Reprezentarea in complex a marimilor electrice alternative

O retea de curent alternativ este orice grupare de rezistente, condensatori si bobine prin care trec curenti care oscileaza stationar la pulsatia constanta ω. Una sau mai multe surse de tensiune electromotoare intretin oscilatia. Printr-o ramura a retelei, curentul in functie de timp este de forma:

i = I_maxsin(ωt + φ_i). Deoarece pulsatia este aceeasi pentru intreaga retea, doua numere I_max si φ_i sunt suficiente pentru a determina la orice moment curentul intr-o ramura particulara. In mod asemanator tensiunea pe ramura oscileaza dupa legea u = U_maxsin(ωt + φ_u). Daca am determinat curentii si tensiunile in toate ramurile unei retele, inseamna ca am analizat-o complet. A le gasi prin construirea si rezolvarea ecuatiilor diferentiale corespunzatoare este, desigur, posibil, si daca ne intereseaza comportarea tranzitorie a retelei, avem de facut asa ceva. Pentru solutia stationara, am putea folosi metoda fazoriala, prezentata in orice manual de electricitate. Din pacate, in cazul retelelor ceva mai complexe, diagramele devin complicate si dificil de analizat. Exista insa o metoda simpla si eleganta, bazata pe ideea ca orice marime sinusoidala se poate reprezenta printr-un numar complex.

O expresie de forma , unde a si b sunt doua numere reale iar se numeste numar complex. Punctul M(a,b) se numeste imaginea numarului complex. Marimea segmentului OM reprezinta modulul numarului complex, iar unghiul dintre el si axa reala Ox este argumentul acestuia. Vom avea deci si , modulul respectiv argumentul lui . Numarul complex poate fi scris si sub forma trigonometrica , sau exponentiala .

Numarul complex se numeste conjugatul lui .

Este usor de aratat ca prin inmultirea unui numar complex cu j se obtine un alt numar complex, cu acelasi modul, dar cu argumentul mai mare cu . Daca se inmulteste cu - j , atunci argumentul produsului are argumentul mai mic cu , decat cel al lui .

Fie acum o marime complexa care depinde de timp, de forma:

Viteza de variatie a acestei marimi ( derivata ei in raport cu timpul ) este data de relatia: . Invers, daca viteza de variatie a unei marimi complexe este de forma:

X[cos(wt + θ) + jsin(wt + θ),

atunci marimea respectiva se obtine impartind viteza de variatie la jω. Din cele de mai sus se observa ca operatiile cu numere complexe sunt echivalente cu operatiile cu marimi sinusoidale sau cu cele cu fazori.

Vom atasa intensitatii i = I_maxsin(ωt + φ) numarul complex numit intensitate efectiva complexa. Analog tensiunea alternativa se va reprezenta prin tensiunea efectiva complexa . Modulele acestor numere complexe sunt egale cu valorile efective ale marimilor electrice corespunzatoare.

In cele continuare vom arata cum se lucreaza cu aceste marimi complexe.

Rezistor in curent alternativ

Aplicand unui rezistor o tensiune alternativa de forma u = U_max sinωt, intensitatea curentului va fi de forma i = I_maxsin(ωt + φ). Legea lui Ohm pentru valori momentane u = u_R = iR conduce la φ = 0 si

U_max = R I_max sau U_R = RI_R.

In complex si , iar legea lui Ohm .

Bobina ideala in curent alternativ

Daca tensiunea aplicata este de forma u = U_maxsinωt, intensitatea este , iar legea lui Ohm pentru valori efective U_L = X_L I_L. Tensiunea si intensitatea complexa sunt:

, respectiv

Intensitatea complexa se poate pune sub forma , sau introducand reactanta inductiva complexa , se obtine legea lui Ohm

Condensator ideal in curent alternativ

Daca se aplica tensiunea alternativa u = U_max sinωt, unui condensator ideal, intensitatea curentului care il strabate are forma , egalitatea U_C = X_CI_C reprezentand legea lui Ohm. Marimile complexe

si

reprezinta tensiunea si intensitatea complexa. Intensitatea complexa se poate pune sub forma . Notand , legea lui Ohm se scrie

Impedanta complexa

Prin definitie raportul este impedanta complexa a unei portiuni de circuit. Presupunem ca si .

Impedanta complexa devine :

Se vede usor ca modulul sau reprezinta impedanta reala, iar argumentul este defazajul dintre tensiune si curent. Partea reala a impedantei complexe reprezinta rezistenta totala, iar cea imaginara reactanta totala.

Legile lui Kirchhoff

Principalul avantaj al reprezentarii in complex il reprezinta faptul ca legile lui Kirchhoff si implicit consecintele acestora se scriu sub aceiasi forma ca si in curent continuu.

Legea I      :

Legea II :

Conventiile folosite pentru aplicarea acestor legi sunt cele din curent continuu, atribuindu-se sensuri ale intensitatilor complexe pe fiecare ramura si polaritati ale t.e.m. complexe ale surselor.

Puterea complexa

Marimea se numeste putere complexa. Daca

si ,

atunci , sau

7. Rezonanta complexa

Conditia de rezonanta se traduce in complex prin anularea coeficientului lui j din expresia impedantei.

Exemple

a)      Circuitul RLC serie

, care se poate scrie si de unde , sau . Modulul acestei marimi este impedanta reala a circuitului, iar argumentul ei reprezinta defazajul dintre tensiune si curent la bornele circuitului.

b)      Circuitul RLC paralel

Prima lege a lui Kirchhoff , conduce imediat la , de unde

si

c)      Gruparea impedantelor complexe

Se poate arata usor ca in complex formulele pentru gruparile impedantelor au aceiasi forma ca si in cazul curentului continuu: - pentru gruparea serie, respectiv - pentru gruparea paralel

d)      Probleme rezolvate

1˚. Se considera un circuit paralel de curent alternativ, fiecare ramura continand cate un circuit RLC serie. Cunoscand R₁ ,L₁ ,C₁ pe una din ramuri, respectiv R₂ ,L₂ ,C₂ pe cealalta, precum si pulsatia tensiunii de alimentare se cere:

α) impedanta circuitului;

β) pulsatia de rezonanta daca R₁ = R₂ = R.

2˚. Stabiliti conditia de echilibru a puntii Wheatstone in curent alternativ.

3˚. Un circuit de curent alternativ este format dintr-o grupare RL legata in paralel cu un condensator. Considerand ca toate elementele sunt ideale si cunoscand R, L si C sa se calculeze pulsatia de rezonanta si sa se determine impedanta corespunzatoare rezonantei.

Rezolvari

1˚. Fie , respectiv

impedantele complexe ale celor doua ramuri.

Impedanta complexa echivalenta va fi:

, iar conjugata ei: .

Notand si se gaseste , de unde .

Putem scrie: . Conditia de rezonanta este .

In cazul particular de la β) , aceasta devine:

, cu solutiile:

, , unde am notat B = L₁C₁ + L₂C₂ - R²C₁C₂ .

Circuitul are 3 pulsatii de rezonanta daca

2˚. Puntea fiind echilibrata, prin instrument nu trece curent. Asta inseamna ca prin impedantele Z₁ si Z₄ trece acelasi curent I₁ , iar prin Z₂ si Z₄ circula un curent I₂ . Rezulta ca punctele C si D au acelasi potential, sau , si . Se obtine imediat: . Cum fiecare impedanta este de forma , relatia anterioara este echivalenta cu urmatoarele doua conditii simultane in care intervin marimi reale:

R₁R₃ - X₁X₃ = R₂R₄ - X₂X₄

si

R₁X₃ + X₁R₃ = R₂X₄ - X₂R₄

3˚. Impedanta complexa echivalenta se calculeaza din , care se mai scrie: . Conditia de rezonanta ( anularea partii imaginare ) duce la: . Evident ca rezonanta se poate obtine numai daca L > R²C. In conditii de rezonanta impedanta complexa coincide cu cea reala si se obtine .

Bibliografie:

M. Sandu: Teme si probleme pentru cercurile de fizica, Ed. Hyperion XXI, Bucuresti 1993