Controlul tolerant la defecte folosind modurile de alunecare cu alocarea controlului online

Controlul tolerant la defecte folosind modurile de alunecare cu alocarea controlului online

1 Introducere

In cele mai multe sisteme critice de siguranta ca de exemplu avioanele moderne exista redundanta a actuatorului. Aceasta da libertatea de a proiecta sisteme FTC pentru a mentine stabilitatea si performante acceptabile in timpul defectelor. CA este o abrodare pentru a gestiona redundanta actuatorului pentru diferite strategii de control care sa faca fata defectelor actuatorului.

Beneficiile CA folosite ca mijloc pentru FTC este acela ca structura controlerului nu trebuie sa fie reconfigurata in cazul defectelor, CA putand sa faca fata direct defectarii totale a actuatorului, redistribuind semnalele de control.

In acest capitol se v-a folosi o combinatie intre SMC si CA pentru a obtine FTC. Sistemele propuse au fost testate in simulari pe un model de avion care a fost folosit in literatura de specialitate in cercetarea CA.

Strategia de control utilizeaza nivelul de eficacitate al actuatoarelor si redistribuie controlul catre actuatoarele ramase atunci cand se intampla o defectiune; aceasta fiind noutatea acestui capitol.

2 Proiectarea controlerului

Se considera sistemul liniar invariant in timp de ordinul cu intrari:

(1)

unde cu B se poate scrie ca:

(2)

Intrarea controlului virtual se poate scrie ca:

(3)

unde care reprezinta efortul de control total produs de actuatoare.

(4)

(5)

unde . Solutia optima pentru (5) este

(6)

Adesea in literatura de specialitate din (5) si (6) este setat la identificarea, care da metodei clasice Moore-Penrose, pseudo-inversa. O alta abordare este alegerea lui sa fie o matrice diagonala formata din limitele patratice de suprafata. In acest fel scaleaza fiecare suprafata de control bazata pe devierea limitei pentru a distrubui in mode gal efortul de control.

2.1 Formularea problemei

In acest capitol se considera situatia in care se dezvolta un defect in sistemul (1) asociat cu actuatoarele. Se v-a presupune ca in caz de aparitie a defectelor actuatorului ecuatia (1) poate fi scrisa ca:

(7)

unde unde sunt scalari care satisfac conditia . Daca actuatorul merge perfect, daca o eroare este prezenta iar daca actuatorul a cedat complet.

In acest capitol se v-a considera matricea de greutate . Daca informatiile despre defectele actuatorului sunt disponibile la un FDI astfel incat valorile ale eficacitaii actuatorului sunt cunoscute semnalul de control de la 'controlul virtual' poate fi redistribuit la actuatoarele ramase functionale folosind in (6). a fost aleasa ca:

(8)

Ca o consecinta directa si .

Fig. 1

Figura 1 ilustreaza strategia alocari de control a FTC. Alocarea de control v-a depinde de eficacitatea actuatoarelor. Informatiile necesare pentru a calcula pe pot fi furnizate de un sistem de reconstructie a defectelo sau folosind masuratorile devierii actuatorului comparate cu cererea care este disponibila in multe sisteme. O alternativa sunt sistemele de reconstructie a defectelor bazate pe filtre Kalman. Din (8) deducem daca un actuator se defecteaza, ponderea v-a fi schimbata si intrarea de control v-a fi realocata pentru a minimiza utilizarea suprafetei de control defecta. In cazul defectarii totale a suprafetei de control , si deci componenta a lui devine mare. Prin urmare este complet redistribuit la alte actuatoare. In multe sisteme cu redundanta a actuatoarelor ipoteza din capitolul (2) ca nu este valabila si deci factorizarea perfecta din (2) nu poate fi asigurata. Totusi starile sistemului pot fi oricand rearanjate si matricea B din (2) poate fi scrisa ca:

(9)

Separarea legii de control de sarcina alocarii de control are loc in mod natural cu metodele de proiectare ca liniarizarea feedback care foloseste controlul virtual intermediar.

In cele mai multe sisteme de avionica obiectivele controlului pot fi obtinute prin comandarea unor momente dezirabile pentru a fi generate de suprafata de control. In sistemele de avionica de exemplu, canalele asociate cu sunt ecuatiile acceleratiei unghiulare in ruliu,tangaj si giratie.Aici se presupune ca v-a reprezenta contribitia cea mai importanta a actiunii de control a sistemului. Daca ; aceasta reprezinta o situatie extrema unde efectul total de control se face numai prin .

Aici in proiectarea controlerului si analiza stabilitatii se va considera . Se v-a presupune ca starile sistemului (1) au fost transformate astfel incat . Aceasta este intotdeauna posibil deoarece

(10)

(11)

unde

(12)

Expresia (7) devine :

(13)

Obiectivul este sa folosim tehnica SMC pentru a sintetiza controlul virtual .

(14)

Daca o lege de control poate fi dezvoltata care sa forteze traiectoria buclei inchise pe suprafata S in timp finit si sa constranga starile sa ramana acolo, atunci se poate spune ca o miscare de alunecare ideala a fost obtinuta. Selectia suprafetei de alunecare este primul pas al oricarui proces de proiectare si defineste performantele sistemului in bucla inchisa.

Suprafata de alunecare v-a fi proiectata bazandu-se pe conditia nominala de defecte nule . Al doilea aspect al proiectarii controlului este sinteza legii de control asfel incat sa garanteze ca suprafata este atinsa in timp finit si modul de alunecare este ulterior mentinut.

Ecuatia (13) poate fi scrisa ca:

(15)

Daca

(16)

ecuatia (15) poate fi scrisa ca

Daca atunci sistemul nominal este

(18)

Daca

(19)

atunci ecuatia (17) devine

(20)

unde si

(21)

Deoarece din constructie matricea rezulta ca

si de aici

(22)

Ecuatia (20) devine

(23)

ultimul termen din (23) este zero. Definim

(24)

si de aici (23) devine

(25)

unde

(26)

Propozitia 1 :

Exista scalarul care este finit si independent de astfel incat

(27)

Demonstratie:

Deoarece rezulta dupa cum urmeaza: 

Observatia 1: daca W nu este diagonala, nu mai este nevoie sa fie limitat. Legea de control virtuala v-a fi acum proiectata bazandu-se pe sistemul nominal fara defecte in care partitia de sus a termenului din (25) este zero. In coordonatele din (25) o alegere convenabila pentru suprafata de alunecare este:

(28)

unde

(29)

Ecuatia (25) devine

unde este definit in (26).

(31)

unde este definit in (21). Definim

(32)

De aici rezulta ca . Deoarece este independent de , poate fi calculat folosind teorema 2. Daca este controlabila, atunci este controlabila si poate fi ales astfel incat sa fie stabila. Matricea poate fi aleasa si astfel incat din (32) sa satisfaca .

Substituind (31) in partitia de sus in (30) rezulta miscarea de alunecare

Observatia 2: in conditiile in care W=I rezulta

Si sitemul in (33) cedeaza care este sistemul nominal de ordin redus al miscarii de alunecare pentru care a fost proiectat sa garanteze stabilitatea. Sistemul in (33) depinde de si deci stabilitatea trebuie sa fie stabilita. Analiza stabilitatii examineaza ce se va intampla cu sistemul de ordin redus al miscarii de alunecare atunci cand e supus la defecte. Ideea este sa folosim instrumentele de proiectare pe care le avem la dispozitie pentru proiectarea suprafetei de alunecare fara defecte.

2.2 Analiza stabilitatii

Stabilitatea modului de alunecare este dependenta de sistemul de ordin redus (33). In mod obisnuit in SMC stabilitatea sistemului depinde doar de care este garantata sa fie stabila prin alegerea lui . poate fi proiectat folosind metode de proiectare a hiperplanului de alunecare standard presupunand o conditie nominala fara defecte . Definim:

(34)

unde reprezinta variabila Laplace. Presupunem ca

(35)

Propozitia 3

In timpul unei erori sau defect pentru orice combinatie sistemul buclei inchise va fi stabil daca

(36)

Demonstratie

Consideram sistemul de ordin redus din ecuatia (33) rescrisa ca

(37)

(38)

unde

(39)

Folosind faptul ca in general atunci

Daca

(41)

Atunci (33) este stabila

Observatie: Atat depind de proietarea suprafetei de alunecare deoarece ele depind de si sunt independente de . Scalarul depinde de dar este independent de .

Observatie : Daca atunci , chiar mai mult .

Acest lucru inseamna pe larg pentru sistemele slab cuplate in care este mic,ca abordarea va fi fezabila. In situatia in care poate fi considerata o situatie speciala caz in care . Ecuatia (36) reprezinta un test pentru a garanta stabilitatea in bucla inchisa a sistemului atunci cand apar defecte. O caracteristica importanta este aceea ca in scopul ca (33) sa aiba norma pseudo-inversei care depinde de trebuie sa fie delimitata .

2.3 Legile de control ale modului de alunecare

In continuare se prezinta proiectarea unui controler bazat pe sistemul (30). legea de control propusa are o structura data de

unde:

(42)

si componenta neliniara este definita ca

(43)

unde

Propozitia 4 : Presupunem ca matricea hiperplanului a fost aleasa ca sa fie stabila si alegem

(44)

Aceasta asigura ca o miscare de alunecare are loc in in timp finit.

Demonstratie

Din (30) rezulta

si

(45)

Aceasta implica

(46)

Observatie. Se poate arata ca definit in (42) pote fi scris ca . poate fi definit ca:

(47)

Retinem ca in cea mai mare parte a literaturii de specialitate SMC a fost testat cu succes pe sisteme cu defecte ale actuatoarelor. Cu conditia ca satisface ecuatia (36) controlerul modului de alunecare pentru ssitemul virtual propus mai sus, poate face fata defectarii totale a actuatorului in sistemul initial cu conditia ca .

Observatie. In acest capitol efectul de pozitie asupra actuatoarelor nu se ia in considerare. Oricum daca o viteza limita sau pozitie limitata este depasita aceasta ar putea fi interpretata de mecanismul de estimare ca defect, deoarece pozitia actuala a actuatorului ar fi diferita decat cea asteptata. Sistemul propus va incerca atunci sa reduca sarcina in acest canal si sa redistribuie efortul de control catre celelalte actuatoare care ar diminua efectul de saturatie. Pana acum s-a presupus ca eficacitatea care il determina pe si sunt cunoscute. In realitate intotdeauna v-a exista o eroare in calcularea lui

Efectul recontructiei imperfecte a defectului

Se considera ecuatia (7). Definim

(48)

Presupunem

(49)

unde . Deoarece (I-K)=W din (7) rezulta

(50)

(51)

Atunci (50) devine

(52)

Comparativ cu (17) ecuatia (53) are un termen aditional dependent de erorile si defectele in reconstructie. Ecuatia (53) devine

(55)

Consideram o alta transformare de coordonate definita in (29), atunci (55) devine

(56)

(57)

Substituind in prima ecuatie (56), aceasta da urmatorul sistem de ordin redus

Propozitia 5. Presupunem ca ecuatia (36) este valabila. In timpul unei erori sau unui defect pentru orice combinatie sistemul buclei inchise v-a fi stabil daca nepotrivirea dintre eroarea actuala sau reconstruita satisface

(59)

Demonstratie. Consideram sistemul de ordin redus din ecuatia (58) care poate fi rescris ca

(60)

Inegalitatea (59) implica

(61)

Deoarece

Deoarece

Inegalitatea (61) implica

(63)

Daca este valabila urmatoarea inegalitate

(64)

atunci (58) este stabila. Daca (64) si (59) sunt valabile atunci demonstratia este completa.

Propozitia Presupunem ca matricea hiperplanului M a fost aleasa astfeel incat sa fie stabila si

(65)

Apoi alegand

(66)

se asigura ca o miscare de alunecare are loc pe S in timp finit.

Demonstratie. Din (56) rezulta

Dupa ce substituim din (42). in consecinta subtituind in (43) rezulta

(67)

Aceasta implica

(68)

Probleme de proiectare ale modului de alunecare

Pe baza analizei de mai sus a stabilitatii, problemele proiectarii modului de alunecare pot fi rezumate dupa cum urmeaza:

1) Calcule de preproiectare

a) Se face o reordonare a starilor in (7) astfel incat intrarile matricei de distributie sunt impartite pentru a identifica pe .

b) Se scaleaza starea astfel incat

c) Se schimba coordonatele folosind transformarea liniara , unde este data in ecuatia (19) pentru a obtine forma canonica in (25).

d) se calculeaza cel mai mic scalar posibil .

Aceasta valoare este un calcul si este independent de alegerea suprefetei de alunecare si a legii de control.

Proiectarea matricii

Scopul proiectarii este sa calculam pe din (28) astfel incat sa fie stabila. Aceasta este posibil daca ) este controlabila.

Analiza stabilitatii

a)        Se calculeaza si se verifica daca. Daca nu se reproiecteaza .

b)       Se calculeaza .

c)        Se calculeaza . Aceasta este toleranta mxima de neconcordanta dintre defectul actual si cel estimat care garanteaza ca sistemul in bucla inchisa este stabil.

Obtinerea legii de control virtuale se face folosind (42) si (43) si legea de control actuala folosind (47)

Simularea folosind programul ADMIRE

Concluzii

In acest capitol au fost prezentate sisteme pentru alocarea de control online a modului de alunecare pentru controlul tolerant la defecte. Nivelul de eficacitate al actuatoarelor este folosit de sistemul CA pentru a redistribui semnalele de control la actuatoarele ramase functionale atunci cand apar defecte. Acest capitol a oferit o analiza a sistemului de alocare de control a modului de alunecare propuse si a determinat gainul neliniar necesar pentru a mentine alunecarea.