Variatia entropiei specifice masice a gazului perfect, care parcurge o transformare politropica, intre starile termodinamice 1 si 2, se obtine prin integrarea ecuatia (5.63), intre aceste limite

Variatia entropiei specifice masice a gazului perfect, care parcurge o transformare politropica, intre starile termodinamice 1 si 2, se obtine prin integrarea ecuatia (5.63), intre aceste limite.

Rezulta:

, J/(kg K) (5.66)

Pentru un ST cu masa "m", ecuatia (5.66) devine:

, [J/K] (5.66)*

EXEMPLE de CALCUL

Principiul II al termodinamicii

E 1. O cantitate de 10 kg gheata, avand temperatura initiala t₁ = - 5C se introduce intr-o incapere, in care aerul are temperatura t_aer = + 20C. Gheata se topeste, iar apa rezultata se incalzeste, pana atinge temperatura aerului din camera.

Sa se determine:

a)   variatia entropiei ghetii, pe parcursul procesului de incalzire a ei, pana la temperatura de 0C;

b)   variatia entropiei ghetii, pe parcursul procesului de topire a ei, la temperatura de 0C;

c)   variatia entropiei apei formate, pe parcursul procesului de incalzire a ei, de la temperatura de 0C, la temperatura de + 20C;

d)   variatia totala a entropiei, corespunzatoare tuturor proceselor termodinamice suferite de gheata care se transforma in apa incalzita;

e)   caldura totala, cedata de aerul incaperii, ghetii si apoi apei;

f)     variatia entropiei aerului din incapere;

g)   variatia totala de entropie a ST izolat, constituit din subsistemul termodinamic gheata - apa si din subsistemul termodinamic aer ambiant.

Se dau: - caldura latenta de topire a ghetii, la 0C: r₀ = 332,432 kJ/kg;

- caldura specifica medie a ghetii, la presiune constanta: c_g = 2,039 kJ/(kg K);

- caldura specifica medie a apei, la presiune constanta: c_p = 4,2 kJ/(kg K).

R e z o l v a r e

a)      Admitand ca procesul 1 - 2, de incalzire a ghetii, de la temperatura initiala t₁ = - 5C, la temperatura t₂ = 0C, este unul reversibil, atunci, conform PIITD, dat de relatia (5.21), rezulta:

0,376 kJ/K.

b) Pentru procesul reversibil, 2 - 3, de topire al ghetii, la temperatura constanta t₂ = t₃ = 0C, aceeasi relatie de calcul, (5.21), ne conduce la:

12,17 kJ/K.

c) Pentru procesul reversibil, 3 - 4, de incalzire a apei, de la temperatura t₃ = 0C, la

temperatura t₄ = + 20C, obtinem:

2,96 kJ/K.

d) Entropia este o marime aditiva, asadar, variatia totala a entropiei, corespunzatoare trecerii ghetii in stare lichida, de-a lungul proceselor termodinamice 1 - 2, 2 - 3 si 3 - 4, este:

15,506 kJ/K.

e) Caldura totala, cedata de aerul incaperii, ghetii si apoi apei, este data de urmatoarea suma:

.

Inlocuind cu cifre, obtinem:

4266,27 kJ.

Observatie: Sistemul termodinamic aer ambiant cedeaza sistemului termodinamic gheata - apa, caldura 4266,27 kJ, asadar, potrivit conventiei de semne din termodinamica, aceasta caldura are semnul minus.

f) Admitand ca aerul din incapere se comporta ca un izvor de caldura, a carui temperatura se mentine constanta, la valoarea t_a = + 20C, desi a cedat ghetii si apoi apei, caldura Q₁₄ < 0, variatia lui de entropie se calculeaza cu relatia:

14,553 kJ/K.

g) Variatia totala de entropie a ST izolat, constituit din ST gheata - apa si din ST aer ambiant, se determina in baza proprietatii de aditivitate a entropiei:

14,553 + 15,506 = 0,953 kJ/K.

Interpretarea acestui rezultat este urmatoarea: intrucat variatia totala de entropie a ST izolat, compus din cele doua subsisteme, are o valoare pozitiva, inseamna ca procesele termodinamice desfasurate in interiorul acestui ST izolat sunt posibil de desfasurat de la sine si sunt ireversibile, altfel spus, reale. Cauza ireversibilitatii este transferul de caldura la diferenta finita de temperatura, care are loc intre cele doua subsisteme.

E 2. O cantitate de 10 kg apa, avand temperatura initiala t₁ = + 20C este incalzita, la presiunea constanta p₁ = 1bar, pana la vaporizarea ei completa.

Sa se determine cresterea de entropie a apei, pe parcursul acestui proces termodinamic, stiind ca vaporizarea are loc la temperatura de saturatie de 99,64C.

Se dau: - caldura latenta de vaporizare a apei, la presiunea de 1bar: r = 2257 kJ/kg;

- caldura specifica medie a apei, la presiune constanta c_p = 4,2 kJ/(kg K).

R e z o l v a r e

Procesele termodinamice pe care le sufera ST apa sunt urmatoarele:

1 - 2: incalzire izobara, la p = 1 bar, de la t₁ = + 20C la t₂ = 99,64 C ;

2 - 3: vaporizare izobar - izoterma, la p = 1 bar si temperatura de saturatie corespunzatoare, t₂ = t₃ = 99,64 C.

Variatia totala de entropie, S₃ - S₁ , se calculeaza, in baza proprietatii de aditivitate a

entropiei, ca suma a variatiilor de entropie corespunzatoare celor doua procese mentionate:

.

Pentru procesul termodinamic reversibil, 1 - 2, conform PIITD, dat de relatia (5.21), avem:

10,093 kJ/K.

Pentru procesul termodinamic reversibil, 2 - 3, conform PIITD, dat de relatia (5.21), avem:

60,54 kJ/K.

Se poate calcula acum

= 10,039 + 60,54 = 70,579 kJ/K.

E 3. Caldura specifica medie, la presiune constanta, a aluminiului, este de 955 J/(kg K), in intervalul de temperatura (0.300)C.

Sa se determine entropia unui bloc de aluminiu, cu masa de 50 kg, aflat la temperatura de 300C, stiind ca entropia sa, la temperatura de 0C, este egala cu zero.

R e z o l v a r e

Conform PIITD, dat de relatia (5.21), variatia de entropie a unui sistem termodinamic este:

35,388 kJ/K.

In aceasta relatie, S(T₀) reprezinta entropia blocului de aluminiu, la temperatura de 0C si ea este, conform datelor problemei, egala cu zero.

Rezulta ca valoarea absoluta a entropiei blocului de aluminiu, la temperatura de 300C este:

S(T) = 35,388 kJ/K.

E 4. Sa se determine daca urmatorul proces de destindere adiabatica a aerului, intr-un ajutaj, este unul posibil de desfasurat de la sine.

Se dau: - presiunea initiala a aerului: p₁ = 3 bar;

- temperatura initiala a aerului: t₁ = 20C;

- presiunea finala a aerului: p₂ = 1 bar;

- temperatura finala a aerului: t₂ = 100C;

- constanta caracteristica a aerului: R = 287,14 J/(kg K);

- caldura specifica medie a aerului, la presiune constanta: c_p = 1008 J/(kg K).

R e z o l v a r e

Exprimata in functie de presiunea si de temperatura ST reprezentat de aer, considerat gaz perfect, variatia de entropie, intr-un proces de destindere adiabatica, este data de relatia (5.39):

0,21528 kJ/(kg K).

Asa dupa cum s-a aratat in Capitolul 5, variatia de entropie a unui ST adiabatic reprezinta un criteriu de clasificare a proceselor termodinamice desfasurate in interiorul acelui ST. Astfel: daca variatia de entropie a ST adiabatic are valoare negativa, , inseamna ca procesul termodinamic respectiv este unul imposibil de desfasurat de la sine.

Asadar, procesul de destindere adiabatica a aerului, la care face referire acest exemplu de calcul, este unul imposibil de desfasurat de la sine.

Pentru ca acest proces de destindere adiabatica a aerului sa fie unul posibil si reversibil, variatia de entropie a aerului, Ds = s₂ s₁ , trebuie sa fie egala cu zero.

Punand aceasta conditie, obtinem: . Putem asadar calcula, din aceasta egalitate, valoarea limita a temperaturii T₂ , pana la care este posibila destinderea adiabatica a aerului, in ajutaj.

Pentru explicitarea lui T₂ , se scrie: . Rezulta:

214,37 K = 214,37 58,77 C.

E 5. Un gaz perfect, aflat intr-un rezervor, la presiunea de 5 bar, este pus in legatura, prin intermediul unei conducte, cu un alt rezervor, de aceeasi capacitate, in care s-a facut vid perfect. Admitand ca gazul perfect sufera un proces reversibil de destindere izoterma, sa se determine variatia de entropie asociata acestui proces.

Se dau: - volumul fiecaruia dintre cele 2 rezervoare: V = 3 m³;

- temperatura initiala a gazului perfect: t₁ = 20C.

R e z o l v a r e

Intr-un proces reversibil izoterm, variatia de entropie specifica masica este data de relatia (5.53): , J/(kg K) . Scrisa pentru un ST cu masa oarecare, m, aceasta relatie devine:, in care masa ST poate fi determinata din ecuatia termica de stare a gazelor perfecte.

Rezulta: . Revenind la calculul variatiei de entropie, obtinem: .

In aceasta relatie, volumul starii termodinamice initiale, V₁ = 3 m³ , iar volumul starii finale de echilibru, in care gazul ocupa ambele rezervoare, este V₂ = 2 V₁ = 6 m³.

Rezulta: 3546,72 J/K =3,546 kJ/K.

E 6. Un kilogram de aer, considerat gaz perfect, avand presiunea p₁ = 3 bar si temperatura T₁ = 350 K, parcurge un proces termodinamic politropic, la finele caruia, volumul sau este de 2 ori mai mare decat cel initial. Se cere:

a)      sa se determine variatia entropiei aerului, daca exponentul politropic ia valorile: n = 0; n = 0,6; n = 1; n = 1,2; n = 1,4; n = 1,6;

b)      sa se reprezinte toate procesele termodinamice mentionate, in diagrama entropica T - s;

c)      sa se determine variatia de entropie a mediului exterior, in fiecare dintre procesele politropice mentionate;

d)      sa se analizeze daca procesele termodinamice care au loc in ST izolat, alcatuit din ST gaz perfect si mediul sau exterior, sunt procese posibil de desfasurat de la sine.

Se dau: - constanta caracteristica a aerului, R = 287,14 J/(kg K);

- caldura specifica medie a aerului la presiune constanta, c_p = 1004,99 J/(kg K).

R e z o l v a r e

Variatia de entropie a unui gaz perfect, care sufera o transformare politropica reversibila, este data de relatia (5.66): , J/(kg K)

Observatie: Temperatura aerului in starea termodinamica finala, 2, a fost calculata, pentru ACELEASI conditii de evolutie a aerului, in Exemplul de calcul E 4., din Capitolul 3: Transformari simple, reversibile de stare ale gazelor perfecte. S-au determinat, asadar, valorile cuprinse in tabelul de mai jos:

Pentru cazul particular, in care indicele politropic ia valoarea n = 0, transformarea suferita de aer este una izobara reversibila , pentru care se poate utiliza relatia (5.57) :

696,6 J/(kg K).

Pentru transformarea politropica reversibila, cu n = 0,6, variatia de entropie este:

394,204 J/(kg K). In aceasta relatie, caldura specifica a aerului la volum constant, c_v, a fost calculata cu ajutorul relatiei Robert Mayer pentru gaze perfecte, iar indicele adiabatic, k, a fost determinat ca raport intre cele doua calduri specifice: 1,4.

Pentru cazul particular, in care indicele politropic ia valoarea n = 1, transformarea suferita de aer este una izoterma reversibila, pentru care se poate utiliza relatia (5.53) :

199,03 J/(kg K).

Pentru transformarea politropica reversibila, cu n = 1,2 , variatia de entropie este:

99,479 J/(kg K).

Pentru cazul particular, in care indicele politropic ia valoarea n = 1,4, transformarea suferita de aer este una adiabatica reversibila, pentru care, conform relatiei (5.62) : .

Pentru transformarea politropica reversibila, cu n = 1,6 , variatia de entropie este:

− 99,518 J/(kg K).

Rezultatele calculelor au fost centralizate in urmatorul tabel:

Interpretand datele din acest tabel, pe baza PIITD, ajungem la concluzia ca:

in procesele politropice reversibile de destindere a aerului, caracterizate de indicii adiabatici: n = 0; n = 0,6; n = 1 si n = 1,2, entropia aerului a crescut, ca urmare a faptului ca aerul primeste caldura de la ME, pentru a desfasura acest proces. Valorile q₁₂ > 0, primite de aer, au fost calculate in Exemplul de calcul E 4, din capitolul 3;

in procesul adiabatic reversibil de destindere a aerului, pentru care n = k = 1,4 , aerul nu primeste caldura de la ME si, in consecinta, entropia lui ramane constanta;

in procesul politropic reversibil de destindere a aerului, caracterizat de indicele adiabatic n = 1,6 , entropia aerului a scazut, ca urmare a faptului ca aerul cedeaza caldura ME, pentru a desfasura acest proces. Valoarea q₁₂ < 0, cedata de aer, a fost calculata in Exemplul de calcul E 4, din capitolul 3.

b)      Procesele termodinamice mentionate au fost reprezentate, in diagrama entropica T - s, in Figurile E 6a, pana la E 6f.

Figura E 6a. Politropa cu n = 0: izobara Figura E 6b. Politropa cu n = 0,6

Figura E 6c. Politropa cu n = 1: izoterma Figura E 6d. Politropa cu n = 1,2

Figura E 6e. Politropa cu n = 1,4: adiabata       Figura E 6f. Politropa cu n = 1,6

c) Variatia de entropie a mediului exterior, in fiecare dintre procesele politropice mentionate se determina cu ajutorul relatiei: , in care valorile q₁₂ au fost calculate in Exemplul E 4 din Capitolul 3. Iata care sunt aceste valori:

Pentru procesul politropic la care n = 0 (proces izobar), desfasurat intre temperaturile      T₁ = 350 K si T₂ = 700 K, temperatura mediului exterior, care furnizeaza caldura ST aer, are valoarea T_ME = 700 K. Rezulta: 0,502 kJ/(kg K)

Observatie: Mediul exterior cedeaza caldura sistemului termodinamic aer, asadar, potrivit conventiei de semne din termodinamica, aceasta caldura are semnul minus. In consecinta, variatia de entropie a mediului exterior este si ea negativa: = 0,502 kJ/(kg K).

Pentru procesul politropic la care n = 0,6, desfasurat intre temperaturile T₁ = 350 K si T₂ = 460,589 K, temperatura mediului exterior, care furnizeaza caldura ST aer, are valoarea T_ME = 460,589 K. Rezulta: 0,3447 kJ/(kg K)

Observatie: Si in acest caz, mediul exterior cedeaza caldura sistemului termodinamic aer, asadar, potrivit conventiei de semne din termodinamica, aceasta caldura are semnul minus. In consecinta, variatia de entropie a mediului exterior este si ea negativa:= 0,3447 kJ/(kg K).

Pentru procesul politropic la care n = 1 (proces izoterm), desfasurat la temperatura constanta T₁ = 350 K, temperatura mediului exterior, care furnizeaza caldura ST aer, are valoarea T_ME = 350 K. Rezulta: 0,19903 kJ/(kg K)

Observatie: Mediul exterior cedeaza caldura sistemului termodinamic aer, pentru ca acesta sa se destinda izoterm, asadar, potrivit conventiei de semne din termodinamica, aceasta caldura are semnul minus. In consecinta, variatia de entropie a mediului exterior este si ea negativa: = 0,19903 kJ/(kg K).

Pentru procesul politropic la care n = 1,2 , desfasurat intre temperaturile T₁ = 350 K si T₂ = 304,708 K, temperatura mediului exterior, care primeste caldura de la ST aer, are valoarea T_ME = 293,15 K. Rezulta: 0,1109 kJ/(kg K)

Observatie: In acest caz, mediul exterior primeste caldura de la ST aer, asadar, potrivit conventiei de semne din termodinamica, aceasta caldura are semnul plus. In consecinta, variatia de entropie a mediului exterior este si ea pozitiva: = + 0,1109 kJ/(kg K)

Pentru procesul politropic la care n = 1,4 (proces adiabatic), mediului exterior nu schimba caldura cu ST aer, altfel spus, nici nu-i cedeaza caldura, nici nu primeste caldura de la el, asadar: = 0.

Pentru procesul politropic la care n = 1,6 , desfasurat intre temperaturile T₁ = 350 K si T₂ = 230,91K, temperatura mediului exterior, care primeste caldura de la ST aer, are valoarea T_ME = 293,15 K. Rezulta: 0,09721 kJ/(kg K)

Observatie: In acest caz, mediul exterior primeste caldura de la ST aer, asadar, potrivit conventiei de semne din termodinamica, aceasta caldura are semnul plus. In consecinta, variatia de entropie a mediului exterior este si ea pozitiva: = + 0,09721 kJ/(kg K)

Variatia de entropie a mediului exterior, in fiecare dintre procesele politropice mentionate a fost centralizata in urmatorul tabel:

d) Pentru a analiza daca procesele termodinamice care au loc in ST izolat, alcatuit din ST gaz perfect si mediul sau exterior, sunt procese posibil de desfasurat de la sine este necesar sa calculam variatia de entropie a acestui ST izolat. Relatia de calcul, bazata pe proprietatea de aditivitate a entropiei, este: , in care = s₂ - s₁ , a fost calculat la puncul a) al acestui exemplu de calcul.

Rezultatele acestui calcul sunt cuprinse in tabelul de mai jos:

Din analiza acestor date, prin prisma PIITD, rezulta:

procesele politropice de destindere a aerului, caracterizate de indicii adiabatici: n = 0; n = 0,6 si n = 1,2 sunt procese reale, posibil de desfasurat de la sine (intrucat variatia de entropie a sistemului termodinamic izolat este pozitiva);

procesul adiabatic de destindere a aerului, pentru care n = k = 1,4 si procesul izoterm, pentru care n = 1, sunt procese reversibile, posibil de desfasurat de la sine (intrucat variatia de entropie a sistemului termodinamic izolat este nula);

procesul politropic de destindere a aerului, caracterizate de indicele adiabatic: n = 1,6 este un proces im posibil de desfasurat de la sine (intrucat variatia de entropie a sistemului termodinamic izolat este negativa).

E 7. Sa se determine volumul final pana la care se poate desfasura, de la sine, procesul politropic de destindere, cu indicele politropic n = 1,6 , la care s-a facut referire in Exemplul de calcul precedent. Se admite ca aerul se raceste, prin destindere, pana cand temperatura lui egaleaza temperatura mediului exterior (ambiant), care are valoarea T_ME = 293,15 K.

R e z o l v a r e

Conditia ca un proces reversibil sa se poata desfasura de la sine, intr-un sistem izolat, este aceea ca variatia de entropie a ST izolat sa fie nula.

Punem asadar conditia ca . Exprimata convenabil, in functie de temperatura aerului si de volumul sau specific masic, variatia de entropie a ST izolat, data de relatia (5.37), este:

. Egaland cu zero aceasta expresie, obtinem: , care se poate pune sub forma: , respectiv: . Necunoscuta acestei expresii este v₂

Pentru determinarea ei este insa necesar sa calculam valoarea v₁, facand apel la ecuatia termica de stare a gazelor perfecte. Rezulta: 0,3345 m³/kg si

0,521 m³/kg.

In raport cu volumul initial, v₁, volumul final atins de aer in procesul de destindere posibil de desfasurat de la sine, v₂, este cu 55,7% mai mare.

E 8. Un kilogram de bioxid de carbon, considerat gaz perfect, aflat la presiunea p₁ = 6 bar si temperatura t₁ = 200C, este supus urmatoarei suite de procese termodinamice: comprimare adiabatica, in urma careia volumul gazului scade de 5 ori; incalzire izocora, finalizata cu cresterea presiunii cu 20% ; destindere izobara, pana la cresterea volumului cu 30%.

Se cere:

a) sa se determine variatia entropiei CO₂ ca urmare a fiecareia dintre transformarile mentionate;

b) sa se reprezinte procesele termodinamice mentionate, in diagrama entropica, T - s.

Se dau: - constanta caracteristica a CO₂: R = 188,92 J/ (kg K);

- indicele adiabatic, k = 1,3.

R e z o l v a r e

a)      In procesul termodinamic 1 - 2, de comprimare adiabatica a CO₂ , variatia de entropie      s₂ - s₁

Pentru procesul termodinamic 2 - 3, de incalzire izocora a CO₂ , variatia de entropie este data de relatia (5.60): .

Observatie: Parametrii de stare ai CO₂ , in fiecare stare termodinamica, au fost calculati, pentru ACELEASI conditii de evolutie a CO₂, in Exemplul de calcul E 5., din Capitolul 3: Transformari simple, reversibile de stare ale gazelor perfecte. S-au determinat, asadar, valorile cuprinse in tabelul de mai jos:

Tinand seama de aceste date, obtinem:

114,813 J/(kg K) = 0,114 kJ/(kg K).

Pentru procesul termodinamic 3 - 4, de destindere izobara a CO₂ , variatia de entropie este data de relatia (5.57):

214,784 J/(kg K) = 0,214 kJ/(kg K).

b) Procesele termodinamice mentionate au fost reprezentate, in diagrama entropica, T - s, in Figura E 8.

Figura E 8.