Reformularea enuntului - un pas decisiv in rezolvarea problemelor de matematica

In algoritmul rezolvarii unei situatii-problema, intelegerea si interpretarea elementelor cunoscute reprezinta primul pas. Este evident faptul ca, in absenta intelegerii datelor (a ipotezei), ideea de rezolvare este superflua.

Ne vom referi la un aspect esential in cadrul rezolvarii problemelor de matematica: reformularea enuntului. Am sesizat de-a lungul anilor ca aceasta nu doar faciliteaza gasirea solutiei ci, uneori transforma o "problema imposibila" intr-una care poate fi rezolvata. Se transfera, practic demersul rezolvitorului dintr-o zona opaca pe un teren favorizant, prietenos.

Sa acceptam utilizarea termenului de problema cu sensul de situatie noua spre a carei rezolvare ne indreptam euristic. De asemenea, suntem constienti de importanta formarii unui comportament adecvat rezolvarii, adica a obisnuintei de a lucra cu o serie de instrumente precum reformularea. Nu este deloc usor, iar dobandirea de astfel de abilitati depinde in cea mai mare masura de disponibilitatea "formatorului" de a opera cu astfel de subtilitati, de a sesiza si a face sesizate nuantele.

Vom alatura celor afirmate cateva exemple de enunturi reformulate, modul in care acestea au fost modificate si, daca nu este evident, vom sublinia importanta acestui demers si noua maniera de abordare a problemei.

Atribuim reformularii enuntului unei probleme sensul de traducere a acestuia, intelegand prin traducere nu doar conversia dintr-un limbaj in altul, ci si talmacirea textului - aceasta implicand interpretarea datelor.

Sa admitem urmatoarea clasificare evident, fara pretentii exhaustive! n.n.

dupa scopul reformularii:

reformulare pentru obtinerea de informatii noi (utilizand simultan pachetul de cunostinte si deprinderi deja acumulate);

reformulare pentru rezolvarea de exercitii simple de calcul;

reformulare in scopul rezolvarii de inecuatii;

reformulare in scopul transpunerii in ecuatie a problemei.

dupa modul de abordare:

reformulare folosind definitia obiectului;

reformulare folosind simboluri matematice;

reformulare utilizand modele si analogii;

reformulare folosind desfacerea problemei in "pasi" (mai multe probleme scurte).

Exemple

• "Se da triunghiul ABC." inseamna, de fapt, "triunghiul oarecare ABC", lucru foarte important de remarcat, data fiind confuzia la care poate conduce rezolvarea in varianta utilizarii unui triunghi particular. Practic, reformularea in acest caz completeaza un enunt eliptic, conducand la obtinerea de noi informatii.
• "In cubul ABCDA'B'C'D', determinati unghiul dintre dreapta AA' si planul (ABC)". Concluzia se traduce astfel:

Ð(AA', (ABC)) = Ð(AA', AB) = ÐA'AB;

adica, utilizand definitia unghiului dintre o dreapta si un plan, am redus problema la determinarea unui unghi plan, ajungand astfel intr-o zona cunoscuta.

In mod analog, folosind definitia distantei de la un punct la un plan, avem ca:

d(A', (ABC)) = d(A', A) = ||AA'|| .

• La clasa a V a, nefiind inca studiata regula de trei simpla, o problema cu marimi direct proportionale de genul: "daca trei creioane costa 6000 lei, aflati cat costa 7 creioane"  se ataca foarte simplu utilizand metoda reducerii la unitate, adica, de fapt desfacerea problemei in probleme simple. Astfel, se va afla intai pretul unui creion, rezultand de aici imediat cat costa sapte creioane.
• Utilizand simbolurile matematice, "7 % din 1400" inseamna ceea ce conduce problema in zona operatiilor cu fractii. De fapt, am observat ca obtinerea acestei scrieri este mult mai usoara daca se va utiliza o exprimare schematica (la tabla), astfel:

din 1400

¯ ¯ ¯

1400 ,

scriere din care corespondenta dintre limbajul "in cuvinte" si cel matematic este evident.

• Exercitiile simple de calcul - ne referim, in primul rand la aplicatiile imediate ale regulilor de calcul predate - vor fi mai usor intelese si rezolvate daca se vor face astfel de reformulari:
• "" inseamna "un sfert adunat cu o jumatate", despre care elevii pot spune imediat ca fac "trei sferturi" - raspunsul va fi dat si mai repede daca se va face apel la un caz concret (de exemplu folosind unitati de masura pentru capacitate). Este evident faptul ca reformulari de acest tip vor fi utilizate in cateva cazuri si, respectiv, pana la familiarizarea elevilor cu adunarea fractiilor care au numitori diferiti;
• "5 - 7" se poate calcula reamintind reprezentarea pe axa a numerelor intregi si a adunarii acestora: "cinci unitati de la origine spre dreapta, apoi, din punctul in care s-a ajuns, ne intoarcem spre stanga sapte unitati". Acest "model" nu va mai putea fi folosit mai departe, pentru numere mari dar poate constitui fundamentul intelegerii adunarii numerelor intregi.
• Introducerea intregilor in fractie nu va fi receptata drept "o alta formula care trebuie memorata." daca fractia unde sunt evidentiati intregii va fi prezentata drept suma dintre intregi si fractia juxtapusa. Aducand aici la acelasi numitor se va regasi formula cunoscuta a carei retentie va fi mult mai usoara.

Aducerea fractiilor la acelasi numitor este o actiune multipla in care, de multe ori elevii nu pot realiza legatura care se stabileste intre numitorul comun si cel mai mic multiplu comun al numitorilor. Trebuie explicat ca acest cel mai mic multiplu comun al numi-torilor reprezinta de fapt, cel mai mic numar care se imparte exact la fiecare dintre numitorii fractiilor din enunt.

La clasa a V a, unui sistem de inecuatii - de regula de forma a £ x £ b - i se descopera imediat multimea solutiilor daca scrierea de mai sus va fi reformulata drept: "numerele x cuprinse intre numerele a si b" (de obicei ea apare in exprimari analitice ale unor multimi). Repetata in cateva exercitii, aceasta chestiune va putea fi sesizata si in alte probleme, chiar si de catre elevii mai putin activi la orele de matematica.

Cu sensul de conversie din limbajul cotidian in cel matematic este reformularea cu scopul transpunerii in ecuatie (sau sistem de ecuatii) a problemei. O astfel de problema este formata, practic din doua etape:

traducerea textului in ecuatie.

rezolvarea ecuatiei.

Dificultatea apare la formarea ecuatiei caci rezolvarea ei este, in general facila. Citirea cu atentie a enuntului trebuie urmata de o scindare a acestuia in operatiile simple pe care le sufera de obicei, necunoscuta. La inceput, profesorul trebuie sa citeasca rar, cu intonatie, pentru a forma la elevi obisnuinta de a sesiza locurile din text in care se face pauza pentru a mai completa ceva ecuatiei. Este bine sa se scrie separat, pe randuri diferite, ceea ce se obtine in fiecare etapa, urmand ca abia la sfarsit ecuatia sa fie asamblata.

Exemplul 1.

Suma a doua numere este 18. iar diferenta lor, 10. Aflati numerele.

Fiind vorba despre doua numere necunoscute, fie acestea x si y. Evident ca suma lor fiind 18, scriem acest lucru: x + y = 18, iar diferenta: x - y = 10. Am folosit definitia sumei si a diferentei   a doua numere, oprindu-ne dupa fiecare dintre cele doua parti ale problemei, pentru a rescrie enuntul in ecuatie.

Exemplul 2.

Daca scadem dintr-un numar necunoscut pe rand, numerele 11, 13 si 16, gasim trei diferente care adunate ne dau numarul necunoscut. Care este acest numar?

(O prima dificultate in rezolvare apare atunci cand elevul trebuie sa raspunda intrebarii: ce ramane daca din numarul necunoscut x scadem pe 11? )

Analizam enuntul pe "sectiuni":

"Daca scadem dintr-un numar necunoscut pe rand, numerele 11, 13 si 16, gasim trei diferente" - vom nota ceea ce se obtine pe rand, scazand cele trei numere din x:

x - 11 prima diferenta

x - 13 a doua diferenta

x - 16 a treia diferenta.

"diferente care adunate" - ne conduce la ideea insumarii celor trei cantitati de mai sus: (x - 11) + (x - 13) + (x - 16)

"ne dau" este o expresie care sugereaza semnul "=" (o serie intreaga de termeni reprezinta acelasi lucru: este, reprezinta, obtinem).

"diferente care adunate ne dau numarul necunoscut" - inseamna ca semnul "=" va fi pus intre suma de mai sus si numarul necunoscut x. Astfel, ecuatia va fi:

(x - 11) + (x - 13) + (x - 16) = x

care se va rezolva fara dificultati.

Exemplele pot continua. Ceea ce dorim sa subliniem inca o data este importanta punctarii fiecarui pas in cadrul rezolvarii problemei, obtinand practic succesiunea de operatii la care este supusa necunoscuta.

Asadar, consideram ca reformularea enuntului este deosebit de importanta nu doar in rezolvarea problemelor, ea contribuind la formarea disponibilitatii elevilor catre descoperirea nuantelor si a subtilitatilor unui enunt.