parametru este centrat sau nedeplasat dacǎ si numai dacǎ E()=.

Cu un astfel de estimator, erorile de estimare (-), in medie, se compenseaza; rezultatele generate de un astfel de estimator, vor fi, in medie satisfacatoare.

Estimator asimptotic centrat (nedeplasat)

Un estimator deplasat, deci pentru care este asimptotic centrat sau nedeplasat, dacǎ In acest caz

Estimator eficace

Printre toti estimatorii nedeplasati ai unui parametru dintr-o populatie univers, estimatorul eficace este acela care are varianta cea mai mai micǎ. Aceastǎ variantǎ minimǎ este stabilitǎ prin teorema lui Rao-Cramer-Dramois-Freche.

Dupǎ teorema mentionatǎ, acest minim pentru media de esantionareeste , dacǎ Ori , de unde deducem cǎ este un estimator eficace al mediei din populatia univers.

Estimator convergent (corect)

Un estimator al unui parametru din populatia univers este convergent, dacǎ el converge in probabilitate catre acesta.

In acest caz,

.

Estimator absolut corect

Un estimator al parametrului , pentru care sunt satisfacute simultan conditiile:

E()=si

se numeste estimator absolut corect.

Estimator BLUE

Aceastǎ denumire contine initialele cuvintelor din propozitia "best linear unbiaised estimator", adica cel mai bun estimator liniar centrat.

Prin definitie, estimatorul al parametrului este numit BLUE, dacǎ sunt intrunite conditiile:

(i)          liniar, adica este o functie liniarǎ de respectiv,

(ii)        centrat, adica E()=

(iii)       de variantǎ minimǎ, printre toti estimatorii liniari, centrati a lui , adica oricare ar fi estimatorul liniar-centrat

Ratiunea introducerii unui astfel de estimator, este de a conduce la o metodǎ care sǎ permita alegerea dintre mai multi estimatori liniari posibili ai unui parametru .

ESTIMAREA PRIN INTERVAL DE INCREDERE

Estimatia punctuala a unui parametru θ, desi constituie o informatie in legatura cu acesta, ea nu poate fi utilizata fara a avea o imagine si asupra marimii probabilistice a erorii de estimare. Acest mod de punere a problemei conduce la necesitatea estimarii unui parametru θ, prin interval de incredere adica construirea unei "furcute" de valori numerice permitand "pozitionarea" parametrului θ.

Demersul cuprinde doua etape:

a)      momentul t care precede formarea esantionului aleator de volum n, in care se alege estimatorul si se stabileste totodata legea sa de probabilitate, aceasta permitand construirea unui interval aleator [h((X,.,X)),h((X,.,X))] susceptibil de a contine valoarea lui θ cu o probabilitate (1-q)

b)      momentul t care urmeaza formarii esantionului, permitand determinarea numerica a limitelor h[(x,.,x)] si h[(x,.,x)] ale intervalului de incredere cautat.

Parametrul θ necunoscut, care in continuare va constitui obiectul estimarii prin interval de incredere se va concretiza in mod succesiv, prin media    a unei variabile cantitative X precum si volumul N, varianta sa , proportia p a unitatilor unei populatii, care in raport cu o variabila statistica se caracterizeaza printr-o anumita stare precum si frecventa absoluta M=N a acestora. Se vor mai considera totodata alte doua cazuri: diferenta a doua medii si diferenta a doua proportii (frecvente relative) relative la doua populatii. Ne vom limita la acesti parametrii considerand ca prin aceasta nevoile practice vor fi, in cea mai mare masura satisfacute.

Forma generala a intervalului de incredere

Pentru fixarea ideilor, se considera populatia univers A, variabila statistica X si parametrul necunoscut . Se formeaza din A esantionul aleator de volum n, caruia i se asociaza vectorul (X,X.,X), care este de asemenea aleator. Rezulta astfel estimatorul ( X,X.,X) al parametrului necunoscut θ, cu legea de probabilitate L(). Presupunand ca estimatorul considerat este o variabila aleatoare continua se va nota cu f(), densitatea sa de probabilitate , unde prin s-a notat prescurtat ( X,X.,X). Corespunzator esantionului particular (x,.,x), rezultat prin observarea statistica a esantionului de n unitati din populatia univers A, in raport cu variabila X, exista posibiltatea de a gasi doua numere particulare a(θ) si a( , astfel ca:

P[a(θ)< < a(

Dupa efectuarea unor artificii matematice, relatia poate fi adusa, in general, la o forma prin care parametrul θ sa fie izolat si deci se poate deduce un interval ale carui limite sa depinda de , respective,

P=

sau cu o notatie mai simplificata

P[h()<θ<h()]=