PROBLEME PROPUSE PENTRU CONCURSUL REZOLVITORILOR

CLASA a V-a

a) Comparati numerele: a = 1 + 2 + 2² + 2³+ . + 2¹⁰⁰ + 2¹⁰¹

b = 3(1 + 4 + 4² + . + 4⁵⁰)

b) Aratati ca are loc inegalitatea: 2( ) < 3⁵¹.

Aratati ca suma tuturor numerelor naturale de trei cifre ce se pot forma cu cifrele a, b, c se divide cu 111.

Fie sirul de numere naturale:  207, 211, 215, .

a) Completati sirul cu inca 4 numere;

b) Precizati daca 2007 este termen al sirului, iar in caz afirmativ precizati al catelea termen este.

c) Calculati suma primilor 207 termeni.

Sa se calculeze: .

Sa se determine cel mai mare numar natural care, impartit la un numar natural, diferit de zero, da catul 669 si restul cu 2 mai mic decat impartitorul.

In trei urne A, B, C se gasesc bile numerotate cu numere de la 1 la 10. Din urna A se extrage o bila cu numarul a si se transfera in urna B. Din urna B se extrage o bila cu numarul b si se transfera in urna C. Din urna C se extrage o bila cu numarul c si se transfera in urna A. Dupa aceste operatii se constata ca suma numerelor inscrise pe bilele existente in urna A este cu 4 mai mica decat suma initiala a numerelor inscrise pe bilele din urna A, iar suma numerelor inscrise pe bilele existente in urna B este cu 5 mai mica decat suma initiala a numerelor inscrise pe bilele din urna B . Sa se determine numerele a, b si c.

Se dau multimile si .

Care dintre multimile A si B are mai multe elemente. Justificati raspunsul.

CLASA a VI-a

Fie numarul a = 1ⁿ + 2ⁿ + 3ⁿ + 5ⁿ + 6ⁿ + 10ⁿ.

a) Aratati ca numarul a este compus;

b) Aratati ca, daca n este impar atunci a se divide cu 3.

Fie numarul a = .

Ordonati crescator numerele: a, , .

Determinati numarul natural n pentru care numarul:

N = 7ⁿ + 7ⁿ⁺¹ + 7ⁿ⁺² + 7ⁿ⁺³ are exact 60 de divizori.

Fie [AB] un segment si M mijlocul sau. Consideram pe segmentul [MB] un punct oarecare P si construim pe dreapta AB punctul Q astfel ca [PQ] [PB]. Demonstrati ca AQ = 2MP.

Sa se calculeze: .

Sa se determine cel mai mic numar natural par de forma , scris in baza zece, cu proprietatea ca

a) Sa se determine cel mai mic numar natural n cu proprietatea ca intre numerele si se afla trei puteri diferite ale lui 2.

b) Sa se arate ca, pentru orice, intre numerele si se afla cel mult trei puteri diferite ale lui 2.

Segmentul are lungimea egala cu 55. Punctele impart segmentul in 10 segmente: , ale caror lungimi sunt egale cu numere naturale nenule diferite.

a)Sa se arate ca mijlocul segmentului nu coincide cu niciunul dintre punctele .

b)Sa se arate ca exista o distribuire a punctelor astfel incat mijlocul segmentului sa coincida cu mijlocul unuia dintre cele 10 segmente.

CLASA a VII-a

Determinati numerele naturale x si y pentru care: 2^x + 5^y + 6^x+4 = 1922.

a) Aratati ca adaugand 1 la produsul a doua numere intregi impare consecutive se obtine un patrat perfect;

b) Aratati ca adaugand 1 la produsul a patru numere intregi consecutive se obtine un patrat perfect.

Fie triunghiul ABC si [AD bisectoarea unghiului , D (BC). Daca E si F sunt simetricele punctului D fata de AB si AC, aratati ca:

a) [AE] [AF];

b) AD EF.

Fie patratul ABCD si punctul E in interiorul, iar F in exteriorul patratului, astfel incat triunghiurile ABE si BCF sa fie echilaterale. Aratati ca punctele D, E, F sunt coliniare.

Sa se arate ca: .

Se considera multimea .

Sa se calculeze media aritmetica a numerelor din multimea M.

Doi elevi, A si B, joaca urmatorul joc. A alege un numar natural de la 1 la 8. B adauga la acest numar un numar natural de la 1 la 8 si spune suma obtinuta. A adauga acestei sume un numar natural de la 1 la 8 si spune noua suma, si asa mai departe. Castiga jucatorul care obtine suma 2007. Aratati ca jucatorul B poate adopta o strategie de castig sigur.

8. Un triunghi ascutitunghic are . Bisectoarea unghiului BAC, intersecteaza mediatoarea laturii AB in punctul I. Pe perpendiculara in I pe dreapta AI se considera punctul P astfel incat . Punctele P si C se afla de o parte si de alta a dreptei AI.

e)       Sa se arate ca triunghiul PIB este echilateral.

f)        Daca, in plus, , sa se arate ca patrulaterul este romb.

CLASA a VIII-a

. Stiind ca a, b, c si a + b + c = 2, aratati ca: .

Sa se rezolve ecuatia: .

Dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic sunt: a = 2n(n + 1),

b = 2(n + 1)(n + 2) si c = (n + 1)² + 2, n . Aratati ca diagonala paralelipipedului are ca lungime un numar natural.

Fie tetraedrul ABCD si M, N, P, Q, R, S mijloacele segmentelor [AB], [BC], [CD], [DA], [AC], [BD], respectiv. Aratati ca dreptele MP, NQ, RS sunt concurente.

5. Fie si .

g)      Sa se arate ca, oricare ar fi , numarul P se reprezinta ca fractie zecimala periodica.

h)      Care este cea mai mica valoare a lui n pentru care numarul P se reprezinta ca fractie zecimala periodica simpla?

6. Pe o tabla sunt scrise numerele naturale consecutive de la 1 la 100. Doi elevi, A si B, joaca urmatorul joc: pe rand, incepand cu A, ei completeaza cele 99 de spatii dintre oricare doua numere consecutive cu semnele "+", "" sau "". Daca in final rezultatul obtinut este numar impar, castiga jucatorul care a completat ultimul spatiu ramas liber. Sa se arate ca jucatorul A poate adopta o strategie de castig sigur.

7. Fie m si n doua numere naturale distincte. Sa se arate ca, daca numarul este patrat perfect, atunci .

8. In paralelipipedul dreptunghic se dau cm, cm si cm. Fie punctul M situat pe segmentul astfel incat triunghiul sa fie dreptunghic. Sa se calculeze distanta de la punctul la dreapta MD.

CLASA a V-a

	Daca se completeaza tabelul urmator astfel incat suma oricaror doua numere vecine este aceeasi, care este suma tuturor celor 8 numere din tabel ?
	a) 64	b) 100	c) 40	d) 144	e) 80

Subiectele au fost intocmite de urmatorii profesori:

Cristinel MORTICI, Petre NACHILA,Octavian-Mircea PURCARU, Cezar-Corneliu STOICA

Clasa a VI-a

Subiectele au fost intocmite de urmatorii profesori:

Cristinel MORTICI ,Petre NACHILA,Octavian-Mircea PURCARU, Cezar-Corneliu STOICA

	Daca se completeaza tabelul urmator cu numere astfel incat suma oricaror 3 numere vecine este aceeasi, atunci suma tuturor celor 9 numere din tabel este:
	a) 48	b) 90	c) 180	d) 81	e) 120