Controlul Modului de Alunecare

Controlul Modului de Alunecare

Acesta a fost conceput in URSS in anii '50 si s-a raspandit in Vest in anii '70. SMC este un tip de control non-liniar si un caz special de control al structurii variabile. Este o metodologie de control robust. Designul controlerului este unic comparativ cu alte metode de control deoarece performantele controlerului depind de designul supafetei de alunecare si nu de urmarirea directa a starii. Ideea este de a forta traiectoria starii spre suprafata de alunecare si odata atinsa, starile sunt fortate sa ramana pe suprafata respectiva. Controlul modului de alunecare are o proprietate robusta la un anumit tip de incertitudine, care face SMC un candidat puternic pentru FTC pasive cand actuatorul se defecteaza. SMC are potentialul de a deveni o alternativa la controlul reconfigurabil, si are capacitatea de a mentine performantele necesare fara a necesita un FDI. In capitolul anterior tabelul 2.1 indica faptul ca SMC este definit ca o metodologie de control robusta si are capacitatea de a manipula daunele structurale si defectele actuatorului fara reconfigurare. Obiectivul acestui capitol este de a introduce conceptul de moduri de alunecare si de a examina proprietatile sale, in scopul de a sublinia beneficiile sale in domeniile FTC si FDI. Pentru a introduce conceptul de SMC este intreprinsa o analiza pe baza unui simplu pendul.

1 Introducere

Exista doua etape pentru proiectarea controlerelor SMC. In primul rand sunt proiectate suprafetele de alunecare. Numai atunci pot fi proiectate legile de control, astfel incat alunecarea este realizata si se mentine pe suprafata. Odata ce apare alunecarea, robustetea la un anumit tip de incertitudine este garantata si sistemul se comporta ca o miscare redusa independenta de control. Performanta controlerului depinde de alegerea suprafetei de alunecare. Un exemplu tipic de mod de alunecrae este legea de control formata din componente liniare si neliniare. Legea de control neliniara conduce starile spre suprafata de alunecare si odata ajunse la suprafata legea de control liniara devine din ce in ce mai mult dominanta fata de cea neliniara. Partea neliniara determina proprietatile de robustete ale controlerului.

1.1 Forma regulata

In scopul explicarii modului de alunecare si proprietatile sale, in mod convenabil sistemul trebuie sa fie transformat intr-o forma canonica adecvata. Se ia in considerare urmatorul sistem liniar invariant in timp(LTI):

(1)

unde , ,.

Presupunem ca si este controlabila. Deoarece

(2)

unde nesingulara.

Matricea ortogonala poate fi calculata folosind descompunerea "QR".

(3)

Unde ; astfel incat ecuatia(1) se scrie ca:

(4)

Aceasta reprezinta forma regulata.

Definim o combinatie liniara a starilor ca:

(5)

unde iar se poate scrie ca:

(6)

Ecuatia (5) se numeste functia de comutatie. Matricea se poate scrie ca:

(7)

unde . se alege astfel incat In timpul alunecarii pentru

(8)

Ecuatia (8) implica faptul ca odata ce este cunoscut starile sunt complet determinate. De aceea din ecuatia (4) se ia in considerare numai

(9)

Si apoi substituim din (8) in (9) rezulta

(10)

unde . Alegerea suprafetei in (6) in mod clar afecteaza dinamica in (10) prin proiectarea lui in (8). stabilitatea sistemului in (10) depinde de ordinea redusa a perechii Astfel proiectarea lui depinde de controlabilitatea perechii . Perechea de matrici este controlabila daca este controlabila. Cu alte cuvinte daca sistemul original este controlabil poate fi proiectat folosind metoda de stare cu feed-back clasica si odata ce a fost obtinut si suprafata poate fi obtinuta. In ansamblu problema proiectarii controlului modului de alunecare poate fi vazuta ca :

proiectarea matricei pentru a atinge nivelul de performanta necesar si o stabilitate pentru bucla in circuit inhis a modului de alunecare.

Proiectarea unei legi de control pentru a se asigura ca suprafata de alunecare este atinsa si ulterior mentinuta.

Aceasta procedura de proiectare este unica si diferentiaza SMC de alte metode clasice. Orice metoda de stare cu feed-back poate fi folosita pentru a calcula pe iar apoi matricea poate fi scrisa ca:

(11)

Matricea nesingulara poate fi arbitrar aleasa, dar pentru usurarea calculelor adesea se alege .

Urmatoarele abordari clasice pot fi alese pentru a obtine matricea iar apoi pe .

1. minimizarea cuadrica.

2. rezistenta robustetii.

atribuirea rezistentii directe.

Abordarile recente pentru proiectarea lui se bazeaza pe inegalitatea matricilor liniare (LMI). Legea de control nu este proiectata pentru a specifica direct dinamica dorita pentru sistemul in bucla inchisa, dar mai degraba pentru a asigura ca suparfata de control este atinsa si miscarea este obtinuta. In literatura este proiectat pentru ca conditiile de saturare sa fie indeplinite. In cazul unei singure intrari in sistem:

(12)

sau mai compact

(13)

unde . Aceasta este adesea numita conditia de atingere. O conditie mai stricta de 'atingere' pentru a se asigura ca legea de control este conceputa astfel incat suprafata de alunecare este atinsa in ciuda prezentei incertitudinilor, si in timp finit este data de:

(14)

Unde este un scalar pozitiv.

Observatii

- nu are nici un efect direct asupra dinamicii modului de alunecare. In ecuatiile (8) si (11) actioneaza doar ca un factor de scalare pentru schimbarea functiei.

- in analiza de mai sus in timpul unui mod de alunecare ideal sistemul in bucla inchisa care reglementeaza miscarea de alunecare data de ecuatia (10) este de ordin redus.

- pentru sisteme multivariabile ecuatia (14) este de forma:

(15)

Unde este un scalar pozitiv

1.2 Proprietati ale modului de alunecare

In timpul alunecarii :

- Sistemul se comporta ca o miscare redusa care nu depinde de

- Exista stari care determina dinamica sistemului in bucla inchisa

- Miscarea de alunecare in bucla inchisa depinde numai de suprafata de alunecare

- Polii miscarii de alunecare sunt dati de zerourile invariante ale sistemului .

O a cincea proprietate care este cea mai importanta in termeni FTC pentru manipularea defectelor actuatorului este discutata in continuare. Se considera sistemul liniar:

(16)

unde este cunoscuta si reprezinta incertitudinea. In timpul alunecarii:

(17)

care implica

(18)

Rearanjand ecuatia in functie de rezulta

(19)

Cantitatea se numeste control echivalent si este valoarea medie teoretica pentru care semnalul de control trebuie sa o aiba pentru a mentine miscarea de alunecare pe S. Substituind in (16) rezulta

Este usor de verificat ca satisface conditia:

(21)

Daca atunci D=BR,

(22)

Si deoarece rezulta

(23)

Se poate vedea ca in timpul unei miscari de alunecare ideala incertitudinea nu afecteaza miscarea de alunecare.

2 Pendulul

In aceasta sectiune se vor aplica metodele de mai sus la un pendul pentru a oferi o introspectiva in proiectarea sistemului SMC si a miscarii de alunecare. Se considera un pendul tipic care consta dintr-o greutate si un fir care este actionat de un motor de cuplu la punctul de suspensie. Obiectivul este de a proiecta un controler de mod de alunecare astfel incat pendulul sa ramana la verticala, cand acesta este lasat sa se balanseze. Dinamicile buclei inchise sunt alese pentru a fi solutionate in mai putin de 3 secunde fara a depasi unghiul de deplasare al pendulului. Se considera urmatorul sistem. Ecuatia dinamica este data de

(24)

Unde reprezinta deplasarea unghiulara facuta de verticala, este cuplul aplicat, este masa, este acceleratia gravitationala, este lungimea firului.

Figura 1

Exemplu

Presupunem , , . Liniarizand ecuatia (24) in jurul verticalei pozitiei de echilibru randamentul este:

(25)

unde starile reprezinta care sunt deplasarile unghiulare si viteza unghiulara. Matricea are un singur non-zero in partea de jos si este o forma regulate ca in (4). Primul pas este proiectarea suprafetei de alunecare adica matricea . In timpul unei miscari ideale de alunecare . Din (8) rezulta:

(26)

unde si sunt scalari. Substituind (26) in (25) rezulta

(27)

si solutia este reprezinta timpul in care are loc alunecarea. Daca rezulta

(28)

Se considera urmatoarea lege de control

(29)

Unde este un scalar pozitiv

(30)

Inlocuid (29) in (30) rezulta

(31)

(32)

Prin urmare legea de control aleasa satisface conditia de atingere in (15). Folosind matricea obtinuta prin proiectarea lui (28) si rezulta

(33)

2.1 Simulari si rezultate

2.2 O lege de control practica

Se considera urmatoarea lege de control

(35)

Unde este un scalar negativ. Cantitatea este un scalar mic pozitiv si depinde de magnitudinea incertitudinii. Diferenta intre controlerul din ecuatia (35) si (29) este introducerea termenului si aproximarea termenului sgn(s). Alegem , , . Ecuatia (35) devine

3 Vectorul unitate

In sectiunea anterioara a fost introdusa o practica de proiectare pentru un controler pentru un sistem pendular. Sistemul pendular reprezinta un sistem cu o singura intrare. Cea mai convenabila structura de control pentru sisteme multivariabile ditr-o perspectiva a modului de alunecare este vectorul unitate. Aceasta metoda va forma baza proiectarii controlerului in aceasta teza. Se considera un sistem cu o incertitudune matematica

(36)

unde .

(37)

Exista o transformare ortogonala astfel incat sistemul de mai sus sa fie transformat in urmatoarea forma regulata

(38)

unde este o proiectia a lui in forma coordonatelor regulate. De aici

(39)

Deci forma Euclidiana a lui este pastrata de catre transformarea ortogonala. In forma sa regulata functia de comutare poate fi scrisa ca

(40)

Alegerea lui este arbitrara dar aici este aleasa astfel incat

(41)

unde este matrice diagonala nesingulara. Definim o alta transformare de coordonate astfel incat sistemul sa poata fi impartit in:

(42)

unde matricea de transformare este data de

(43)

Apoi sistemul(38) poate fi scris ca

(44)

unde

Legea de control a lui Ryan si Corless cuprinde componente liniare si neliniare date de

(45)

Componenta liniara este

(46)

unde si componenta neliniara este

(47)

unde este o matrice simetrica pozitiva care satisface ecuatia Lyapunov.

(48)

Functia scala depinde de marimea incertitudinii si este orice functie care satisface conditia

(49)

unde , =const,

Analiza stabilitatii pentru un sistem in bucla inchisa

Problema determinarii stabilitatii unui sistem in bucla inchisa sub influenta unor incertitudini potrivite devine o problema a asigurarii alunecarii in ciuda prezentei incertitudinii. Acest lucru se datoreaza faptului ca atunci cand controlerul induce o miscare de alunecare ideala sistemului in bucla inchisa este stabil din proiectare. Aceasta sectiune v-a arata ca controlerul vectorului unitate (45) tot v-a induce alunecarea in pofida prezentei incertitudinii. Substituind legea de control (45) in (44) rezulta

(50)

(51)

Se considera functia Lyapunov . Diferentiind functia Lyapunov rezulta

(52)

Deoarece

Deoarece rezulta

(53)

Ideea este sa reprezentam pe in (53) in functie de gradul de incertitudine , folosind pe in (49). Din (45) si (47) folosind proprietatea de inegalitate a triunghiului rezulta

(54)

Ecuatia (49) poate fi scrisa ca:

(55)

Rearanjand ecuatia rezulta

(56)

Din ecuatia (54) si (37) ecuatia de mai sus poate fi scrisa ca

(57)

Inlocuind (57) in (53) rezulta

(58)

2 Unitatea vector, termenul de pseudo-alunecare

In obtinerea acestei miscari de alunecare ideale apare frecventa discontinua, infinita de schimbare sau chattering. Aceasta este inoportuna pentru unele sisteme practice, in special in cazul sistemelor mecanice cu actuatoare predispuse la uzura. Prin urmare este necesar ca aceasta discontinuitate sa fie aplatizata si se obtine o aproximare a alunecarii ideale. Aici starile sistemului sunt necesare doar pentru a ramane aproape de suprafata de alunecare si nu pe suprafata. Totusi proprietatile de robustete ale incertitidinii potrivite nu mai sunt garantate. Pe de alta parte in cazul in care aproximarea este destul de aproape de valoarea reala a discontinuitatii o buna aproximare a alunecarii ideale inca poate fi obtinuta. De aceea este un compromis intre robustete si reducerea efectului de chattering. Exista mai multe metode folosite pentru a obtine pseudo-alunecarea; dar cea care este folosita in aceasta teza se bazeaza pe metoda numita 'aproximare fractionara'. Alte metode de aproximare sunt abordarea stratului limita si puterea legii de interpolare. Termenul neliniar al legii de control din ecuatia (35) este dat de:

(60)

unde . Daca aproximarea v-a fi mai buna cu functia discontinua sgn(s); dar pentru a reduce chatteringul trebuie sa fie mai mare.

4 Proiectarea suprafetei de alunecare

In acest subcapitol se v-a discuta proiectarea suprafetei de schimbare in special a matricei si a functiei de comutatie .

4.1 Minimizarea cuadrica

Se considera sistemul liniar

(61)

Cu semnalul de eroare

(62)

Problema regulatorului liniar cuadric (LQR) este de a gasi intrarea de control pentru a minimiza costul energiei.

(63)

Cu alte cuvinte gasirea efortului optim pentru a obtine performantele dorite. Presupunem ca este inversabila si egala cu zero. Ecuatia (62) se substituie in (63)

(64)

Daca si atunci rezulta

(65)

u(t)=Kx(t) unde

(66)

Si satisface conditia

(67)

In proiectarea suprafetei de alunecare controlul intrarii nu este considerat in mod explicit.

(68)

unde este timpul de inceput al alunecarii. Se considera transformarea de coordonata . Matricea Q in forma regulata poate fi scrisa ca

(69)

unde . De aici in forma regulata LQR poate fi scris ca

(70)

Ecuatia (70) nu are forma starii de feed-back a LQR.

Folosind (71) ecuatia (70) poate fi scrisa ca

Definim

(73)

Si pseudo controlul este

(74)

Ecuatia (72) poate fi scrisa ca

(75)

Minimizarea este asociata cu sistemul dinamic in ecuatia (9) care este dat de formula

(76)

Eliminand pe in (76) folosind (74) sistemul devine

(77)

Legea de control optimal este

(78)

Unde satisface conditia

(79)

Daca s(t)=0 atunci

(80)

Din (74) si (78) rezulta

(81)

Si deci matricea M se defineste ca

(82)

Odata ce a fost obtinuta matricea poate fi calculata folosind (11) unde poate fi aleasa in mod arbitrar. In aceasta teza v-a fi ales astfel incat

Proiectarea controlerului pentru urmarire

Legea de control a fost proiectata astfel incat traiectoria sistemului sa revina la punctul de echilibru.

In [67] sunt discutate in detaliu doua metode : urmarirea folosind actiunea integrala si abordarea modelului de referinta.

5.1 Abordarea actiunii integrale

Se considera sistemul liniar regulat

(83)

Unde

(84)

Unde

(85)

Unde este semnalul de referinta filtrat

(86)

unde si este o matrice stabila, iar este un vector constant. Semnalul reprezinta pasul schimbarii in cerinta care nu este diferentiabil la un anumit interval de timp. Ecuatia (86) reprezinta o versiune a semnalului si deci aceasta ecuatie poate fi vizualizata in termeni clasici ca o prefiltrare a semnalului. Analiza sistemului de urmarire este descrisa mai jos

(87)

Sistemul augumentat poate fi scris sub forma

(88)

Deoarece perechea se presupune ca este in forma regulata starea poate fi impartita ca in

(89)

Putem scrie noua forma

(90)

unde matricea sistemului augumentat si impartit este

(91)

si

(92)

In expresia (91) matricea este o partitie a matricei C. obiectivul este sa proiectam o suprafata de alunecare de forma

(93)

unde este proiectata sa indeplineasca performantele specificate pentru sistemul de ordin redus in bucla inchisa. Matricea poate fi impartita ca mai jos:

(94)

Presupunem ca este o matrice diagonala nesingulara. In timpul unei miscari de alunecare ideala sistemul de ordin redus este reglementat de partitia de sus ecuatiei (90) care este:

(95)

In timpul miscarii de alunecare s(t)=0 si deci

(96)

si

(97)

unde . Substituind (97) in partea de sus a lui (90) rezulta

(98)

Proiectarea unui hiperplan este determinat de controlabilitatea perechii . Daca sistemul triplu este complet controlabil si nu are nici un zero invariant in origine atunci perechea este perfect controlabila. Daca conditia de mai sus este satisfacuta atunci metoda de proiectare descris in (41) poate fi folosita pentru sistemul de mai sus. Metoda vectorului unitate descrisa anterior va fi aplicata sistemului augumentat de mai sus. Mai intai transformam sistemul folosind schimbarea de coordonate asociate cu matricea:

(99)

rezulta

(100)

si sistemul poate fi scris ca

(101)

unde

Controlerul propus va avea forma unde

(102)

si

(103)

unde este o matrice care satisface conditia

(104)

si . Ecuatia (102) poate fi scrisa ca

(105)

unde

(106)

(107)

5.2 Metoda modelului de referinta

In aceasta abordare ideea este sa comparam iesirea sistemului nominal cu un model liniar. Informatia obtinuta de la eroarea de urmarire dintre iesirea sistemului nominal si modelul ideal este luata ca model al variabilei de stare. Se considera sistemul nominal

(108)

Si presupunem ca modelul indeal este

(109)

Unde si este un vector de intrare, adica semnalul de referinta. Eroarea de urmarire este

(110)

Daca urmarirea este perfecta . Obiectivul metodei modelului de referinta este sa proiectam un controler astfel incat eroarea de urmarire sa fie zero. Presupunem ca perechea modelului de referinta este obtinuta din gainul controlerului, prin ecuatia

(111)

si

(112)

In lucrarea se propune ca structura controlerului sa fie de forma

(113)

Consideram eroarea derivata data in ecuatia (110)

(114)

Adaugand si scazand la ecuatia (114) rezulta

(115)

Pe baza ecuatiei (115) un controler poate fi proiectat pentru a elimina termenii si din partea dreapta a ecuatiei. In primul rand se defineste eroarea functiei de comutatie

(116)

Care corespunde urmatorului hiperplan

(117)

Deci in timpul unei miscari de alunecare ideale

(118)

Diferentiind si substituind ecuatia (115) rezulta

(119)

Presupunem ca este nesingulara, rezulta

(120)

Sistemul de ordin redus este dat de

(121)

Substituind ecuatia (111) si (112) rezulta

(122)

In timpul unei miscari de alunecare ideala ecuatia (122) se reduce la

(123)

Daca perechea este controlabila atunci matricea a hiperplanului poate fi proiectata folosind oricare din metodele anterioare astfel incat si . Se presupune un controler de forma (113) unde

(124)

si unde

(125)

si

(126)

unde si satisface conditia

(127)

Scalarul depinde de marimea incertitudinii si este o matrice stabila.

6 Folosirea SMC in aplicatiile FTC

6.1 Robustete impotriva defectelor actuatorului

Daca in (2.1) defectele actuatorului intr-un sistem liniar pot fi reprezentate ca

(128)

Unde si deci sunt scalari

Aceasta reprezentare a defectului actuatorului de potriveste cu definitia pentru incertitudini potrivite din subcapitolul 1.2. Cand actuatorul functioneaza perfect. Cand actuatorul are un anumit grad de defectiune. Cand actuatorul a cedat complet. Proprietatile de robustete ale modului de alunecare impotriva defectelor actuatorului il fac un candidat potrivit pentru FTC. Cativa cercetatori au studiat potentialul modului de control al alunecarii in domeniul controlului reconfigurabil si in domeniul FTC.

6.2 Defectele actuatorului

In ciuda capacitatii sale de a manipula defecetele actuatorului fara a fi necesara reconfigurarea, nu poate face fata direct defectarii totala a actuatorului. In timpul defectarii totale a actuatorului un anumit tip de reconfigurare sau acomodare este necesara pentru a permite SMC sa faca fata defectarii acestuia. In anumite sisteme dublarea redundantei acuatorului este disponibila. In aceasta situatie controlerul modului de alunecare poate face fata defectarii totale prin simpla schimbare a semnalului de control catre dublura actuatoruluiu fara a fi nevoie de reconfigurare. Acest lucru este simplu de facut deoarece acelasi controler de iesire al modului de alunecare v-a fi in masura sa fie folosit de mai multe actuatoare.

Aceasta este totusi restrictionata la sistemele cu actuatoare redundante care sunt o copie fidela a originalului. In multe sisteme reale duplicarea nu este disponibila. Astfel sunt necesare alte instrumente ale sistemului care sa faca fata defectarii totale a actuatorului. Acest fapt ridica intrebarea daca si alte instrumente pot fi combinate cu controlul modului de alunecare pentru a face fata defectarii totale a actuatorului. Un potential candidat din lista metodelor FTC este CA. In sitemele de siguranta critice deja exista redundante disponibile. Aceste redundante pot fi gestionate intr-o buna modalitate de catre CA pentru atingerea mai multor obiective inclusiv reducerea consumului de carburant. In acest caz CA are abilitatea de a redistribui semanlele de control catre actuatoarele functionale.

Chiar mai bine, o combinatie intre proprietatile robuste ale SMC si capacitatile de realocare a controlului ale CA dau posibilitatea controlerelor simple si robuste sa faca fata defectelor fara reconfigurare. Aceasta permite unui singur controler sa lucreze in orice conditii.

Sistemul SMC pe un avion mare de transport

Pentru a imbunatatii siguranta aeronavelor mari de pasageri deja exista in literatura de spacialitate informatii despre FTC; fara a mentiona munca celor de la NASA cu privire la aeronavele controlate prin propulsie.Toate lucrarile descriu munca de cercetare asupra modelului B-747 bazat pe software-ul numit FTLAB747. In [80] un contoler LPV este propus pentru FTC, totusi este luat in considerare doar conrolul longitudinal. In [247] este luat in considerare atat controlul longitudinal cat si cel lateral dar este aplicat numai unui model liniar. Metodele modului de alunecare au fost aplicate unor prototipuri de aeronave de inalta performanta.

8 Concluzii

In acest capitol conceptul de proces de proiectare pentru ideile modului de alunecare au fost prezentate folosind ca exemplu un pendul. Au fost in special prezentate proprietatile de robustete impotriva incertitudinilor potrivite. Modificarea legii de control pentru a indeplinii cerintele de urmarire a fost de asemenea discutata. In final au fost prezentate avantajele si dezavantajele controlului modului de alunecare si cum pot fi ele aplicate la FTC.