ELEMENTE TOPOGRAFICE ALE TERENULUI - UNITATI DE MASURA SI MIJLOACE DE CALCUL IN TOPOGRAFIE

Continutul lucrarii: Ridicarile topografice necesare intocmirii planurilor si hartilor, constau in masurarea raportului in care se gasesc punctele topografice ce definesc o suprafata, fie cu o retea de sprijin (problema planimetrica), fie cu un plan orizontal de referinta problema nivelitica).

Concret - pe teren se masoara elementele liniare (distante orizontale si verticale ) si unghiulare (unghiuri orizontale si verticale), formate din punctele topografice si elementele de referinta. Lucrarea - are drept scop - determinarea elementelor topografice ale terenului, al raportului dintre acestea: ce reprezinta masurarea lor, care sunt unitatile de masura cu care se opereaza si care sunt mijloacele auxiliare folosite in calcule.

ELEMENTELE TOPOGRAFICE ALE TERENULUI

Clasificare

a.          Natura elementelor topografice

Consideram doua puncte topografice A si B, de pe teren, materializate sub o forma oarecare (tarusi de lemn sau metal, borne de beton etc.).

Referitor la aceste puncte distingem urmatoarele elemente topografice:

- ALINIAMENTUL A B - ce reprezinta intersectia suprafetei topografice a terenului cu un plan vertical ce trece prin punctele date.

In practica se geometrizeaza (aproximeaza) linia sinuoasa obtinuta cu o dreapta - ce reprezinta directia materializata pe teren de punctele A si B.

DISTANTA INCLINATA L_AB - reprezinta segmentul de linie delimitat

de punctele A si B pe directia amintita mai sus,

DISTANTA ORIZONTALA D_AB - reprezinta proiectia distantei inclinate pe un plan orizontal, avand ca valoare segmentul orizontal cuprins intre verticalele punctelor date:

COTELE Z_A si Z_B - ale punctelor A si B - reprezinta valoarea segmentului vertical cuprins intre nivelul de referinta si punctul respectiv,

DIFERENTA DE NIVEL DZ_AB - intre punctele date - reprezinta distanta verticala masurata intre planurile orizontale ce trec prin aceste puncte, DZ_AB = Z_B - Z_A (1.3').

b.          Relatii intre elementele topografice

Raportul in care se gasesc elementele de mai sus, rezulta din exprimarea functiilor trigonometrice ale unghiului j - numit unghi de panta (fiind unghiul format de distantele L_AB si D_AB )

DZ_AB

sin j = ------ (1.1)

L_AB

D_AB

cos j = ------ (1.2)

L_AB

DZ_AB

tg j = ------ (1.3)

D_AB

L_AB = D_AB + DZ_AB (1.4)

Cu aceste formule se pot determina elementele necunoscute in functie de cele cunoscute (masurate).

A masura elementele liniare enumerate mai sus, consta in a compara marimea lor, cu un etalon ales (unitatea de masura).

Unitati de masura pentru distante

Majoritatea tarilor folosesc ca unitate de masura pentru distante metrul (m).

Determinat in 1799 de francezul DELAMBRE si considerat initial ca fiind a 40.000.000 parte din lungimea meridianului terestru, dupa calcule mai recente a 40.000.000, 42 parte, este definit in prezent (din 1960) ca fiind egal cu 1.650.763,73 lungimi de unda ale radiatiei portocalii emisa de gazul KRYPTON 86.

Multiplii metrului sunt: 1 km = 10 hm = 100 dam = 1000 m., iar submultiplii 1m = 10 dm = 100 cm = 1000m.

Unitatile de masura ale sistemului anglo-saxon sunt date in tabelele anexa la TOPOGRAFIE GENERALA - note de curs.

SUPRAFETE TOPOGRAFICE

Suprafete reale si suprafete orizontale

Suprafata topografica (St) este suprafata reala a terenului care neavand o forma regulata nu poate fi exprimata matematic si ca atare nici reprezentata.

Din acest motiv se efectueaza o schematizare geometrica a terenului prin alegerea punctelor caracteristice. De mentionat, ca deoarece constructiile se realizeaza cu fundatiile orizontale, pe toate hartile si planurile topografice se reprezinta proiectia orizontala a suprafetei terenului (S in figura 1.2).

Unitati de masura pentru suprafete

Derivata din sistemul metric, unitatea de masura pentru suprafete este metrul patrat (m) cu multiplii si submultiplii:

1 km = 100 ha, 1 ha = 100 ari = 10.000 m;

1 m = 100 dm = 10.000 cm = 1.000.000 mm.

In tabelele anexe din TOPOGRAFIE GENERALA - Note de curs sunt prezentate si unitatile de masura ale sistemului anglo-saxon.

ELEMENTE TOPOGRAFICE UNGHIULARE

Unghiuri masurate in topografie

In topografie se masoara unghiuri orizontale si verticale.

In figura 1.3 unghiul a este orizontal fiind unghiul format de proiectiile orizontale a doua linii de vizare.

Unghiurile verticale (j) sunt formate de o directie oarecare, cu proiectia ei orizontala.

Unghiul vertical format de o dreapta care constituie suportul unei distante inclinate, intre doua puncte, cu proiectia ei orizontala, este numit unghi de panta (Figura 1.3 unghiurile j_A si j_B

De obicei teodolitele (aparatele topografice ce servesc la masurarea unghiurilor) inregistreaza unghiul Z, denumit unghi zenital, unghiurile verticale rezultand din calcul.

Unghiul in geometrie si topografie

Notiunea geometrica de unghi - ca figura formata din doua semidrepte ce au aceeasi origine, este incompleta pentru uz topografic - fiind necesara si cunoasterea semnului si sensului de masurare al unghiului.

Deci, unghiurile topografice sunt unghiuri orientate, cunoscandu-se prima latura a unghiului si sensul de masurare. Prin masurarea unui unghi, se intelege, compararea sa cu un alt unghi, ales ca unitate.

Unitati de masura pentru unghiuri

In topografie se folosesc de regula ca unitati de masura gradele noi (centesimale).

Un grad centesimal (1^g), reprezinta a o suta parte din unghiul drept (D) sau a 400-a parte din cercul intreg (C).

D C

1^g = ----- = ------ (1.5)

submultiplii 1^g = 100^c (minute centsimale);

1^c = 100^cc ( secunde centesimale).

Majoritatea instrumentelor de masura in topografie sunt divizate in grade centesimale. Avantajul acestui sistem consta in simplitatea operatiilor, divizarea gradelor fiind facuta in sistem zecimal.

Ex: 123^g32^c17^cc = 123^g. 3217

Alte unitati de masura:

gradele sexagesimale (1⁰ ), ce reprezinta a 90-a parte din unghiul drept (D) sau a 360-a parte din cercul intreg (C )

D C

(1.6)

360

submultiplii 1⁰ = 60' (minute sexa);

1' = 60" (secunde sexa (1.6)

Radianul (1 RAD) este unghiul la centru corespunzator arcului de cerc egal cu raza cercului. Se stie ca un cerc are 2pRAD.

Pentru diverse calcule se impune trecerea de la un sistem de gradatii la altul, aceasta facandu-se cu una dintre relatiile de echivalenta:

p C

100^g = 90 ⁰ = ---- RAD = 1D = ---- (1.7)

4

a ⁰ a ^g a(RAD)

------ = ------ = ------------- (1.8)

180 ⁰ 200 ⁰ p

1 RAD 63^g66^c20^cc (1.9)

1 ⁰ = 1^g,111... 1^g = 54'

1' = 1^c85^cc,2 1^c = 52", 4 (1.10)

1" = 3^cc,09 1^cc= 0", 34

Pentru transformarea in radiani, cu ajutorul formulei (1.4), se obtin pentru gradatia centesimala, coeficientii:

200^g

r^g

p

200^g x 100^c

r^c

p

200^g x 100^c x 100^cc

r^cc = ----- ----- ------------- = 636619,77. ..

p

iar pentru gradatia sexa: (1.11)

180⁰

r

p

180⁰ x 60'

r

p

180⁰ x 60'x 60"

r

p

luandu-se p

se mai poate spune: 1^g = 0,015708 RAD (1.12)

1⁰ = 0,017453 RAD

Notiuni recapitulative de trigonometrie, cercul trigonometric

a.          Cercul trigonometric si cercul topografic

Calculele ce se fac in topografie, necesita o temeinica cunoastere a functiilor trigonometrice, a cercului trigonometric, care in topografie se transforma in cercul topografic.

Definim cerc trigonometric - cercul avand centrul intr-un punct notat cu 0, raza egala cu unitatea, avand originea de masurare a arcelor in punctul A si sensul de masurare invers acelor de ceas (fig.1.4.a).

In topografie cercul trigonometric este inlocuit cu cel topografic (fig.1.4.b) din urmatoarele motive:

directia de referinta pe teren, deci si in topografie, este directia Nordului topografic - care coincide cu axa ordonatelor (din acest motiv aceasta axa se noteaza aici, cu 0X);

sensul de masurare al unghiurilor, in topografie, este sensul orar.

In consecinta, se observa comparand cele doua cercuri, ca la cel topografic cadranele II si IV isi schimba pozitia intre ele, iar cadranele I si III raman in aceeasi pozitie, ca la cercul trigonometric.

Ordinea cadranelor este data , deci de sensul de masurare al unghiurilor. Deoarece, una dintre caracteristicile cercului trigonometric este aceea ca se poate schimba originea si sensul de masurare a arcelor, fara ca regulile si formulele stabilite, sa se modifice, pe cadrane - in cele doua cercuri formulele si semnele functiilor trigonometrice sunt identice. Deci: definirea functiilor trigonometrice si variatia liniilor trigonometrice este echivalenta in cele doua cercuri (vezi tabelul 1.1 si 1.2).

b.          Reducerea la primul cadran, determinarea valorilor functiilor trigonometrice.

Functiile trigonometrice ale unor unghiuri date q, situate in cadranele II - IV, se pot determina ca functii ale unor unghiuri corespunzatoare din primul cadran - a. Formulele de trecere la primul cadran prezentate in tabelul 1.3 se formeaza astfel:

Semnul si linia corespunzatoare functiilor trigonometrice, in cele patru cadrane

Tabelul 1.1

semnul functiei pentru cele 4 cadrane este cel precizat in tabelul 1.1;

pentru cadranul I - functiile au semnificatia ce rezulta din figura 1.4.a si 1.4.b si din tabelul 1.1;

pentru cadranul III - functia unghiului din acest cadran, este echivalenta cu functia unghiului din primul cadran, obtinut prin scaderea din unghiul initial a 200^g;

Variatia liniilor trigonometrice Tabelul 1.2

pentru cadranele II si IV- functia este echivalenta cu cofunctiile unghiurilor din primul cadran (obtinute prin scaderea din unghiul initial a 100^g, respectiv 300^g).

Aceste reguli conduc la stabilirea tabelului 1.3 care se utilizeaza astfel:

Tabelul 1.3.

Valorile functiilor trigonometrice in cele 4 cadrane

avand un unghi q ce se gaseste intr-unul din cele 4 cadrane si cunoscand faptul ca, exista tabele de valori naturale ale functiilor trigonometrice, doar pentru unghiuri situate in primul cadran, devine necesara transformarea functiei unghiului q in cea corespunzatoare cadranului I.

In functie de cadranul in care se gaseste unghiul q acesta poate fi exprimat:

q_I a (1.13)

q_II a + 100^g

q_III a + 200^g

q_IV a + 300^g

corespunzator cadranelor I, II, III si IV.

Din tabelul amintit, se extrage functia trigonometrica aflata la intersectia liniei, corespunzatoare functiei initiale ( a unghiului q cu coloana corespunzatoare cadranului in care se gaseste q

orientari, legatura intre coordonate si orientari

Orientarea, este unghiul orizontal format de o directie oarecare din teren, sau de pe plan (harta) cu directia Nordului topografic, paralel cu axa 0X a sistemului de coordonate si se noteaza cu q

Mentionam ca orientarea este un unghi orientat - masurat in sensul acelor de ceas, pornind de la directia Nordului pana se intalneste directia data.

Coordonatele rectangulare ale unui punct A, reprezinta distantele de la acest punct la axele rectangulare ale sistemului ales si se noteaza cu (X_A, Y_A ).

Asa cum s-a amintit , axa coordonatelor in sistemele rectangulare topografice se noteaza cu 0x, iar axa absciselor cu 0y.

In figura 1.5.a,b,c,d se prezinta cele patru situatii posibile, privind pozitia relativa a punctelor in teren si corespunzator

Relatiile dintre orientari si coordonate, rezulta din exprimarea functiilor trigonometrice ale unghiului q, in functie de elementele cunoscute fiind posibila calcularea elementelor necunoscute.

Astfel avem:

DY_AB

sinq_AB (1.14)

D_AB

DX_AB

cosq_AB (1.15)

D_AB

DY_AB Y_B - Y_A

tgq_AB = ------- = ----------- => q_AB din tabele (1.16)

DX_AB X_B - X_A

DX_AB

ctgq_AB din tabele (1.17)

DY_AB

Din relatiile (1.14) si (1.15) cunoscand orientarea directiei formata de doua puncte A si B, q_{AB ,} distanta dintre puncte D_AB si coordonatele X_A si Y_A ale unuia din puncte se pot calcula coordonatele relative DX_AB si DY_AB ale celui de al doilea punct (B) in raport cu cel cunoscut (A).

Deci:

DX_AB = D_AB . cosq_AB (1.15')

DY_AB = D_AB . sinq_AB 

cum:

DX_AB = X_B - X_A (1.18 )

DY_AB = Y_B - Y_A  (1.19 )

va rezulta:

X_B = X_A + DX_AB   (1.18' )

Y_B = Y_A + DY_AB   (1.19' )

Din relatiile (1.16) si (1.17) se poate determina orientarea q_AB in functie de coordonatele cunoscute a doua puncte.

Se observa revenind la figura 1.5, a,b,c,si d ca semnul coordonatelor relative DX_AB si DY_AB ,indica pozitia orientarii in cercul topografic.

Astfel: in cadranul I + DX , + DY , q_I a

in cadranul II + DX , + DY , q_II a + 100^g  (1.20)

in cadranul III - DX , - DY , q_III a + 200^g

in cadranul IV - DX , + DY , q_IV a + 300^g

a fiind unghiul redus la primul cadran

Probleme pentru lucrarea 1 - 1.5.1 Probleme rezolvate.

Problema nr.1: In urma masuratorilor de tren, s-au preluat urmatoarele date.privind punctele topografice A si B:

L_AB = 147,32 m;

Z = 97^g 31^c;

Se cunoaste , de asemenea, cota punctului A:

Z_A = 300,53 m + n (mm);

Sa se calculeze : D_AB, DZ_AB, Z_B.

Observatie: (n) reprezinta numarul de ordine al studentului din semigrupa

Problema nr.2: Referitor la doua puncte A si B si se cunosc urmatoarele:

L_AB = 121,56 m - n (m);

DZ_AB = 2,454 m.

Sa se calculeze D_AB si j

Problema nr.3: Sa se transforme din baza data, in cea ceruta urmatoarele unghiuri:

a)      - din grade centesimale, in grade sexagesimale:

32^g 43^c36^cc + n^c

121^g 52^c37^cc + n^cc

237^g 82^c58^cc + n^g

321^g 52^c84^cc - n^c

b)      - din grade sexagesimale, in centesimale:

36'28" - n'

131 52'42" + n"

236 58'36" - n"

321 31'43" + n'

Problema nr.4: Sa se exprime prin functii trigonometrice ale unghiurilor din primul cadran, functiile urmatoarelor unghiuri:

121^g 36^c42^cc + n^g

237^g 52^c38^cc - n^c

346^g 82^c56^cc + n^c

98 52'36" - n'

231 36'48" + n^"

303 21'52" + n'

Problema nr.5 : Sa se gaseasca unghiurile q, corespunzatoare valorilor:

DX_AB = 148,05 m + n(m);

DY_AB = - 136,21 m - n(m);

DX_AB = - 121,37 m + n(m);

DY_AB = - 111,66 m + n(m);

in grade centesimale si sexagesimale.

Problema nr.6: Se cunosc coordonatele a doua puncte A si B

X_A = 1321,52 m + n(m);

Y_A = 3436,48 m;

X_B = 1464,49 m;

Y_B = 3542,64 - n(m);

Sa se calculeze D_AB si q_AB

Problema nr.7 : Se cunosc coordonatele unui punct A, distanta pana la punctul B si orientarea directiei formata de cele doua puncte. Sa se calculeze coordonatele punctului B.

X_A = 1336,92 m ;

Y_A = 2438,84 m;

D_AB = 184,52 m + n(m);

q_AB = 236^g 51^c36^cc

Exemplu de rezolvare a temei (pentru (n) = 0

Problema nr.1: Vezi figura 1.1, relatiile (1.2), (1.1), (1.3), 1.3').

D_AB = L_ABcosj

Se observa ca j = 100^g 00^c00^cc - Z = 100^g 00^c00^cc - 97^g 31^c00^cc = 2^g 69^c ,

deci D_AB = 147,32 m x cos2^g 69^c = 147,32 x 0,999107 = 147,19 m.

DZ_AB = L_ABsinj = 147,32 m x sin2^g 69^c = 147,32 m x 0,042242 = 6,223;

Z_B = Z_A + DZ_AB = 300,53 m + 6,223 = 306,753 m.

Problema nr.2:

D_AB = L_AB - DZ_AB

Deci D_AB = 14.77,8017 = 121,54 m

DZ_AB 2,454 m

sinj = ------- = ------------- = 0,020187562 => j = 1^g 28^c00^cc

L_AB 121,56 m

Problema nr.3:

a)      32^g 43^c36^cc = vezi tabelul anexa 2, prima parte

32^g = 28⁰48'

43^c = 23'13",2

36^cc = 11",66

32^g 43^c36^cc = 29⁰11'24",86

b)      52⁰36'28" = vezi tabelul anexa 2, a doua parte

52⁰ = 57^g 77^c77^cc, 00

36' = 66^c66^cc, 70

28" = 86^cc, 40

52⁰36'28" = 58^g 45^c30^cc, 90 58^g 45^c31^cc.

Analog, se vor rezolva si celelalte transformari.

Problema nr.4 :

sin121^g 36^c42^cc = cos21^g 36^c42^cc

cos121^g 36^c42^cc = sin 21^g 36^c42^cc

tg121^g 36^c42^cc = - ctg 21^g 36^c42^cc

ctg121^g 36^c42^cc = - tg21^g 36^c42^cc

sin237^g 52^c38^cc = - sin37^g 52^c38^cc

cos237^g 52^c38^cc = - cos37^g 52^c38^cc

tg237^g 52^c38^cc = tg37^g 52^c38^cc

ctg237^g 52^c38^cc = ctg37^g 52^c38^cc

sin346^g 82^c52^cc = - cos46^g 82^c52^cc

cos346^g 82^c52^cc = sin46^g 82^c52^cc

tg346^g 82^c52^cc = - ctg46^g 82^c52^cc

ctg346^g 82^c52^cc = - tg46^g 82^c52^cc

Se va proceda asemanator si pentru unghiurile exprimate in gradatia sexagesimala.

Problema nr.5:

D_AB = DX²_AB + DY²_AB = (X_B - X_A) ² +(Y_B - Y_A) ² =

142,97²+ 106,97² = 178,07 m;

DY_AB  106,16

tgq_AB = ---------- = ----------- = 0,742533

DX_AB 142,97

q_AB = arctg 0,742533 = 40^g 66^c12^cc

Problema nr. 6:

DX_AB = D_ABcosq_AB = 184,52 cos 236^g 51^c36^cc = 184,52 x (- 0,939978) = - 154,99 m;

DY_AB = D_ABsinq_AB = 184,52 sin 236^g 51^c36^cc = 184,52 x (- 0,542621) = - 100,12 m;

X_B = X_A - DX_AB = 1336,92 - 154,99 = 1181,93 m;

Y_B = Y_A - DY_AB = 2438,84 - 100,12 = 2338,72 m

Problema nr.7

DY_AB  - 136,21

tgq_AB

DX_AB 148,05

- DY_AB

avand tgq_AB =---------- ne gasim in cadranul II

DX_AB

cautam deci unghiul b, pentru care ctgb

avem pentru 0,920001 - ctg52^g 65^c10^cc

0,920027 - 0,920001 = 27 unitati

1^cc ..........2,91 unitati

X^cc ........27

27 . 1^cc

X^cc.= -------- 9^cc

2,91

deci ctg (52^g65^c10^cc - 9^cc ) = 0,920027

b = 52^g65^c01^cc ;

tgq_AB b + 100^g = 152^g65^c01^cc ;

analog si celelalte calcule.

Probleme propuse:

Problema nr.1': Referitor la doua puncte topografice A si B se cunosc urmatoarele date:

L_AB = 136,54 m - n(m);

j          = 2^g51^c32^cc - n^c ;

Sa se calculeze D_AB si DZ_AB.;

Problema nr.2': In urma masuratorilor de teren, s-au determinat , referitor la doua puncte C si D, urmatoarele:

L_AB = 243,76 m + n(m);

DZ_AB = 12,345 m;

Sa se calculeze D_AB si j (unghiul de panta al terenului).

Problema nr. 3': Sa se transforme in baza de date ceruta urmatoarele unghiuri:

a)      din grade centesimale, in grada sexagesimale:

64^g31^c12^cc + n^c ;

356^g17^c24^cc - n^cc ;

b)      din grade sexagesimale, in grade centesimale:

12631'15" + n^g;

22317'38" - n^c.