Controlul tolerant al defectelor aplicat unui avion civil de dimensiuni mari

Controlul tolerant al defectelor aplicat unui avion civil de dimensiuni mari

1 Introducere

In acest capitol sistemele modului de alunecare pentru FTC sunt dezvoltate si aplicate unui avion. Sistemul de pe aeronava este un model B-747 care a fost folosi de catre alti cercetatori ca un test pentru evolutia lor. Un gain adaptiv este folosit in partea neliniara a legii de control care reactioneaza la aparitia unui defect si tinde sa tina functia de comutatie cat mai aproape de zero, deci incercand sa mentina performantele nominale de urmarire. Daca defectul total al unui actuator este detectat, un switch face trimitere la un back-up al suprafetei de control dar componenta liniara a legii de control ramane neschimbata.

Acest controler este testat in diferite scenarii ale defectelor actuatorului. Noutatea lucrarii din acest capitol este designul hiperplanului de alunecare care minimizeaza efectul incertitudinilor nepotrivite la miscarea de alunecare care decurg de de la defectul actuatorului si dezvoltarea unor sisteme adaptive simple pentru vectorul unitate neliniar. FTLAB B747 care ruleaza in MATLAB, a fost dezvoltat pentru studiul controlului tolerant la defecte si al sistemului FDI. Modelul neliniar de inalta fidelitate are 77 de stari care incorporeaza variabilele, senzori, actuatoare si aeromotoare dinamice. Toate suprafetele de control si dinamica motorului sunt modelate cu limite de pozitie.

2 Controlul tolerant al defectului actuatorului

Aceasta se va concentra pe proiectarea unui controler tolerant la defecte care sa faca fata defectarii actuatorului. Se considera sistemul liniar invariant in timp de ordinul n cu m intrari :

(1)

Unde . Ca si in (2.1) matricea k(t) este formata din functii scalare care satisface conditia . Acest model prezinta o scadere a eficientei pentru un tip particular de actuator. Daca actuatorul funtioneaza perfect. Daca actuatorul are anumite defecte. Fara pierderea generalitatii se presupune ca matricea de intrare are gradul cel mai mare iar perechea este controlabila. Functia este necunoscuta dar este delimitata si reprezinta incertitudinea din sistem

(2)

Unde sunt constante. Se ia in considerare numai controlul longitudinal : toate starile laterale si directionale au fost setate sa stearga valorile.

Controlerul este proiectat pentru a obtine o buna urmarire a unghiului de zbor si a vitezei de curgere a aerului. Controlerul miscarii de alunecare nominala a fost proiectat folosind modelul liniar obtinut de la FTLAB B747.

Liniarizarea a fost obtinuta in jurul unei conditii de operare de 300 tone, 184 m/s viteza de curgere a aerului si o altitudine de 4000 de metri. Rezultatul este un model de ordinul sase asociat cu unghiul de atac , viteza aerului , unghiul de tangaj , altitudinea , si pozitia orizontala in lungul axei Pamantului .

In scopul proiectarii nu au fost retinute decat primele patru stari si patru motoare individuale au fost agregate pentru a produce o singura intrare. Celelalte doua intrari reprezinta devierea profundorului si devierea stabilizatorului orizontal. In urmatoarele reprezentari spatiu-timp cele trei intrari au fost scalate individual ceea ce duce la :

(3)

(4)

unde starile reprezinta viteza de tangaj (rad/s), viteza de curgere a aerului (m/s), unghiul de atac (rad), unghiul de tangaj (rad). Intrarile asociate cu sunt devierea profundorului si forta de tractiune (N), este matricea distributiilor asociata cu stabilizatorul.

Fig.1

In timpul functionarii normale aeronava va fi controlata folosind propulsia si profundorul, dar in cazul defectarii profundorului stabilizatorul poate fi folosit ca back-up. In aceasta situatie va fi folosit ca sa inlocuiasca prima coloana a lui atunci cand controlerul de back-up a fost activat. Cand implementam controlerul la un model neliniar, un bloc gain este folosit pentru a recupera semnalul trimis la actuator. Iesirea controlerului este urmatoarea matrice :

(5)

care reprezinta unghiul de zbor (FPA) si viteza . Modelul liniar va fi folosit pentru a proiecta controlerul care va fi descris in continuare.

2.1 Proiectarea controlerului modului de alunecare

Actiunea integrala va fi inclusa pentru a adauga o facilitate de urmarire pentru cele doua iesiri controlate FPA si .

(6)

unde semnalul diferentiabil satisface

(7)

Cu o matrice stabila, vector constant.

(8)

unde

(9)

Deoarece perechea este controlabila, daca nu are nici un zero invariant in origine atunci (A,B) este controlabila. Definim

(10)

desinu apare in ecuatia (8) reprezinta matricea de distributie asociata ecuatiei (8) cand stabilizatorul este folosit ca back-up. Definim

(11)

unde este de cel mai mare rang. Daca o lege de control care forteaza traiectoria buclei inchise sa ramana pe suprafata S(t)=0 atunci o miscare de alunecare ideala a fost obtinuta. Presupunem ca matricea S este proiectata astfel incat matricea patratica SB este nesingulara. Rezulta ca miscarea de alunecare ideala este data de

pentru si .

Daca atunci apartine spatiului matricei .

Si miscarea de alunecare este independenta de incertitudini.

Cateva abordari au fost propuse pentru proiectarea lui S inclusiv minimizarea cuadrica. In plus fara pierderea generalitatii, suprafata poate fi proiectata intotdeauna astfel incat . Legea de control propusa are doua componente, una liniara si una neliniara.

(13)

unde componenta liniara este

(14)

unde este o matrice proiectata, si este componeneta discontinua care este functie de s. structura legii de control propuse este de forma

(15)

unde sunt constante pozitive, este componenta lui este componenta lui . este definit ca :

(16)

unde     

(17)

si constantele sunt din (2). Variabilele sunt gainuri care variaza conform cu :

(18)

unde sunt constante pozitive. Functia este o functie neliniara

(19)

unde este un scalar pozitiv. Daca apare un defect care incepe sa faca miscarea de alunecare sa se degradeze astfel incat sa evolueze in afara limitelor , apoi coeficientii dinamici cresc in magnitudine pentru a forta starile inapoi in stratul limita. Alegerea parametrilor de proiectare depinde de performantele buclei inchise si au nevoie de iteratii de proiectare. In general trebuie sa fie ales astfel incat gainul nominal al componentei neliniare a legii de control (15) sa asigure ca alunecarea se petrece intr-un sistem fara defecte. Parametrul este ales sa fie mic sa formeze un strat limita deasupra lui S. acesta dicteaza cat de sensibil este gainul adaptiv la schimbarile s(t). Gainul dicteaza rata la care creste in reactie la defecte. O valoare mare pentru indica o crestere rapida a lui . Pe de alta parte dicteaza rata la care descreste pana la gainul nominal cand defectul a fost rectificat.

Teorema 1:Se considera sistemulul cu erori reprezentat de (8) cu legea de control (15) ; apoi fiecare componenta ramane delimitata iar starile de comutatie intra in stratul limita din jurul lui S in timp finit.

Demonstratie. Se considera . Presupunem . Rezulta

Unde s-a presupus si sunt scalari pozitivi. De aici

(21)

Folosind (17) si rezulta

(22)

Definim scalarul

(23)

si componenta funtiei Lyapunov

(24)

unde este un scalar pozitiv din (18). Derivand rezulta ca

(25)

Substituind (16), (18), (21), (22) in (25) si notand rezulta

Daca atunci

(27)

Folosind (27) si (23) rezulta

Dezvoltand termenul din partea dreapta a ecuatiei (28) rezulta (27). Daca atunci .

sunt parametri de proiectare, si daca sunt alesi sa satisfaca conditia

(29)

Atunci

(30)

Daca atunci si substituind in (26) rezulta

si de aici pentru si rezulta . Definim

(32)

Fig 2

Observatii :

daca si atunci alunecarea ideala poate fi garantata dupa cum rezulta din (27). asta inseamna ca alunecarea ideala poate fi obtinuta si mentinuta in timp finit. Aceasta scheme adaptiva are dezavantajul in practica deoarece gainurile pot deveni nedelimitate in prezenta zgomotului .

Gainul adaptiv functioneaza ca o masura a severitatii defectelor actuatorului. Odata ce gainul adaptiv din (16) depaseste o valoare maxima predeterminata un defect sever este declarat si o strategie de control de back-up poate fi initiata

Din (23), devine infinit. In cazul unui defect total o strategie alternativa de control trebuie initiata.

2.2 Proiectarea hiperplanului modului de alunecare

Primul pas in proiectarea controlerului modului de alunecare este alegerea matricii suprafetei de alunecare S. O metoda este costul functiei. Metoda de proiectare abordata este descrisa in special pentru sistemele de aviatie. In primul rand consideram problema proiectarii matricei S a suprafetei de alunecare pentru sistemul nominal liniar asociat cu (24). Presupunem ca nu exista defecte k(t)=0si nu exista nici o referinta ceruta . De asemenea in scopul proiectarii se ignora termenul de incertitudine. Pentru sistemul liniar nominal se ia in considerare problema minimizarii indicelui de performanta cuadrica.

(33)

unde Q este simetric pozitiv, reprezinta timpul la care miscarea de alunecare incepe. Se defineste schimbarea de coordonate

(34)

unde este o matrice ortogonala

unde . Rezulta

(35)

unde

(36)

unde 'controlul virtual' satisface conditia

(37)

Aceasta reprezinta ecuatia hiperplanului . Costul optimal este dat de unde este solutia ecuatiei Riccati

(38)

unde este valoarea componentei de stare la timpul la care alunecarea are loc si alegerea optima este . Aceasta problema poate fi reprezentata ca o optimizare LMI. Minimizarea este

unde In cazul unui back-up matricea intrarilor distribuite este perturbata de schimbarile din actuator. Matricea noilor intrari distribuite este compusa din inlocuirea primei coloane a lui B in (9) asociata cu profundorul, cu in (10) asociata cu stabilizatorul. In forma regulata coordonatele sunt

unde si . Obtinerea unei miscari de alunecare poate fi mentinuta cu noile actuatoare in coordonate regulate, apoi

(40)

In loc de (36) si (37) unde este semnalul de control echivalent necesar mentinerii miscarii de alunecare pe S si reprezinta randurile 'n' de sus ale lui . Semnalul v-a fi o functie a starilor si v-a include efectele suplimentare nepotrivite ale perturbatiilor rezultate in urma defectului. Obiectivul este minimizarea efectului la valoarea nominala a sistemului in ecuatia (40).

(41)

In ansamblu problema optimizarii folosita aici este minimizarea lui .

(42)

Matricea 'Z' este o 'variabila statatoare' care satisface conditia si urma(Z) limiteaza urma(). poate fi aflat folosind standardul LMI. Matricea care determina hiperplanul este calculata ca si rezulta

(43)

Matricea nonsingulara este aleasa pentru a indeplini conditia .