MISCAREA GENERALA A SOLIDULUI RIGID

MISCAREA GENERALA A SOLIDULUI RIGID

1. PARAMETRII DE POZITIE AI UNUI RIGID IN MISCARE GENERALA

Cunoasterea cinematicii unui rigid inseamna determinarea miscarii unui punct arbitrar P al sau (fig. 1). Pentru precizarea pozitiei punctului P in solid, se raporteaza acest punct la un reper

Oxyz solidar legat de rigid (deci mobil):

, (1)

in care x y z sunt constante si sunt functii de timp.

Prin introducerea acestui nou reper, studiul miscarii generale a solidului se reduce la studiul miscarii sistemului mobil in raport cu sistemul fix O₁ x₁ y₁ z₁ [(S) este reprezentat prin Oxyz], pozitia in spatiu - la un moment dat - a primului reper in raport cu al doilea fiind determinata prin: , (2)

precum si prin cele 9 cosinusuri directoare ale axelor reperului mobil in raport cu axele fixe, intre care exista 6 relatii (demo: in carte); ca urmare numai 3 dintre cele 9 cosinusuri sunt independente. Se obisnuieste ca in locul acestor 3 parametri (unghiuri) independenti sa se utilizeze alte 3 unghiuri, numite UNGHIURILE LUI EULER, care precizeaza direct orientarile axelor mobile fata de un nou reper Ox'y'z', cu axele paralele la axele reperului fix; intersectia planelor de coordonate Oxy si Ox'y' este ON, numita dreapta nodurilor, de versor (fig. 2).

Unghiurile lui Euler sunt:

- unghiul de precesie y = x'ON, format de ON cu Ox', reprezentand o rotire in jurul lui Oz' (ON se obtine rotind pe Ox' cu unghiuly in jurul lui Oz');

- unghiul de nutatie q = z'Oz, dintre Oz' si Oz, obtinut prin rotirea lui Oz' in jurul lui ON.

- unghiul de rotatie proprie j = xON, format de Ox cu ON, fiind o rotire in jurul lui Oz, a lui ON.

De la sistemul Ox'y'z' se poate ajunge la Oxyz prin 3 rotatii succesive, efectuate in ordinea: y (in jurul lui Oz'); q (ON); j (Oz).

Marimile x₀ , y₀ , z₀ , y q si j, care determina complet pozitia reperului mobil in raport cu cel

fix, poarta numele de parametri de pozitie ai rigidului. In timpul miscarii aceste marimi vor fi functii de timp:

x₀ = x₀ (t) ; y₀ = y₀ (t ) ; z₀ = z₀ (t) ; y y (t) q q (t) si j j (t)

numindu-se ecuatiile miscarii rigidului.

2. DEPLASARILE ELEMENTARE GENERALE ALE RIGIDULUI

Acestea sunt deplasari care se produc intre doua cadre consecutive ale filmului miscarii.

Variatiile elementare dx₀ , dy₀ , dz₀ , dy , dq , dj corespunzatoare variatiei dt a timpului in (4), permit definirea a doua marimi vectoriale numite deplasari elementare ale rigidului.

a)- Vectorul 'translatie elementara' a rigidului: d₁ = dx_{0 1} + dy₀₁ + dz_{0 1} ,(6)

obtinut prin diferentierea relatiei (2), unghiurile lui Euler ramanand constante, deci axele x y z raman paralele cu ele insele.

b)- Vectorul "rotatie elementara" (instantanee) a rigidului

Consideram acum coordonatele lui O constante si variaza numai unghiurile lui Euler (ca la un solid cu punct fix).

b.1)- Vectorii rotatii elementare corespunzatori variatiei numai unui unghi Euler (ex.: miscarea usii). In acest caz punctele rigidului descriu arce de cerc cuprinse in plane paralele la planul unghiului variabil si cu centrele situate pe normala in O la acest plan. Din acest motiv, variatia elementara a unghiului Euler poate fi reprezentata - conventional - printr-un VECTOR ROTATIE ELEMENTARA, avand ca suport normala definita mai sus si sensul ales dupa regula surubului.

Cazul I - Variaza numai unghiul de precesie y y (t) (fig. 3); axa Oz' ramane fixa in spatiu,

deci j const., q const.

Un punct arbitrar P descrie un cerc de raza CP (demo: in carte)

La variatia dy a unghiului de precesie, solidul executa o rotatie elementara in jurul axei Oz', determinata prin vectorul rotatie elementara de precesie: . (9)

Cazul II q q (t); dreapta nodurilor ramane fixa in spatiu

y = const.; j const.).

Analog se introduce vectorul rotatie elementara de nutatie:

. (10)

Cazul III j j (t); axa Oz ramane fixa in spatiu

y = const.; q const.).

Analog se defineste vectorul rotatie elementara proprie:

. (11)

Expresia variatiei d a vectorului de pozitie al unui punct arbitrar P() al rigidului, la variatia elementara a unui unghi Euler [notat cu c ('hi')] (fig. 4)

(demo: in carte)

Se regaseste faptul indicat de relatia (3.1.17) si anume ca deste coliniar cu (sau cu ).

b.2)- Vectorul rotatie elementara instantanee, corespunzator variatiei tuturor unghiurilor lui Euler.

TEOREMA: 'Doua rotatii elementare, determinate prin vectorii sipot fi inlocuite cu o rotatie elementara unica, avand vectorul rotatie (16)

(deci regula paralelogramului se aplica si in cazul rotatiilor elementare)''. Demo: in carte

Introducand vectorul rezultant: , (19)

expresiile (17 si 18) se pot scrie: , (20')

adica se poate considera ca rigidul ar efectua o singura rotatie elementara, determinata prin vectorul .

Aceasta concluzie se extinde imediat la un numar oarecare (determinat) de vectori rotatii elementare si - in particular - la cazul celor trei vectori rotatii elementare corespunzatoare variatiilor tuturor unghiurilor lui Euler:

, (21)

numindu-se vectorul rotatie elementara (instantanee) a rigidului, iar:

. (20)

3. PARAMETRI CINEMATICI AI MISCARII GENERALE A SOLIDULUI

a)- Viteza de translatie a rigidului: , (22)

avand in vedere relatia (2)

b)- Viteza unghiulara instantanee:

Din relatia (20) rezulta: , (24)

cu formele particulare: ,

numite formulele lui POISSON.

c)- Acceleratia de translatie: . (26)

d)- Acceleratia unghiulara instantanee: . (27)

4. DISTRIBUTIA VITEZELOR

Se deriveaza in raport cu timpul relatia evidenta (fig. 1):

₁ = _O + ; (30)

. (31)

Semnificatia termenilor din (31):

. (32)

Avand in vedere (32), (31) devine:

, (33)

relatie ilustrata in figura 8, in care este un vector perpendicular pe planul determinat de vectoriisi.

Se observa usor ca , unde

5. DISTRIBUTIA ACCELERATIILOR

Derivam in raport cu timpul relatia (33): , (34)

unde: ;

avand in vedere si (32), relatia (34) devine:

, (35)

unde s-a notat acceleratia tangentiala (36)

si aceleratia normala . (37)

Avand in vedere analogia relatiilor (36 si 32), se deseneaza analog cu , in locul vectoruluiutilizand, unde.

Vom demonstra ca acceleratia normala este orientata pe(normal din P la vectorul) (fig. 9):

Se observa ca , iar

(38)

6. PROPRIETATI ALE MISCARII

a) - Vectorul viteza unghiularaa unui solid in miscare generala este un vector liber (nu depinde de punctul ales in solid ca origine a sistemului de axe mobil). Demo: in carte.