DINAMICA SISTEMELOR CU 1 GLD. VIBRATII LIBERE FARA AMORTIZARE

Dinamica sistemelor cu 1 GLD. Vibratii libere fara amortizare

Necesitatea studiului acestor sisteme

Aspectele fenomenologice rezultate din analiza sistemelor cu 1 GLD constitue cazul cel lami elementar de initiere in dinamica structurilor, intrucat fundamenteaza conceptele necesare abordarii unor situatii mai complexe.

Un sistem dinamic cu 1 GLD, in miscare de translatie, reprezinta o asociere a celor trei caracteristici unice care definesc modelul dinamic: caracteristica inertiala (prin masa m), caracteristica disipativa (prin coeficientul de amortizare) si caracteristica elastica (prin coeficientii de rigiditate si/sau de flexibilitate).

Majoritatea fenomenelor dinamice pot fi puse in evidenta cu claritate prin studuil sistemelor cu 1 GLD. Pentru sistemele dinamice cu comportare liniara, studiul celor cu n GLD poate fi redus la studiul a n sisteme fiecare cu 1 GLD.

Ecuatia miscarii si valorile proprii

Actiunile care se manifesta asupra sistemului cu 1 GLD pot fi de doua categorii si anume: (i) directe, care se manifesta prin forte exterioare aplicate structurii; (ii) indirecte, care se manifesta prin miscari transmise bazei de sprijinire.

Ecuatiile de conditie care guverneaza miscarea sistemului cu 1 GLD se obtin prin exprimarea echilibrului dinamic instantaneu, cu mentiunea ca echilibrul dinamic se raporteaza la pozitia de echilibru static a sistemelor sub actiunea incarcarilor gravitationale.

In cazul actiunilor dinamice directe, fortele care participa la echilibrul dinamic instantaneu sunt urmatoarele: (i) forta de inertie, ; (ii) forta de amortizare, ; (iii) forta elastica, ; (iv) forta perturbatoare, . Ecuatia de miscare va fi de forma:

sau sau

Relatiile anterioare corespund unei ecuatii diferentiale ordinare, de ordinul II, cu coeficienti constanti (m, c si k). Forma finala a ecuatiei de miscare se va obtine introducand notatiile:

si

Constantele pe care le contine ecuatia anterioara au semnificatii fizice precise. Astfel, β reprezinta un factor de amortizare, iar w reprezinta pulsatia proprie a sistemului dinamic (neinflunetata de prezenta amortizarii).

In cazul actiunilor dinamice indirecte, fortele care participa la echilibrul dinamic instantaneu sunt urmatoarele: (i) forta de inertie, ; (ii) forta de amortizare, ; (iii) forta elastica, . Ecuatia de miscare va fi de forma:

sau sau sau

sau

Forma integrabila a ecuatiei de miscare devine:

Actiunile de tip indirect u(t), fiind specifice miscarilor seismice, vor fi tratate mai pe larg in partea a II^a a cursului. Prin integrarea ecuatiilor de miscare se obtine reaspunsul structurii exprimat prin deplasari, care din punct de vedere matematic reprezinta solutia generala a ecuatiilor de miscare.

Solutia generala (raspunsul total) se exprima prin suma dintre solutia ecuatiei omogene si o solutie particulara care satisface intreaga ecuatie (inclusiv termenul din partea dreapta). Solutia ecuatiei omogene, care reprezinta miscarea libera a sistemului deoarece , caracterizeaza raspunsul liber al sistemului si se va nota cu . Solutia particulara care presupune permanenta fortei perturbatoare asupra sistemului, reprezinta miscarea fortata deoarece si va caracteriza raspunsul fortat al sistemului, fiind notat cu . In aceasta situatie reaspunsul total rezulta egal cu: .

Se constata ca in cazul actiunilor directe raspunsul se exprima prin masuri relativ, iar in cazul actiunilor indirecte raspunsul se exprima prin marimi indirecte.

Vibratiile fortate sunt acele vibratii care au loc pe durata de actiune a fortei perturbatoare . Din punct de vedere energetic sistemul dinamic primeste energie pe durata vibratiei. Vibratiile libere sunt acele vibratii care au loc dupa ce sursa a inceptat sa mai actioneze. Sistemul primeste energie doar initial dupa care vibreaza liber. Se pot distinge urmatoarele tipuri de vibratii:

• Vibratii libere fara amortizare      ;
• Vibratii libere cu amortizare      ;
• Vibratii fortate fara amortizare      ;
• Vibratii fortate cu amortizare      .

Valorea proprie corespunzatoare unui sistem dinamic cu 1 GLD se poate exprima prin: (i) perioada proprie de vibratie; (ii) frecventa proprie de vibratie; (iii) pulsatie proprie de vibratie.

Perioada proprie de vibratie, notata cu T si masurata in secunde, reprezinta perioada de timp in care sistemul dinamic efectueaza o oscilatie completa.

Frecventa proprie de vibratie, notata cu f si masurata in Hz, reprezinta numarul de oscilatii complete efectuate de sistemul dinamic intr-o secunda. Se poate scrie relatia: .

Pulsatia proprie de vibratie, notata cu w si masurata in rad/s, reprezinta numarul de oscilatii complete efectuate de sistemul dinamic in 2p secunde. Se poate scrie relatia: .

Vibratii libere fara amortizare ale sistemelor dinamice cu 1 GLD

Fortele care participa la echilibrul dinamic instantaneu in cazul unui sistem oscilant care efectueaza o vibratie libera sunt urmatoarele: (i) forta de inertie, ; (ii) forta elastica, .

Ecuatia miscarii devine de forma: , unde reprezinta pulsatia structurii. Ecuatia diferentiala anterioara are solutie unica in conditii initiale date. Se considera: deplasarea initiala si viteza initiala a sistemului dinamic. Se propune solutia:

; ;

Inlocuind solutia in ecuatia de miscare se obtine: sau

ecuatia caracteristica: sau cu solutia unde .

Deci solutia generala a ecuatiei de miscare este de forma:

Constantele de integrare si se determina din conditiile initiale ale miscarii:

Deci expresia deplasarilor dinamice instantanee ale structurii devine:

Fiecare termen al expresiei anterioare reprezinta o miscare armonica de aceeasi pulsatie w si amplitudini si respectiv . Cele doua miscari avand aceeasi directie pot fi compuse rezultand o miscare de forma:

unde A reprezinta amplitudinea miscarii si reprezinta faza initiala. Dezvoltand functia sin din relatia anterioara se poate scrie: , de unde prin indentificarea coeficientilor termenilor rezulta: si . Rezulta:

adica sau

adica sau

Din expresiile de mai sus se constata ca viteza este defazata cu p/2 inaintea deplasarii, iar acceleratia este defazata cu p/2 inaintea vitezei si deci cu p inaintea deplasarii. Se observa ca vibratia libera are un caracter permanent de durata infinita datorita ipotezei facute asupra absentei amortizarii. Pulsatia proprie se determina astfel:

dar

in relatia anterioara va fi exprimat in centimetri. In consecinta se va putea scrie:

sau

sau

reprezinta deplasarea statica (sageata) conventionala produsa de actiunea statica a incarcarii Q aplicata pe directia gradului de libertate dinamica al sistemului.

Determinarea prin calcul a valorii proprii exprimata prin , sau contribuie la identificarea sistemului din punct de vedere dinamic.