FLOTABILITATEA NAVEI

Aria plutirii, abscisa centrului plutirii, momentele de inertie

longitudinal si transversal ale plutirii.

Daca se considera o plutire oarecare (Fig. 17) atunci fata de sistemul de axe adoptat, aria plutirii se poare calcula cu formula:

(8.22)

unde este semilatimea plutirii la abscisa .

Din considerente de simetrie a conturului plutirii fata de axa , centrul plutirii se va gasi pe aceasta axa, deci . Abscisa centrului plutirii se calculeaza cu formula:

(8.23)

in care este momentul static al suprafetei plutirii in raport cu axa . Cum formula (8.23) se mai poate scrie:

(8.24)

Suprafata hasurata din Fig. 17 este o suprafata elementara de forma unui dreptunghi cu dimensiunile si ; . Momentul de inertie al acestei suprafete elementare in raport cu axa va fi:

(8.25)

Momentul de inertie al intregii plutiri in raport cu axa se poate scrie:

(8.26)

Rationand asemanator, momentul de inertie al suprafetei plutirii in raport cu axa se scrie:

(8.27)

Momentul de inertie al suprafetei plutirii in raport cu axa (axa paralela cu ce trece prin centrul plutirii ) se calculeaza aplicand teorema lui Steiner:

(8.28)

Utilizand relatia (8.24) se poate calcula abscisa centrului plutirii pentru plutiri succesive situate intre si planul corespunzator unui pescaj oarecare, prin urmare se poate construi prin puncte curba . Datorita unor proprietati pe care le vom prezenta in continuare, curbele si se vor reprezenta la aceeasi scara in planul de forme.

Astfel cele doua curbe pleaca din acelasi punct pentru ca daca se trece la limita in relatia (8.12) a lui gasim:

Prin aplicarea regulii lui L'Hospital se inlatura aceasta nedeterminare si obtinem ca pentru .

In afara de punctul de pornire (Fig. 19) cele doua curbe mai pot avea un punct comun sau nu. Vom demonstra ca daca cele doua curbe mai au un punct de intersectie, atunci acesta este un punct de extrem pentru (punctul din Fig.19) adica solutie a ecuatiei

. (8.29)

Sa evaluam membrul stang al relatiei (8.29):

. (8.30)

Dar de unde rezulta ca si pe de alta parte . Inlocuind in (8.30) obtinem:

(8.31)

relatie echivalenta cu:

. (8.32)

In felul acesta conditia de extrem (8.29) a functiei se reduce la:

(8.33)

ceea ce trebuia demonstrat.

Revenind la centrul de carena vom observa ca pentru orice valoare a pescajului pozitia sa este in , deplasandu-se dupa o curba situata in acest plan. Pentru a duce ecuatia acestei curbe plecam de la:

sau mai departe (8.34)

Tinand cont de relatiile (8.20) si (8.32) rezulta:

(8.35)

Cu alte cuvinte dreapta ce uneste centrul plutirii , corespunzator unui anumit pescaj, cu pozitia centrului de carena este tangenta la curba centrelor de carena in punctul respectiv (Fig. 18).

In figura 20 este prezentata curba ariilor plutirilor in doua variante: nava cu fund stelat (Fig. 20, a) si nava cu fund plat (Fig. 20, b).

Aceasta curba ne ofera informatii complete legate de volumul carenei la un anumit pescaj si distributia acestuia pe inaltime. Amintim proprietatile de baza ale acestei curbe:

1). Aria marginita de curba si axa reprezinta la scara desenului volumul carenei corespunzator pescajului considerat:

(8.36)

2). Coeficientul de finete al acestei arii este egal cu coeficientul de finete prismatic vertical al carenei, :

(8.37)

3). Ordonata centrului de greutate al ariei marginita de curba si axa este egala la scara cu cota centrului de carena :

(8.38)

8.3. Ariile sectiunilor transversale.

Curba ariilor sectiunilor transversale.

Considerand o sectiune transversala prin nava la o distanta de planul sectiunii de la mijlocul navei (Fig. 21) atunci aria imersa a acestei sectiuni se poate calcula cu formula:

(8.39)

Daca se calculeaza aceste arii pentru mai multe sectiuni transversale (cuple) sa zicem 21, distribuite de la pupa (cupla 0 contine ) la prova (cupla 20 contine , atunci se va putea reprezenta grafic prin puncte curba . Se obtine astfel curba ariilor sectiunilor transversale, care arata ca in Fig. 22.

Aceasta curba ne defineste pe deplin volumul carenei si distributia acestuia pe lungimea navei. Evidentiem urmatoarele proprietati ale acestei curbe:

1). Aria marginita de curba si axa reprezinta la scara desenului volumul carenei:

(8.40)

2). Coeficientul de finete al acestei arii este egal cu coeficientul de finete prismatic longitudinal al carenei, :

(8.41)

3). Abscisa centrului de greutate al suprafetei este egala la scara cu abscisa centrului de carena :

(8.42)

8.4. Diagrama de carene drepte.

Daca asamblam intr-o singura diagrama curbele de variatie cu pescajul navei, ale tuturor elementelor hidrostatice ale carenei despre care am vorbit mai sus, se obtine diagrama de carene drepte. Aceasta diagrama este intocmita pentru nava pe carena dreapta, fara inclinari transversale si longitudinale ; caz in care singurul parametru care defineste plutirea este pescajul de calcul . Din diagrama se obtin in functie de urmatoarele marimi: volumul carenei ; deplasamentul navei ; abscisa si cota a centrului de carena, abscisa centrului plutirii , aria plutirii ; momentele de inertie axiale ale plutirii: longitudinal si transversal , precum si coeficientii de finete . Diagrama de carene drepte mai contine de asemenea curbele de variatie cu pescajul ale razelor metacentrice: transversala si longitudinala , despre care vom vorbi in detaliu in Capitolul. III.

Modul de lucru cu diagrama de carene drepte rezulta usor daca se studiaza Fig.23 care reprezinta o varianta de 'Diagrama de carene drepte'. Astfel pentru un pescaj de calcul fixat se duce o paralela la axa absciselor intersectandu-se cu fiecare din curbele enumerate mai sus. Din punctele de intersectie se coboara perpendiculare pe abscisa citindu-se valorile acestor marimi la scara lor de reprezentare.

Razele metacentrice: transversala si longitudinala , se calculeaza cu formulele:

(8.43)

(8.44)

8.5. Formulele empirice pentru calculul unor marimi hidrostatice pe carene drepte.

Pentru estimarea rapida a unor elemente hidrostatice pe carene drepte se folosesc deseori formule empirice sau semiempirice bazate pe prelucrarea statistica a datelor existente sau pe inlocuirea curbelor reale din diagrama de carene drepte cu curbe apropiate ca forma, descrise de ecuatii analitice.

Redam mai jos cateva formule de calcul a unor marimi hidrostatice:

a) Cota centrului de carena

O astfel de formula va fi de tipul:

(8.44)

unde este un coeficient care depinde de coeficientul de finete bloc , respectiv al ariei plutirii .

formula Pozdiunin; (8.45)

formula Vlasov; (8.46)

formula Norman; (8.47)

b) Abscisa centrului de carena

formula Vlasov; (8.48)

formula Norman; (8.49)

echivalenta cu:

(8.50)

In formulele de mai sus, si sunt volumele de carena corespunzator jumatatilor prova si pupa, masurate de la jumatatea lungimii navei si coeficientii de finete prismatic longitudinal aferenti. Prin urmare:

(8.51)

(8.52)

c) Abscisa centrului plutirii

formula Vlasov; (8.53)

formula Norman; (8.54)

echivalenta cu:

(8.55)

In formulele de mai sus, si sunt ariile plutirii corespunzator jumatatilor prova si pupa, iar coeficientii de finete ai acestor arii. Asadar:

(8.56)

(8.57)

d) Razele metacentrice: transversala si longitudinala

Pentru cele doua marimi se propun formule de tipul:

(8.58)

(8.59)

Se demonstreaza foarte usor ca pentru cazul unui ponton paralelipipedic, coeficientii si sunt egali respectiv cu:

(8.60)

formula Van-der-Fleet; (8.61)

unde este un coeficient cuprins intre 11,2 si 11,9 care tine cont de forma plutirii.

formula Norman; (8.62)

formula Vlasov; (8.63)

formula Van-der-Fleet; (8.64)

formula Norman; (8.65)

formula Vlasov. (8.66)

9. Calculul practic de carene drepte. Metode numerice.

Atat in timpul proiectarii navei, cat si in decursul exploatarii ei, apare necesitatea determinarii unor caracteristici cum sunt: arii, volume, momente de inertie, momente statice, etc. prezentate mai jos:

1. Aria plutirii (vezi formula 8.22)

2. Ariile sectiunilor transversale (vezi formula 8.39)

3. Volumul carenei (vezi formulele 8.2 si 8.3)

4. Momentele statice ale volumului carenei in raport cu planele sistemului de coordonate (vezi formulele 8.8 si 8.10)

5. Momentul static al ariei plutirii (vezi formula 8.24)

6. Momentele de inertie ale suprafetei plutirii (vezi formulele 8.26 si 8.27)

Determinarea acestor marimi implica rezolvarea unor integrale de forma:

sau .

Daca functiile , respectiv ar fi cunoscute, atunci integralele si ar putea fi calculate analitic. Cum formele navei nu sunt date analitic, ele fiind definite discret, se apeleaza la integrarea numerica a integralelor si .

Principiul de integrare numerica se bazeaza pe faptul ca reprezinta aria cuprinsa intre graficul functiei , axa si dreptele si .

Valoarea aproximativa a integralei se obtine daca se divide intervalul in portiuni mai mici si apoi se insumeaza aria fiecarei fasii obtinute.

Formula generala de calcul a integralei printr-o metoda numerica este:

(9.1)

unde cu .

Daca presupunem curba de forma matematica polinom de gradul : atunci metodele de integrare numerica se pot clasifica dupa cum urmeaza:

1) metode in care intervalul se divide in parti egale avand capetele si iar problema este sa gasim coeficientii astfel incat relatia (9.1) sa exprime aria cautata (metoda trapezelor si metoda Simpson);

2) metode in care si problema consta in localizarea intervalelor din conditia de precizie maxima (metoda Cebasev);

3) metode in care problema consta atat in determinarea coeficientilor cat si in localizarea intervalelor din conditia de precizie maxima (metoda Gauss).

Metoda trapezelor

Aceasta metoda presupune ca poate inlocui curba dintre doua ordonate consecutive cu o dreapta de ecuatie (Fig. 25) si se poate aproxima aria patrulaterului curbiliniu cu aria trapezului avand valoarea:

Prin generalizare obtinem:

(9.2)

unde .

Evident cu cat este mai mare, aproximarea integralei este mai buna. Un astfel de calcul se poate efectua si tabelar ca mai jos.

Metoda Simpson

In cadrul acestei metode se pastreaza principiul de la metoda trapezelor, insa aproximarea functiei de integrat pe portiuni nu se face prin segmente de dreapta, ci prin arce de parabola de gradul doi; (Fig. 26).

Cunoscand trei puncte consecutive prin care trece parabola se pot determina coeficientii ca solutii ale sistemului

(9.3)

Calculand acesti coeficienti si efectuand apoi integrarea obtinem pentru aria valoarea:

Prin generalizare obtinem:

(9.4)

sau:

(9.5)

unde:

;

;

.

O prima observatie care rezulta este ca numarul de intervale in care se divizeaza domeniul trebuie sa fie par.

Calculul se poate realiza tabelar dupa cum urmeaza:

Tabelul 5

Metoda Cebasev

Metoda Cebasev este foarte cunoscuta in domeniul naval fiind o varianta a metodei Gauss si care se bazeaza pe principiul intervalelor inegale dispuse in interiorul unui interval centrat fata de origine .

Conform cu figura 27 , aria este egala cu valoarea numerica a integralei .

Daca presupunem ca are forma matematica a unui polinom de gradul :

(9.7)

atunci

(9.8)

unde sau dupa cum este par sau impar.

Pe de alta parte, acceptam pentru integrala de mai sus forma:

(9.9)

unde si sunt necunoscutele problemei.

Dar

(9.10)

Daca introducem (9.10) in (9.9) obtinem:

(9.11)

Comparand relatiile (9.8) si (9.11) se obtine sistemul:

(9.12)

Din prima conditie rezulta:

(9.13)

iar sunt solutiile sistemului:

(9.14)

Sa particularizam pentru cazul

si

(9.15)

Solutia acestui sistem este:

In consecinta

(9.16)

Similar se pot dezvolta formule pentru orice numar de termeni, coeficientii fiind prezentati in tabelul de mai jos.

Aplicarea metodei Cebasev presupune parcurgerea urmatorului algoritm:

- Se adopta numarul in functie de complexitatea curbei ;

- Se calculeaza abscisele cu relatia:

(9.17)

- Se extrag ;

- Se calculeaza valoarea integralei cu relatia:

(9.18)

In cazul integrarii numerice se poate apela cu succes la mijloacele automate de calcul putandu-se folosi programe specializate existente in acest scop.

10. Calculul de carene inclinate

Formulele de calcul pentru elementele hidrostatice ale carenei deduse anterior sunt valabile, asa cum am aratat in ipoteza de - nava pe carena dreapta - . In procesul de exploatare a navei insa; in marea majoritate a cazurilor, nava are o pozitie oarecare in raport cu suprafata apei, inclinata atat transversal cat si longitudinal. In cele ce urmeaza vom stabili relatii de calcul care sa permita determinarea volumului carenei si a coordonatelor centrului de carena pentru o pozitie oarecare a navei.

10.1. Diagrama Bonjean

Sa consideram o sectiune transversala oarecare prin nava ca in Fig. 28, a.

Asa cum am aratat anterior aria imersa a acestei sectiuni se calculeaza cu formula (8.39).

Aria imersa a acestei sectiuni transversale de la pana la o plutire oarecare avand pescajul se calculeaza cu formula:

(10.1)

Variatia acestei arii in functie de pescaj este prezentata in Fig. 28, b respectiv corespunzator unui pescaj oarecare , se aseaza pe orizontala un segment egal cu valoarea lui la o scara de reprezentare convenabil aleasa. In felul acesta se poate calcula pentru orice plutire , aria sectiunii transversale imerse. Deoarece in multe probleme din teoria navei intereseaza intreaga arie a sectiunii transversale (de exemplu: calculul volumului etans al corpului navei) , este necesar sa se calculeze si sa se introduca in grafic si aria marginita de curbura transversala a puntii, adica portiunea . In cele mai multe cazuri selatura puntii in sens transversal este parabolica cu sageata . Aria corespunzatoare acestei selaturi care va trebui adaugata este . Vom mai observa ca este punct de inflexiune pentru curba , iar tangenta in punctul este paralela cu axa .

La navele construite din lemn , dimensiunile de calcul ale sectiunii transversale se considera la exteriorul bordajului, in timp ce la navele metalice aceleasi dimensiuni se masoara la interiorul bordajului.

Reprezentarea grafica asamblata a variatiei ariilor sectiunilor transversale, pentru toate cuplele navei, poarta denumirea de diagrama Bonjean, de la numele inginerului francez care a propus aceasta reprezentare.

Intr-o prima varianta, pentru trasarea diagramei Bonjean se traseaza conturul corpului navei in precum si proiectia pe acest plan a liniei puntii in bord, alegandu-se scari diferite de reprezentare pentru lungimea navei si inaltimea ei, realizandu-se astfel o 'contractie' a navei pe lungime (Fig. 29).

Pe acest contur se mai traseaza cuplele pentru care s-au efectuat calculele ariilor precum si liniile suprastructurilor cum sunt duneta si teuga. Se completeaza desenul cu trasarea curbelor , precum si cu scarile de reprezentare.

Diagrama Bonjean poate fi reprezentata si intr-o alta forma (Fig. 30), inlocuind reprezentarea corespunzatoare fiecarei cuple cu o scala pe care sunt reprezentate numeric ariile imerse.

In prima varianta, pentru o plutire oarecare a gasi aria imersa a cuplei 3 inseamna a inmulti segmentul cu scara ariilor. In a doua varianta este mult mai usor sa citim pe scala ariilor la intersectia dintre si cupla 3.

Exista si o a treia modalitate de reprezentare a diagramei Bonjean (Fig. 31) trasand curbele raportate la aceeasi axa verticala, cele din jumatatea prova fiind in dreapta axei iar cele din jumatatea pupa in stanga axei, conform conventiei. O astfel de reprezentare prezinta avantajul ca ocupa mai putin spatiu dar prezinta dezavantajul necunoasterii pescajului corespunzator cuplei pentru o plutire oarecare. Acesta se va calcula cu formula

(10.2)

unde este pescajul mediu al navei sau pescajul la cuplul maestru.

Diagrama Bonjean se foloseste pentru rezolvarea unor probleme importante de teoria navei. Astfel cu ajutorul diagramei Bonjean este usor de calculat volumul carenei si coordonatele centrului de carena pentru o plutire oarecare inclinata in plan longitudinal.

Cunoscute fiind formulele:

si

si din diagrama Bonjean valorile ariilor imerse ale cuplelor ; apoi aplicand o procedura de integrare numerica, problema este rezolvata. Din considerente de simetrie, cand nava nu este inclinata transversal , centrul de carena se gaseste in deci , iar cota centrului de carena fata de linia plutirii se calculeaza cu relatia:

(10.3)

Cunoscand si se poate pozitiona exact centrul de carena cunoscand si pozitia plutirii inclinata longitudinal dupa urmatorul algoritm (Fig.32).

- se masoara de la cuplul maestru ;

- se determina punctul la intersectia verticalei dusa la cu plutirea inclinata ;

- se masoara de la punctul in jos pe verticala, valoarea si se gaseste pozitia lui .

10.2. Diagrama de asieta

Daca in diagrama Bonjean se construiesc o serie de plutiri; calculandu-se pentru fiecare volumul de carena corespunzator si abscisa centrului de carena se poate construi diagrama de asieta, foarte utila din punct de vedere practic. Un model de diagrama de asieta este prezentata in Fig. 33.

In 'diagrama de asieta' sunt prezentate curbele si Intrandu-se cu pescajele si masurate la scarile de pescaj, se determina pozitia punctului de pe diagrama si prin interpolare vom obtine volumul carenei si abscisa centrului de carena corespunzatoare acestei situatii de plutire. Asadar 'diagrama de asieta' permite determinarea marimilor si oricare ar fi pescajele si cunoscute.

10.3. Calculul volumului carenei si a coordonatelor centrului de carena pentru o plutire

oarecare. Curbele integrale ale sectiunilor transversale.

Asa cum am aratat in 5, o plutire oarecare a unei nave este definita de urmatorii trei parametrii: pescajul mediu , inclinarea longitudinala si inclinarea transversala .

Pentru o sectiune transversala oarecare din nava, pescajul in se poate calcula cu formula:

(10.4)

unde este distanta de la sectiunea transversala la planul sectiunii de la mijlocul navei. Reamintim ca atunci cand sectiunea se gaseste in prova si cand nava este aprovata. Deasemenea urma plutirii pe aceasta sectiune va face unghiul cu

Sa consideram pentru inceput o sectiune transversala oarecare ca in Fig. 34.

Sectiunea fiind simetrica fata de axa vom nota cu - aria jumatatii de sectiune, cu - momentul static al aceleiasi suprafete in raport cu axa , respectiv cu - momentul static in raport cu axa . Formulele de calcul pentru aceste marimi sunt:

(10.5)

(10.6)

(10.7)

Reprezentarea grafica a variatiilor ; si poarta numele de 'curbele integrale ale sectiunii transversale'. Valorile acestor marimi pentru o plutire dreapta de pescaj sunt prezentate in Fig. 34, b.

Sa consideram in continuare o sectiune transversala situata la abscisa si corespunzator 'curbele integrale' (Fig. 35) si o plutire inclinata in sens transversal. Ne propunem sa gasim o modalitate de calcul a acelorasi marimi pentru portiunea imersa corespunzatoare acestei sectiuni transversale.

Plutirea inclinata intersecteaza in si conturul sectiunii transversale in punctele si ; echivalente unor plutiri drepte si pentru care se citesc din curbele integrale valorile: .

Aria imersa a sectiunii transversale se poate scrie :

Momentul static al suprafetei in raport cu axele si se exprima ca suma algebrica a momentelor suprafetelor ce o compun (pentru momentul in raport cu axa se va observa ca suprafetele din dreapta axei au momentul pozitiv si cele din stanga negativ).

Componentele ariei si ale momentelor statice in raport cu axele si se calculeaza cu formulele :

Pentru momentele statice in raport cu axa :