Stabilirea programului de productie al firmei folosind programarea matematica

Stabilirea programului de productie al firmei folosind programarea matematica

Modele matematice de programare liniara

Pentru a reprezenta o situatie, o realitate printr-un model matematic trebuie sa se cunoasca structura sau elementele prezente in aceea realitate, adica trebuie sa se cunoasca:

marimile caracteristice ale realitatii, care pot fi constante sau variabile,

relatiile de dependenta intre marimile caracteristice.

Acest tip de model se deosebeste de alte tipuri de modele matematice prin urmatoarele caracteristici:

este format numai din relatii matematice liniare, adica legaturile dintre marimile constante si cele variabile se pot exprima numai prin relatii matematice liniare,

marimile variabile pot fi doar zero sau mai mari decat zero (nenegative),

relatiile prin care descriem realitatea trebuie sa fie independente, nu le obtinem transformand o relatie in alta prin artificii matematice,

intotdeauna un model matematic de programare liniara are o anumita structura. Astfel, pentru a reprezenta o realitate printr-un astfel de model este necesar sa gasim urmatoarele tipuri de relatii:

a.      Functia obiectiv (functia scop):

MAX Z = S c_j x_j , j = 1, m

(MIN)  j

Z = functia obiectiv, care se doreste sa fie optimizata,

j = tipuri de produse,

x_j = marimi caracteristice variabile

cantitati din fiecare tip de produs, care trebuie determinate, de aceea x_j ³

c_j = marimi caracteristice constante

profit unitar, pret unitar, cost unitar

b. Sistemul de restrictii:

S a_ij x_j ³ b_i , i = 1, n

j

=

a_ij = constante

norme de timp, pentru fiecare operatie i la produsul j, norme de consum de materiale,

b_i = constante

fond de timp disponibil pe utilaje, restrictii de piata (contracte existente)

c. Conditii asupra variabilelor (conditii de nenegativitate):

x_j ³ j = 1, m

Modelele la care sistemul de restrictii este sub forma de ecuatii sunt denumite modele in forma standard, iar modelele la care sistemul de restrictii este format din inecuatii sunt denumite modele in forma canonica.

De retinut! Pentru rezolvare modelul trebuie sa fie in forma standard, adica sistemul de restrictii sa fie sub forma de ecuatii.

A rezolva un model matematic de programare liniara inseamna a gasi valori ale variabilei x care sunt nenegative, care satisfac sistemul de restrictii si care optimizeaza variabila Z.

Rezolvarea acestui tip de problema necesita un algoritm special - ALGORITMUL SIMPLEX, dar pentru probleme de mici dimensiuni, doua sau cel mult trei variabile x, rezolvarea se poate face si GRAFIC.

Rezolvarea GRAFICA a unui model matematic de programare liniara presupune ca:

- intr-un sistem de axe triortogonal drept sa se reprezinte sistemul de restrictii si astfel se limiteaza spatiul R x R la domeniul solutiilor posibile, apoi

- luand in considerare conditiile asupra variabilelor se limiteaza in cadrul I solutiile economic posibile si

- in final, in acest spatiu se cauta solutia optima avand in vedere reprezentarea functiei obiectiv printr-un fascicol de drepte care va intersecta conturul domeniului solutiilor economic posibile intr-un punct de optim.

Problema 1

Pentru fabricarea a doua produse P₁ si P₂ este necesar sa se execute operatii de prelucrare la trei masini M₁, M₂ si M₃. Timpii unitari de realizare a operatiilor tehnologice la fiecare din cele trei masini sunt prezentati in tabelul 1.

Tabelul 1

Fondul de timp disponibil al fiecarei masini in decurs de o luna va fi: 9 900 min pentru M₁, 8 400 min pentru M₂ si 12 000 min pentru M₃. Profitul unitar este de 10 lei/buc la produsul P₁ si de 15 lei/buc la produsul P₂.

Cate produse P₁ si P₂ trebuie realizate lunar pentru a obtine, in conditiile date, un profit total maxim?

Problema 2

Intr-o sectie se prelucreaza doua tipuri de piese din acelasi material. Cantitatile ce trebuie prelucrate lunar, conform contractelor, sunt cel putin 200, respectiv 100 de bucati.

Profitul lunar total planificat este de 12 000 lei, iar profitul unitar este de 10, respectiv 20 lei/buc.

Sa se determine cantitatile de piese ce trebuie prelucrate lunar astfel incat consumul total de metal sa fie minim, daca masa pieselor este de 150, respectiv 250 kg/buc.