Sisteme dinamice

1.1 Semnale si sisteme

Conceptul de sistem dinamic trebuie sa fie considerat in stransa legatura cu cel de semnal; intr-adevar un sistem dinamic apare ca o realitate fizica care 'transforma' unul sau mai multe semnale de intrare pentru a crea alte semnale la iesire.

In cadrul acestei lucrari, se va considera un semnal ca fiind o marime fizica a carui valoare depinde de variabila temporala t. Remarcam ca o functie u(t) constituie modelul matematic cel mai simplu pentru un semnal. In paragraful 2.6 se prezinta semnale simple, numite semnale canonice, utilizate de obicei in analiza sistemelor.

Pentru sistemele dinamice, "cauza" este reprezentata prin semnale de intrare, in timp ce semnalul de iesire reprezinta "efectul".

In cazul instalatiilor automatizate, un semnal de iesire este o marime dependenta care permite evaluarea evolutiei procesului reprezentand functionarea unei instalatii. Un semnal de intrare care corespunde fie unei intrari de comanda fie unei perturbatii. O intrare de comanda este o variabila independenta asupra careia se actioneaza pentru a determina evolutia iesirilor in scopul conducerii instalatiei. In schimb, o perturbatie este o variabila independenta care influenteaza marimile de iesire fara a tine seama de obiectivul conducerii.

Un sistem dinamic este cauzal daca verifica principiul cauzalitatii:

efectul nu trebuie sa preceada cauza

Astfel, un sistem dinamic cauzal este un sistem care nu raspunde inainte de a fi excitat. Sistemele dinamice existente (realizabile fizic) sunt in mod natural cauzale, dar, in functie de modelarea lor, aproximari prea grosiere pot sa le transforme in sisteme necauzale. Evolutia sistemului este considerata in timp, fapt pentru care se alege o origine t=0. In mod obisnuit, aceasta origine corespunde unei schimbari semnificative in intrarea de comanda. Cauzalitatea este atunci exprimata din punct de vedere matematic prin regula urmatoare:

Daca semnalele de intrare sunt nule pentru t<0,

atunci semnalele de iesire sunt nule pentru t<0.

Un sistem dinamic este cauzal daca verifica principiul cauzalitatii:

efectul nu trebuie sa preceada cauza

Astfel, un sistem dinamic cauzal este un sistem care nu raspunde inainte de a fi excitat. Sistemele dinamice existente (realizabile fizic) sunt in mod natural cauzale, dar, in functie de modelarea lor, aproximari prea grosiere pot sa le transforme in sisteme necauzale. Evolutia sistemului este considerata in timp, fapt pentru care se alege o origine t=0. In mod obisnuit, aceasta origine corespunde unei schimbari semnificative in intrarea de comanda. Cauzalitatea este atunci exprimata din punct de vedere matematic prin regula urmatoare:

Daca semnalele de intrare sunt nule pentru t<0,

atunci semnalele de iesire sunt nule pentru t<0.

In capitolele urmatoare, in scopul analizei sistemelor dinamice lineare continue, se vor considera numai semnale cauzale, adica semnale nule pentru t<0.

In vederea abordarii studiului sistemelor dinamice, este natural sa cautam modele matematice asociate unor clase de sisteme specifice. Principiul de baza utilizat in modelarea sistemelor dinamice consta in descrierea "transformarilor" suferite de semnalele de intrare pentru a obtine semnalele de iesire.

1.2 Definirea formala a unui sistem dinamic

Vom considera un sistem dinamic in forma generala, adica un sistem cu mai multe intrari si mai multe iesiri. Un astfel de sistem poarta numele de sistem multivariabil.

Elementele incluse in modelul uni sistem dinamic multivariabil sunt prezentate in continuare:

1. Variabila temporala

Variabila temporala t apartine multimii de momente de timp T considerata. In modelarea clasica a sistemelor se disting doua cazuri:

T Ì R pentru sistemele continue

T Ì Z pentru sistemele discrete.

2. Variabila de intrare sau de comanda (CAUZA)

Aceasta variabila grupeaza semnalele de intrare ale sistemului considerat, adica semnalele a caror evolutie este independenta de evolutia sistemului. Marimea de intrare (sau de comanda) este modelata cu ajutorul unei functii u(.) care, in general, este o functie vectoriala.

u(.) : T U

Marimile de intrare care sunt fizic aplicabile unui sistem formeaza clasa W a comenzilor admisibile:

W Ì

3. Variabila de iesire (EFECT)

Aceasta variabila grupeaza semnalele a caror evolutie este considerata ca dependenta de evolutia sistemului. Variabila de iesire este modelata cu ajutorul unei functii y(.) care, in general, este o functie vectoriala

y(.) : T Y

Marimile care pot fi fizic obtinute la iesirea unui sistem formeaza clasa G a iesirilor admisibile:

G Ì

4. Variabila de stare

Variabila de stare, sau mai simplu starea, este o marime x(t) interna sistemului, capabila sa memoreze istoria sistemului pana la momentul t. Variabila de stare apartine unui domeniu X numit spatiu de stare. In aceasta lucrare se va considera ca spatiul de stare este X=Rⁿ, sau n-dimensional. Evolutia variabilei de stare in timp genereaza traiectoria de stare (vezi fig. 1.1).

5. Functia de tranzitie a starilor

Caracterizarea "dependentei" intre variabila de iesire y si variabila de intrare u de-a lungul sistemului dinamic necesita prezenta, in modelul sistemului, a doua functii, asa cum sunt ilustrate in diagrama urmatoare:

Functia de tranzitie a starilor j, definita dupa cum urmeaza,

,

precizeaza starea sistemului la momentul t, datorata unei intrari de comanda u(.), considerand starea initiala x₀ la momentul t₀. Aceasta functie exprima intregul caracter dinamic al "cutiei negre" care reprezinta sistemul.

6. Functia de tranzitie a iesirii

Transferul, la momentul t, al starii curente la iesire este precizat de functia de tranzitie a iesirii h definita dupa cum urmeaza:

Pentru o clasa importanta de sisteme tehnice se poate defini un sistem dinamic in maniera urmatoare:

Definitia 1.1: Un sistem dinamic este un obiect matematic å definit printr-un octuplet S (T, U, W, Y, G, X, j h) ale carui elemente sunt legate prin sistemul axiomatic urmator:

1. TÌ R ; ( datorita relatiei de ordine totala £

W Ì cu urmatoarele proprietati:

2.1 W ¹ Æ ; (non - trivialitate dinamica)

2.2 proprietatea de inlantuire

Se numeste segment de intrare functia partiala:

.

Daca astfel incat

si

Figura 1.2 ilustreaza proprietatea de inlantuire:

G Ì G este clasa marimilor de iesire)

4. Functia de tranzitie a starilor , are urmatoarele proprietati :

4.1. orientabilitate : este definita in mod unic pentru t ³ t_o

4.2. consistenta :

4.3. cauzalitate : Daca avem doua segmente de intrare astfel incat:

,

atunci

Altfel spus, aceleasi cauze produc aceleasi efecte (fig. 1.3)

4.4 compozabilitate:

, si

Aceasta proprietate este ilustrata in figura 1.4.

5. Functia de tranzitie a iesirii,, este bine definita.

Exemple 1: Fie filtrul RC descris mai jos:

Putem scrie urmatoarele ecuatii:

unde q(t) este sarcina electrica a condensatorului care poate fi considerata ca o variabila de stare. Utilizand notatia

T=RC,

obtinem:

;

conditia initiala fiind definita prin :q(t_o)=q_o

Solutia acestor ecuatii care expliciteaza variabila de stare si iesirea sistemului este urmatoarea:

.

In consecinta, putem scrie:

.

1.3 Clasificarea sistemelor dinamice in reprezentare de stare

Mai multe criterii permit realizarea unei clasificari a sistemelor dinamice:

A. Dupa natura multimii momentelor de timp:

Daca T = R, este vorba de un sistem in timp continuu sau continuu, in vreme ce daca T = Z, se spune ca sistemul este discret. Studiul sistemelor discrete este legat de comanda proceselor prin calculator.

B. Dupa linearitatea functiei j si h

Consideram ca sistemul dinamic este linear daca conditiile urmatoare sunt satisfacute simultan:

a) U, W, Y, G, X sunt spatii lineare

b) este o functie lineara in x_o si u

c) h(t, x) este o functie lineara in x.

In general, conditia a) este satisfacuta pentru sistemele tehnice cu reprezentarea obisnuita a semnalelor. Pe de alta parte, pentru majoritatea sistemelor, conditiile b) si c) nu sunt indeplinite. In acest caz, este vorba de sisteme dinamice nelineare.

Deseori modelam sistemul intr-o maniera aproximativa, astfel incat functiile j si h sa fie lineare. Realizam, astfel, o linearizare implicita a sistemului.

C. Dupa netezimea traiectoriei de stare:

Ne plasam sub urmatoarele ipoteze matematice:

a) T=R

b) W si X sunt spatii topologice

c) si

este continua pe

S-a folosit notatia C (A B) care semnifica multimea de functii:

In acest caz, se arata ca sistemul dinamic poate fi scris sub forma:

(1.1)

Ipoteza c) exprima faptul ca traiectoria de stare este neteda. De aceea modelul (1.1) reprezinta un sistem dinamic neted. Evident, un sistem neted este continuu (T=R) dar, in general, cand vorbim de un sistem continuu, subintelegem un sistem neted, deoarece modelul (1.1) poseda proprietati matematice convenabile pentru a putea descrie sistemele dinamice.

D. Dupa dimensiunea spatiului de stare

Spunem ca un sistem dinamic este de dimensiune finita daca X este un spatiu linear si dimensiunea sa este finita.

Un sistem cu numar finit de stari satisface inegalitatea:

card(X) < card(N),

in vreme ce un sistem finit satisface urmatoarele conditii:

E. Dupa prezenta explicita a variabilei t in model:

Prezenta explicita a variabilei temporale t in model semnifica faptul ca parametrii dinamicii sale evolueaza in timp, adica pentru aceeasi stare initiala si acelasi semnal de intrare aplicat la momente de timp diferite, sistemul va raspunde diferit. Avem de-a face cu un sistem dinamic evolutiv (variant).

Atunci cand variabila temporala nu este prezenta explicit in modelul sistemului discret sau continuu, spunem ca sistemul este stationar (invariant). Este cazul cel mai des intalnit in modelarea sistemelor tehnice.

Pentru un sistem neted, invarianta temporala este reprezentata prin relatiile:

Astfel modelul unui sistem neted si invariant va fi descris prin:

(1.2)

Figura 1.5 ilustreaza raspunsul unui sistem invariant la acelasi semnal de intrare aplicat la momentele t₀ si t₀+t, pentru aceeasi stare initiala. Expresia z ^t reprezinta operatorul de intarziere cu t unitati de timp.

z ^tu(t)=u(t-t

Traiectoriile de stare sunt aceleasi si, in consecinta, conform cu ecuatia de iesire din (1.2), iesirile vor fi aceleasi. Ele sunt doar decalate pe axa timpului.

Pentru astfel de sisteme dinamice, valorile starii si iesirii depind de diferenta intre timpul curent si momentul de aplicare a comenzii u(.).

Concluzie

A fost prezentata modelarea pe stare a sistemelor dinamice, pentru ca permite o definire corecta si completa a acestora. In aceasta lucrare de baze ale sistemelor automate ne vom ocupa de sisteme in abordare functionala (sau intrare-iesire). Aceasta abordare stabileste direct legatura dintre semnalele de iesire si cele de intrare, fara a recurge la vectorul de stare, adica realizeaza o "compunere" a functiilor h si j

Mai mult, prezenta lucrare se va axa pe sistemele liniare continue invariante monovariable, al caror studiu permite analiza si sinteza sistemelor de reglare automata.