FENOMENUL INDUCTIEI ELECTROMAGNETICE

FENOMENUL INDUCTIEI ELECTROMAGNETICE

In lucrarea "Cercetari experimentale in electricitate" publicata de Michael Faraday in 1839 sunt descrise cateva experiente referitoare la producerea unor stari electrice prin actiunea campurilor magnetice.

Definirea relativ simpla a fenomenului inductiei electromagnetice consta in aparitia unui camp electric ca rezultat al variatiei campului magnetic.

In primele sale cercetari Faraday a fost contrariat constatand ca un curent stationar (curent continuu), care produce in jurul sau un camp magnetic de asemenea stationar, nu are nici un efect masurabil asupra unui circuit inchis din vecinatate. El a construit doua bobine infasurand doua conductoare izolate unul fata de celalalt. Una dintre bobine a fost conectata la bornele unui galvanometru, aparat folosit pentru a evidentia valorile relativ reduse ale intensitatii curentului electric. Atunci cand cealalta bobina era parcursa de un curent stationar, destul de intens, nu s-a constatat nici o deplasare a acului galvanometrului. In schimb, s-a constatat o deplasare de scurta durata la conectarea, respectiv la deconectarea bobinei, la sursa de curent constant. Faraday a constatat astfel ca apar (se induc) curenti intr-un circuit vecin, nu de catre un camp magnetic stationar, ci de catre un camp magnetic variabil.

1. Bara conductoare in miscare intr-un camp magnetic uniform

Figura 1.41 arata o bara metalica subtire care se deplaseaza cu viteza constanta intr-o directie care este perpendiculara atat pe orientarea sa, cat si pe liniile unui camp magnetic uniform de inductie magnetica , constant in timp. In absenta barei campul electric este nul in tot spatiul din vecinatatea acesteia.

Asupra sarcinilor electrice q de mare mobilitate ale barei conductoare se exercita forta Lorentz:

(1.77)

care va determina o stare de incarcare electrica diferita a celor doua regiuni extreme.

In stare stationara forta data de relatia (1.77) trebuie sa fie echilibrata in orice punct de o forta egala si de sens contrar. Aceasta poate proveni numai de la un camp electric E nenul in bara, camp care satisface relatia:

(1.78)

Se poate astfel afirma astfel ca in interiorul barei a aparut un camp electric de intensitate, care prin intermediul fortei , echilibreaza forta .

2. O spira dreptunghiulara in miscare intr-un camp magnetic neuniform

Fie spira dreptunghiulara din figura 1.42, care se departeaza cu viteza in lungul axei Oy de o bobina alimentata cu curent constant in timp.

In figura sunt reprezentate doua linii ale campului magnetic creat de bobina, care evidentiaza caracterul neuniform al acestui camp, respectiv valorile diferite ale inductiei magnetice B_1, pe latura stanga, respectiv B₂ pe latura din dreapta.

Forta data de relatia (1.77) asupra sarcinilor libere q din cele doua laturi ale spirei va avea valori diferite .

Daca presupunem campul magnetic uniform pe lungimea L a laturilor in discutie, integrala fortei ce actioneaza asupra purtatorilor liberi de sarcina in lungul conturului spirei are expresia:

(1.79)

Integrala (1.79) este lucrul mecanic efectuat de forta asupra sarcinii q la parcurgerea in intregime a buclei C.

Se defineste tensiunea electromotoare asociata conturului C ca fiind lucrul mecanic asupra unei sarcini unitate,

(1.80)

In cazul particular considerat rezulta:

(1.81)

Se extinde astfel definitia tensiunii electromotoare prezentata in paragraful referitor la campul electric imprimat, incluzand astfel orice influente care determina sarciniile libere sa circule in lungul unei traiectorii inchise.

Vom dovedi in continuare ca tensiunea electromotoare data de relatia (1.81) este egala cu viteza de schimbare a fluxului magnetic prin spira. Fluxul magnetic este integrala de suprafata a vectorului: unde S_C poate fi orice suprafata deschisa ce se sprijina pe conturul C. In figura 1.43 au fost reprezentate pozitii ale spirei la momentul de timp t si apoi la t+dt. In intervalul de timp elementar dt spira s-a deplasat in lungul axei x pe distanta vdt.

Fie S_C o suprafata plana care se sprijina pe spira. Referitor la modificarea fluxului magnetic prin bucla, acesta creste pe de o parte la dreapta cu valoarea si scade la stanga cu . Prin urmare, variatia fluxului prin spira in timpul dt este;

(1.83)

Comparand relatiile (1.81) si (1.83) rezulta:

(1.84)

Semnul (-) din relatia (1.84) evidentiaza proprietatea ca tensiunea electromotoare este egala cu viteza de scadere a fluxului magnetic prin spira.

O alta proprietate importanta a fenomenului inductiei electromagnetice se refera la sensul tensiunii electromotoare induse, respectiv legea lui Lenz. Conform relatiei (1.81) si inegalitatii B₁ > B_2, tensiunea electromotoare pe conturul C din figura 1.42 are valoare pozitiva, ceea ce inseamna ca sensul curentului prin spira generat de aceasta tensiune electromotoare este cel reprezentat prin linia curba din interiorul spirei. Fluxul magnetic asociat acestui curent indus are sensul axei Oz. Prin delasarea spirei in jurul axei Oy, Fig. 1.42, fluxul magnetic inductor (creat de bobina B) scade. Rezulta astfel proprietatea: curentul corespunzator tensiunii electromotoare induse ca urmare a fenomenului de inductie electromagnetica are un astfel de sens incat prin fluxul magnetic creat de acest curent, denumit flux de reactie, se opune variatiei fluxului magnetic inductor.

3. Tensiune electromotoare alternativa

O configuratie obisnuita in multe dispozitive electrotehnice o reprezinta o bobina in miscare de rotatie intr-un camp magnetic uniform, Fig. 1.44. Axa de rotatie este perpendiculara pe directia campului magnetic de inductie B. In pozitia reprezentata in figura, normala la planul bobinei, respectiv vectorul arie a spirei , face unghiul a cu vectorul .

Bobina de afla in miscare de rotatie uniforma cu viteza unghiulara w, ceea ce inseamna a = wt + j, unde j caracterizeaza pozitia bobinei la t = 0. Daca bobina are w spire, atunci fluxul magnetic prin aceasta are expresia:

Tensiunea electromotoare indusa in bobina are expresia:

(1.85)

care este o tensiunea electromotoare indusa cu variatie armonica in timp, sau o tensiune electromotoare alternativa.

4. Efecte asociate fenomenului de inductie electromagnetica

A. Repartizarea neuniforma a curentului alternativ in conductoare. Fie un un conductor cilindric de raza a, fig.1.45, parcurs de curentul alternativ:

`

unde I_m este valoarea maxima a curentului, w este pulsatia, respectiv este frecventa acestuia. Sa presupunem ca acest curent s-ar repartiza uniform pe sectiunea conductorului cu densitatea . Aplicand teorema lui Ampere pe conturul G_r , fig. 1.43, se obtine expresia intensitatii campului magnetic in lungul acestui contur:

T (1.87)

Acestui camp magnetic variabil in timp ii corespunde, referitor la suprafata interioara conturului G_z , fluxul magnetic:

Notand cu E(r), respectiv E + dE valorile intensitatii campului electric pe laturile verticale ale conturului G_z, prin aplicarea legii inductiei electromagnetice se obtine:

(1.88)

respectiv:

(1.89)

unde . Prin integrare se obtine solutia generala a ecuatiei (1.89):

(1.90)

Constanta de integrare se determina din conditia ca integrala densitatii curentului indus pe sectiunea transversala a conductorului sa fie nula, adica:

(1.91)

T

Rezulta expresia densitatii curentului indus:

1.92)

Se observa prin urmare ca valoarea rezultanta a densitatii de curent in conductor:

(1.93)

unde depinde de coordonata r. In plus, modul in care curentul alternativ se repartizeaza neuniform pe sectiunea conductorului depinde si de frecventa curentului si de proprietatile m si r ale materialului conductorului.

Deoarece intotdeauna densitatea de curent are valoarea maxima la suprafata conductorului si este minima in axa acestuia, fenomenul de repartizare neuniforma a curentului pe sectiunea conductorului este cunoscut sub denumirea de refulare a curentului in conductoarele parcurse de curent alternativ.

B. Curenti indusi in corpuri conductoare aflate in camp magnetic alternativ. S-a stabilit in subcapitolul A 3.2 ca in interiorul unei bobine infinit lungi exista un camp magnetic uniform avand inductia orientata in lungul axei. Atunci cand bobina este parcursa de curent alternativ, acest camp magnetic este si el alternativ. Conform legii inductiei electromagnetice campul magnetic este capabil sa induca un camp electric.

Sa presupunem ca in interiorul unui astfel de bobine denumita in tehnica inductor se introduce o bara conductoare cilindrica coaxiala, Fig. 1.46, care reprezinta indusul sistemului. Campul magnetic inductor asigura in raport cu suprafata cercului G_r fluxul magnetic variabil in timp:

Fig. 1.46 (1.94)

Conform fenomenului inductiei electromagnetice rezulta o tensiune electromotoare indusa asociata curentului G_r, care la randul sau determina un curent indus. Ca urmare a simetriei sistemului inductor-indus, liniile densitatii curentului indus vor fi circulare. In plus, cu cat raza r are o valoare mai mare, cu atat fluxul magnetic, tensiunea electromotoare indusa si densitatea curentului indus au o valoare mai mare.

Conform regulii lui Lenz, densitatea curentului indus are sens

invers in raport cu densitatea curentului din inductor, ceea ce face

ca inductia magnetica B_i corespunzatoare acestor curenti (campul

magnetic de reactie) sa aiba orientare opusa campului magnetic

inductor.

In figura 1.47 sunt reprezentate de sus in jos: sensul curentului in inductor, campul magnetic inductor B₀, sensul curentilor indusi, campul magnetic B_i creat de curentii indusi, campul magnetic rezlutant B₀ + B_i.

Daca presupunem ca razele sistemului tind catre infinit, atunci ne aflam, referitor la indus, in cazul configuratiei denumita semispatiu conductor, pe suprafata caruia exista un camp magnetic inductor cu orientare tangentiala, Fig. 1.48.

Conform celor precizate mai sus campul magnetic se atenueaza pe masura deplasarii in profunzimea semispatiului conductor. Densitatea curentului indus scade si ea pe masura departarii de suprafata x = 0. Expresiile care caracterizeaza aceste scaderi sunt:

(1.95)

Fig. 1.48

(1.96)

unde marimea, este un parametru specific denumit adancime de patrundere a campului electromagnetic in semispatiul conductor.

Se observa ca atenuarea celor doua marimi H, J_i este cu atat mai puternica, respectiv valoarea densitatii curentului indus la x = 0, este cu atat mare cu cat adancimea de patrundere d are o valoare mai redusa.

A 4.5. Autoinductie. Inductivitate proprie. Inductivitate mutuala

Atunci cand curentul i printr-o bobina se modifica, se modifica si fluxul F asociat acesteia. In consecinta, in circuitul bobinei apare datorita fenomenului inductiei electromagnetice o tensiune denumita tensiune electromotoare de autoinductie. Cum fluxul magnetic este proportional cu curentul,

(1.97)

constanta de proportionalitate fiind inductivitatea, uneori denumita inductivitatea proprie a bobinei, rezulta expresia tensiunii electromotoare de autoinductie:

(1.98)

Semnul (-) din expresiei (1.98) evidentiaza faptul ca tensiunea electromotoare este intotdeauna orientata astfel incat sa se opuna modificarii curentului (o alta exprimare a legii lui Lenz).

Fie doua bobine B₁ si B₂, Fig.1.49, situate la o distanta relativ redusa una fata de alta, astfel incat o parte semnificativa din fluxul produs la alimentarea uneia dintre ele sa parcurga cealalta bobina. Sa notam acest flux cu F₁₂, Fig. 1.49. Este evident ca atunci cand bobinele sunt imobile fluxul F₁₂ produs de bobina B₁, parcursa de curentul I₁ prin bobina B₂ este proportional cu curentul I₁.

Raportul:

(1.99)

caracterizeaza pozitia reciproca a celor doua bobine si se numeste inductivitate mutuala. Este evident ca daca curentul I₁ variaza in timp, in circuitul bobinei B₂ se induce tensiunea electromotoare:

(1.100)

Prin urmare, inductivitatea mutuala poate fi privita si ca marimea ce determina tensiunea electromotoare indusa intr-o bobina de catre fluxul magnetic inductor creat de o alta bobina cu care aceasta se afla in stare de cuplaj magnetic.

Daca bobina B₂ este parcursa de curentul I₂ si I₁ = 0 , se constata ca raportul:

(1.101)

are aceeasi valoare cu L₁₂: . Marimea , unde L₁, L₂ sunt inductivitatile proprii ale celor doua bobine, se numeste coeficientul de cuplaj magnetic al celor doua bobine. Acest coeficient ia valori in intervalul [1, 0], respectiv atunci cand k_m = 1 bobinele sunt perfect cuplate magnetic, iar atunci cand k_m = 0 bobinele nu sunt cuplate magnetic.

A 4.6. Curenti variabili intr-o bobina. Energia inmagazinata in camp magnetic

Fie circuitul din figura 1.50, in care se efectueaza urmatoarele doua experimente:

a) se alimenteaza la sursa de tensiune electromotoare continua U₀ circuitul caracterizat prin inductivitatea L si rezistenta R, prin inchiderea comutatorului K₁;

b) dupa atingerea regimului stationar caracterizat de curentul I₀ prin (R, L) se realizeaza simultan deschiderea comutatorului K₁ si inchiderea comutatorului K_2.

Experimentul a): Daca curentul i variaza cu rata , in bobina L va apare tensiunea electromotoare de autoinductie intr-un sens care sa se opuna variatiei curentului. Daca sensul pozitiv al curentului se considera acela pe care bateria U₀ tinde sa-l impuna in circuit, atunci tensiunea electromotoare rezultata in lungul conturului este . Aceasta tensiune electromotoare face ca curentul i sa parcurga rezistenta R, prin urmare:

(1.103)

In momentul initial curentul este nul in circuit, i(0) = 0. Cu aceasta conditie initiala, solutia ecuatiei diferentiale (1.103) este:

(1.104)

unde.

Se observa ca dupa un timp suficient de lung, curentul tinde spre valoarea asimptotica:

(1.105)

Experimentul b): La momentul t = 0, cand curentul prin bobina are valoarea i₁(0) = I₀, respectiv in bobina exista un camp magnetic, se indeparteaza bateria din circuit si se inchide K₂, Fig. 1.50. Tensiunea electromotoare de autoinductie este aceea care face sa circule in continuare curentul i₁ prin R, prin urmare:

(1.106)

Solutia acestei ecuatii diferentiale, cu conditia i₁(0) = I₀ este:

(1.107)

Reprezentarea grafica a functiilor i(t) si i₁(t) este efectuata in figura 1.51, in care este prezentata si semnificatia constantei de timp a circuitului.

In timpul procesului de stingere a curentului prin bobina in rezistenta R se dezvolta prin efect Joule energia:

(1.108)

Sursa acestei energii nu poate fi alta decat campul magnetic al bobinei. Prin urmare, energia inmagazinata in campul magnetic al unei bobine de inductivitate L, parcursa de curentul I, are expresia:

(1.109)

In cazul unei bobine ideale (infinit lunga) folosind relatiile:

si:

se obtine expresia energiei: .

Prin urmare, densitatea de volum a energiei campului magnetic are expresia:

A 4.7. Rezistoare, bobine si condensatoare parcurse de curent alternativ

In circuitele electrice de curent alternativ avem de-a face cu curenti si tensiuni care variaza armonic in timp fara ca valorile lor maxime sau eficace sa se modifice.

a) Circuit R-L alimentat de la o sursa cu tensiunea electromotoare , Fig. 1.52. Conform rationamentului prezentat in subcapitolul A 4.6, ecuatia satisfacuta de curentul i(t) in circuit este:

(1.111)

Fiind interesati de solutia alternativa stationara:

(1.112)

aceasta presupune evaluarea valorii maxime I_m a curentului si a fazei sale initiale j. Introducand expresia (1.112) in ecuatia (1.111) se obtine:

Identificand coeficientii lui si , rezulta relatiile:

sau: (1.113)

sau:

(1.114)

Cum:

rezulta:

(1.115)

Se observa urmatoarele:

- curentul atinge maximul ceva mai tarziu decat tensiunea electromotoare, respectiv ca curentul ramane in urma tensiunii;

- marimea are dimensiuni de rezistenta; ea se numeste reactanta inductiva;

- marimea are dimensiuni de rezistenta; ea se numeste impedanta a

circuitului R-L.

puterea instantanee debitata de sursa de tensiune electromotoare:

(1.116)

are valoarea medie. Marimea se numeste factor de putere al circuitului.

b) Circuit R-C alimentat cu tensiunea electromotoare , Fig.1.53. Conform relatiei (1.44) , tensiunea la bornele unui condensator se exprima in functie de curent prin expresia:

(1.117)

Prin urmare, curentul i(t) in circuit satisface ecuatia:

(1.118)

sau:

(1.119)

Procedand ca la punctul a) se obtine:

(1.120)

De aceasta data se evidentiaza urmatoarele

- curentul atinge maximul mai devreme decat tensiunea electromotoare, respectiv curentul este inaintea tensiunii;

- marimea se numeste reactanta capacitiva ;

- marimea se numeste impedanta a circuitului R-C.

c) Circuit R-L-C serie alimentat cu tensiunea electromotoare: , Fig. 1.54. Asemanarea rezultatelor pentru circuitul R-L si R-C sugereaza o anumita cale de a privi conexiunea serie L-C. Astfel, pentru , tensiunea la bornele bobinei este:

(1.121)

iar tensiunea la bornele condensatorului este:

(1.122)

Ca urmare, tensiunea pe ansamblul L-C serie este evident echivalent cu un element inductivitate L_e care satisface relatia:

(1.123)

Pentru o valoare w data, ansamblul L-C este evident echivalent de exemplu cu un singur element inductivitate L_e care satisface relatia:

(1.124)

Echivalenta (1.124) conduce la ideea ca relatia dintre curent si tensiune pentru pulsatia in circuitul serie R, L, C este aceeasi cu aceea in circuitul serie R, L_e. Ca urmare, in cazul circuitului serieR, L, C vom avea:

si: (1.126)

Marimea se numeste impedanta a circuitului serie R, L, C.

Se observa ca pentru valorile U_m, R, L, date, curentul I_m are cea mai mare valoare atunci cand:

respectiv pentru:

(1.127)

Frecventa se numeste frecventa de rezonanta a circuitului serie R, L, C, iar raportul se numeste factor de calitate al circuitului. Cu cat factorul de calitate al unui circuit are o valoare mai mare, cu atat valoarea maxima a curentului, Fig. 1.55, este mai mare.