Metode analitice de rezolvare a ecuatiei miscarii

Metode analitice de rezolvare a ecuatiei miscarii

In studiu se considera urmatoarele ipoteze simplificatoare

apar numai fenomene tranzitorii electromecanice;

caracteristica mecanica a masinii de actionare se aproximeaza cu o dreapta (masina de curent continuu MCC cu excitatie separata sau derivatie si masina asincrona MAS pentru alunecarea s < s_k )

A. Se cere determinarea caracteristicilor de variatie in timp a cuplului M = f₁ (t) si a vitezei W = f₂ (t) pentru variatia treapta, fie a cuplului rezistent M_R ( care are o valoare constanta), fie a cuplului motor M (care are o variatie linira). La masina asincrona s-a introdus alunecarea:

T W W (1 - s)       (1.45)

in care W = viteza de mers in gol ideal sau viteza sincrona. Indicele N in urma simbolului semnifica marimi nominale.

Fig.1.14. Caracteristica liniara cuplu - alunecare.

Conform figuriian terioare exista egalitatea rapoartelor:

(1.46)

Din expresia alunecarii se deduce derivata acceleratia unghiulara:

(1.47)

Prin inlocuire in ecuatia miscarii rezulta:

(1.48)

Se defineste constanta electromecanica de timp (1.49)

Ecuatia diferentiala este : (1.50)

Ecuatia caracteristica, in care s-a notat cu s variabila opertionala este:

s , cu solutia: s (1.51)

In consecinta cuplul electromagnetic este: (1.52)

Determinare constantelor A,B se face din conditiile initiale:

(M) = B = M_R

(M) = M_i = A + M_R       T A = M_i - M_R (1.53)

Solutia ecuatiei este: (1.54)

Fig.1.15.Variatia cuplului motor si a vitezei de rotatie la aplicarea unei trepte de sarcina

Conform relatiei de proportionalitate pentru caracteristica mecanica liniara se obtin expresii similare pentru alunecare si pentru viteza de rotatie

: (1.55)

(1.56)

Indicele i s-a atasat marimii initiale. Curbele M = f₁ (t), W = f₂ (t) sunt reprezentate in figura 1.15 pentru variatia brusca a sarcinii de la M_Ri la M_R in ipoteza M_R > M_Ri .

B. Daca cuplul rezistent M_R = f (t) este o functie periodica, studiul proceselor tranzitorii se face efectuand descompunerea in serie Fourier. Diagrama M_R (a) pentru un compresor cu piston a fost transformata intr-o diagrama in timp, M_R = f (t), in care t_c = durata ciclului, dupa care variatia se repeta .

Fig. 1.16. Ciclul de sarcina la un compresor si descompunerea in serie de armonici (A₁A₃).

Este necesar ca actionarea electrica sa fie astfel proiectata incat oscilatiile vitezei W in jurul valorii medii (W_m ) sa fie cat mai mici. Cuplul rezistent se descompune intr-o componenta constanta si una variabila.

M_R = M_Rm + M_Rv (1.57)

Componenta variabila este:

M_Rv = M_R1a sin (w t + j ) + M_R2a sin (w t + j )++ M_{Rn a} sin (w_n t + j_n

(1.58)

in care pulsatia fundamentalei este: ; iar a armonicilor superioare: w w w_n= n w . Defazajul armonicilor este: j j j_n.

Se considera i = 1, deci masina electrica este cuplata direct cu compresorul. Ecuatia fundamentala a miscarii in acest caz este:

(1.59)

Corespunzator scrierii cuplului masinii de actionare in valoare medie si variabila ( M = M_m + M_v ) alunecarea se descompune: s = s_m + s_v

Se stie ca : , care conform rapoartelor egale :

devine:

In regim stabilizat :M_m - M_Rm = 0, din care rezulta: s_m - s_Rm = 0.

In consecinta alunecarea variabila satisface relatia:

(1.60)

(1.61)

In continuare se analizeaza influenta armonicii de ordin x, cu amplitudinea A_x si defazajul j_x

(1.62)

Alunecarea variabila s_v trebuie sa aiba tot o variatie sinusoidala :

s_v = s_va sin (w_x t + j), care se inlocuieste in ecuatia anterioara.

s_va sin (w_x t + j) + T_M w_x s_va cos (w_x t + j) = s_Rxa sin w_x t (1.63)

Se trece ecuatia din marimi sinusoidale in fazori.

T (1.64)

Analog pentru cupluri pe portiunea liniara a caracteristicii mecanice relatia este similara:

(1.65)

Locul geometric al fazorului pentru w_x variabil este un cerc. Valori particulare sunt:

a) pentru w_x = 0 rezulta =

b) w_x rezulta = 0.

Fig.1.17. Variatia fazorului componentei variabile a cuplului.

Prin urmare rezulta daca w_x creste M_v scade. Interpretare fizica este ca daca w_x creste M_Rx este preluat tot mai mult de masa in miscare de rotatie, deci de cuplul inertial. Oscilatiile cuplului masinii electrice apar in reteaua de alimentare ca oscilatii de putere la care este importanta determinarea variatiei amplitudinii.

(1.66)

Fig. 1.18.Variatia amplitudinii raportate a oscilatiei cuplului motor.

Se reprezinta (fig. 1.18):

la T_m = constant si la w_x = constant.

Cazuri particulare: pt.:w_x = 0 rezulta M_va = M_Rxa

w_x rezulta M_va = 0

In proiectare se urmareste ca oscilatiile de putere absorbita de la retea, determinate de oscilatia de cuplu , sa fie limitate la o variabila prestabilita. Fiind cunoscute M_Rax si w_x se determina T_m pentru ca M_va sa fie limitat aprioric.

(1.67)

La actionari cu functionare periodica ( perioada este data de durata ciclului) se defineste gradul de neregularitate .

(1.68)

cu W_m W_mediu W_max W (1 + s_va); W_min W (1 - s_va )

Pentru armonica x se obtine :

(1.69)

C. Metode grafo-analitice de rezolvare a ecuatiei de miscare

Caracteristicile mecanice ale masinii de actionare si masinii de lucru au fost determinate prin masuratori. Se neglijeaza inertia electromagnetica, iar momentu de inertie J = constant

Din ecuatia miscarii,in care cu indicele r s-au notat valorile relative, se obtine:

(1.70)

Timpul normal de pornire este: este.Uzual T_p = 1 2 sec daca

J = J_MA .( momentul de inertie al rotorului masinii de actionare).

Daca se noteaza M_Jr = M_r - M_Rr ecuatia devine: (1.71)

Curbele W_r = f₁ (t) si M_r = f₂ (t) se obtin din relatia anterioara prin calcul grafo-analitic reprezentat in figurile urmatoare:

Fig.1.19. Calcul grafoanalitic pentru procese dinamice.

Mersul constructiei se face pe urmatoarele etape: din M_r = f₁ (W_r) se scade M_Rr = f₂ (W_r) si se obtine diferite M_Jr = f₃ (W_r). Se calculeaza :, iar suprafata hasurata exprima la scara valoarea integralei:

(1.72)

Efectuand calculul pentru diferite W_r se obtine W_r = f₁ (t_r).

Curba M_r = f₃ (t_r) se poate calcula din W_r = f₁ (t_r) si M_r = f₂ (W_r

D. Metode grafice:

Dupa regula proportiilor ecuatia miscarii se scrie sub forma de diferente finite: pe baza careia se face calculul din figura urmatoare. Din M = f₁ (W) si M_R = f₂ (W) se determina M_J = f₃ (W) = M - M_R. In functie de precizia dorita a calculului grafic se alege latimea de discretizare (incrementare) DW a fasiilor pe care se considera M_J = constant., si anume : M_J1 , M_J2 , , M_Jx. Se stabileste OP = J la o anumita scara si se masoara din 0 in jos segmente de dreapta M_J1 , , M_Jx unindu-se extremitatiile lor cu polul P. Cu razele obtinute se traseaza paralele in fasiile DW din cadranul I (W, t) si rezulta curba W (t) din linii frante.

Din D hasurate pentru M_Jk va rezulta: (1.73)

Scara timp rezulta dupa alegerea scarilor grafice pentru :W t_W , J - t_J , M -t_M

(1.74)

Fig.1.20. Calculul grafic al proceselor dinamice.

Aplicatia 1.5: Se se determine variatia vitezei si a cuplului motor pentru masina de actionare care antreneaza un foarfece cu lame inclinate pentru taiat tabla.

Rezolvare:

Forta de taiere F poate fi considerata pentru acelasi material aproximativ constanta.Schema cinematica a ML este reprezentata in fig.A.1.3. De la mecanismul biela - manivela se cunoaste:

M_R0 = cuplul de frecare la mers in gol

i_t = raportul total de transmisie

Fig.A.1.3. Schema cinematica a foarfecelui de taiat tabla.

Procesul activ (taiere tabla) are loc pentru unghiurile ce dau cursa activa: a < a < a . Se imparte suprafata cuprinsa intre M_R = f (a) si axa a in n fasii Da. Functie de precizia dorita a_h 20⁰ . procesele tranzitorii descrise de curbele:W = f₁ (t); M = f₂ (t), a = f₃ (t) care se reprezinta stiind corespondenta intre valorile intervalului x: M_mx , W_mx a_mx , t_mx, in care:

Aplicatia 1.6. O moara de carbuni dintr-o termocentrala este actionata de un motor asincron (MAS) cu datele nominale P = 200 kW; n = 490 rot/min, U = 6 kV, I = 20 A. Se cunosc caracteristicile mecanice ale motorului si masinii de lucru precum si momentul de inertie echivalent. J_e = 95 kg m² . Coeficientul de sarcina este l_M = 2,5. Sa se determine variatia turatiei la pornire.

a. b.

Fig. A.1.6. Pornirea unei mori de carbuni: a) caracteristica motorului si masinii de lucru; b)variatia vitezei de rotatie

Rezolvare

Cuplul nominal al MAS este:

M_K = l_M M_N = 2,5 * 4000 = 10000 Nm

Se imparte procesul de pornire intr-un numar cat mai mare de intervale,de exemplu 10 intervale ( pentru claritate au fost figurate numai sase).

Timpul de pornire pentru fiecare interval se calculeaza cu relatia:

Calculul cuplului dinamic pe un interval se face ca media aritmetica a valorilor de inceput si de sfarsit :

In cadrul unui interval variatia turatiei se considera liniara.

Observatie: In multe aplicatii metoda grafica nu da o precizie satisfacatoare. Exista aplicatii la care variatia turatiei in timp este prescrisa. Dezideratul se realizeaza prin reglare. De exemplu o crestere proportionala a turatiei impune e = constant, deci M_d = constant. Masinile de actionare trebuie sa dezvolte cuplul: M = M_R + M_d .

1.3. Caracteristicile mecanice ale masinilor de lucru

1.3.1.Generalitati

Pentru alegerea masinii de actionare este decisiva caracteristica mecanica a masinii, respectiv mecanismului de lucru W_R (M_R ). La mecanismele de ridicat cuplul rezistent este potential, iar caracteristicile mecanice se gasesc in toate cadranele (I, , IV). La multe alte mecanisme cuplul rezistent este dat de frecarea mecanica. La pornire trebuie invinsa frecarea statica, care este mai mare decat frecarea dinamica.

In sistemele de actionari electrice prezinta interes clasificarea masinilor de lucru in functie de caracteristica mecanica, care arata dependenta M_R = f (v, l, a). Regimul de functionare arata modul de variatie in timp a cuplului rezistent M_R .

Cuplul rezistent are doua componente: M_R = M_Rf + M_Ru , (1.75)

M_Rf = cuplul rezistent de frecare; M_Ru = cuplul rezistent util.

De exemplu: M_Rf M_ru pentru razboaie de tesut sau masini de fabricat hartie, respectiv M_Ru > M_Rf la mecanisme de ridicare-coborare unde este de tip potential.

Caracteristicile mecanice ale masini lor de lucru depind de forma de variatie a cuplului rezistent.

a) M_R = constant

b) M_R = f (v)

c) M_R = f (a = unghiul de rotatie al unei piese in miscare)

d) M_R = f (l = drumul parcurs)

e) M_R nu respecta o anumita lege de variatie .

Reprezentarea lor este redata in figura posterioara.

Fig.1.21. Caracteristici mecanice raportate ale masinilor de lucru

O expresie analitica a cupului rezistent este:

(1.76)

M_R0 = cuplul datorat frecarilor; a = -1, 2 5.

In cazurile frecvent intalnite in practica parametrul a poate lua valorile:

a) a = -1 rezulta (1.77)

Exemple de astfel de masini sunt strungurille unde la cupluri rezistente mari viteza de aschiere trebuie sa fie mica ( W mic) si viceversa; mecanismele de infasurat hartie, tabla, la care procesul reclama v, F_R = constante. Pentru ca diametrul creste, viteze de rotatie scade, deci si cuplul util creste.

Daca v, F_R = constant, ;

M_R W_R = F_R v = K = constant

Momentul rezistent este invers proportional cu viteza de rotatie.

Fig. 1.22.Mecanism de infasurat

Caracteristica mecanica de forma hiperbolica este reprezentata in fig. 1.22. pentru M_R0 = constant.

b) a = 0 rezulta M_R = M_RN = constant

c) a = 1 rezulta (1.79)

Exemple de astfel de masini sunt generatoarele de curent continuu GCC care debiteaza pe R_S = constant, calandrele si valturile din industria cauciucului.

d) a = 2 rezulta (1.80)

Exemple de astfel de masini sunt ventilatoare, pompele centrifuge, turbocompresoarele. Reprezentarea grafica a caracteristicii mecanice este o parabola cu ordonata la origine M_R0 .

Cuplul rezistent poate avea si alte forme de variatie:

e) M_R = f (a

De exemplu : (1.81)

pentru mecanismul biela-manivela intalnit la pompele si compresoarele cu piston, foarfecele de taiat tabla, razboaiele de tesut, presele mecanice.

M_R = f (a) pentru foarfece de taiat tabla este reprezentat in figura alaturata.

Fig.1.23.Caracteristica mecanica a unui foarfece .

Se deosebesc urmatorele componente ale cuplului: a) cuplul activ dat de expresia (1.81) pentru a I 180 ⁰ ) cursa activa; b) M_R0 = cuplul de mers in gol compus din frecari, care reprezinta sarcina pentru a I 360 ⁰) in semiperioada de mers in gol ;

f) cuplul rezistent depinde de spatiul parcurs M_R = f (l)

Exemple de astfel de mecanisme de lucru sunt: ascensoarele de persoane, ascensoarele de extractie miniera fara funie de egalizare-echilibrare si vehicule la care cuplul rezistent variaza datorita variatiei caii de rulare.

Fig.1.24. Schema unui ascensor minier

Cazuri particulare

f1) pentru l = 0 tebuie ridicata intreaga greutate a funiei B1

f2)daca colivia plina A1 si colivia goala A2 se gasesc la L/2, atunci B1 = B2

f3) cand A2 coboara G_B1 < G_B2 deci o parte din greutatea G_A1 este echilibrata de funie

Forta rezistenta datorata greutatii funiei este:

(1.82)

Pentru valori mari ale lui lungimii funiei L, forta rezistenta F_Rf este mai mare decat greutatea coliviei.

Aplicatia A 1.7.: Pentru o centrifuga pentru zahar se da variatia in timp a vitezei si momentului de inertie (figura A 1.7.). Sacina este de 500 Kg, iar cuplul rezistent in timpul unui ciclu este constant M_R = 120 Nm. Din cauza momentului de inertie mare puterea masinii de actionare este impusa de durata proceselor tranzitorii. Sa se determine diagrama de sarcina.

Rezolvare

Un ciclu se imparte in intervalele: pornire (Dt₁); incarcare-umplere (Dt₂); centrifugare (Dt₃+Dt₄+Dt₅), franare (Dt₆+Dt₇+Dt₈) si golire (Dt₉).

Variatia momentului de inertie consta dintr-o crestere puternica in timpul umplerii si o scadere pronuntata in timpul golirii. In interiorul unui interval formele de variatie au fost liniarizate. In acest caz pentru un interval viteza de rotatie si momentul de inertie sunt:

;

Daca in relatia care da cuplul dinamic se trece de la derivate la diferentiale pentru un interval se obtine:

In consecinta pentru determinarea variatiei cuplului dinamic trebuie cunoscute valorile initiale: (W , J₀ ) si rapoartele DW Dt, DJ/Dt.

Valorile initiale se citesc din figura:

W W = 0; 20; 20; 75; 135; 150; 75; 20; 9 rad/sec

J₁₀ ; ; J₉₀ = 210; 210; 360; 340; 300; 295; 295; 295; 295 kg m²

Se obtin variatiile:

DW DW = 20, 0, 55, 60, 15, -75, -55, -11, 0 rad/sec

DJ₁ ; ; DJ₉ = 0; 150; -20; -40; -5; 0; 0; 0; -85 kg m²

Figura A 1.7. Variatia vitezei unghiulare (W), momentului de inertie (J), cuplului rezistent (M_R) si cuplului dinamic (M_d) pentru o centrifuga.

; ; = 0; 10; 7; -0,4; -0,44; -0,07; 0; 0; 0; -17 kg m²/s

; ; = 3,33; 0; 1; 1; 0,66; 0,21; -1,5; -2,75; -1,1; 0,1 rad/s²

Cuplurile dinamice la inceputul si la sfarsitul intervalelor sunt:

M_d10 ; ; M_d90 = 700; 107; 392; 208; 58; -993; -811; -325; -8 Nm

M_d1 ; ; M_d9 = 700; 107; 359; 169; 57; -443; -811; -325; -8 Nm

Cuplul dezvoltat de masina de actionare este: M = M_d + M_R si se obtine prin translatarea diagramei cuplului dinamic cu M_R . S-a neglijat cuplul de frecare. Observatie: Centrifugele au factori de inertie mari (FI>20). Se recomanda aplicarea franarii cu recuperare pentru utilizarea rationala a energiei.

Aplicatia 1.8. Un ascensor pentru 10 persoane (sarcina utila este de Q = 750 kg) are o greutate Q_A = 300 kg si o contrasarcina Q_c = 670 kg. Se da randamentul rotii de frictiune h_R = 0,9 si al transmisiei h_T = 0,7 , momentul de inertie al motorului J_M = 0,25 kg m² al rotii de frictiune J_R = 20 kg m² cu diametrul D_R = 0,8 m. Se neglijeaza momentele de inertie ale transmisiei si cuplajului.Ciclul de functionare este format din: pornire, mers stationar, franare, mers lin, franare, oprire. Se dau acceleratiile la pornire: a_P = 0,4 m/s², franare: a_F = -0,8 m/s², viteza maxima: v_M = 1 m/s si viteza lina v_L = 0,15 m/s. Timpul de mers lin este de t_L = 1s. Spatiul dintre etaje este de H = 3,5 m. Raportul de transmisie: i = 40.

Se cere diagrama de incarcare a masinii de actionare.

Rezolvare:

a) La pornire sensul energiei este de la masina de actionare la masina de lucru. Cuplul rezistent este:

Cuplul dinamic este:

b) La franare sensul energiei este de la masina de lucru la masina de actionare.

a. Miscarea uniforma

Sarcina totala are greutatea:

F_R = Q_R g cu Q_R = Q_u + Q_A - Q_C = 750 + 300 - 670 = 380 kg

F_R = 380 9,81 = 3727,8 N

cu W W_R i

Cuplul rezistent la pornire este:

Cuplul dinamic este:

b) Franare:

Fig. A.1.8. Graficul cuplurilor,

Cuplul rezistent si cuplul dinamic sunt:

Timpii corespunzatori miscarilor uniforme se stabilesc similar ca in aplicatia A 1.1. Graficul vitezei, spatiului si al cuplurilor pentru lift la parcurgerea distantei dintre doua etaje este desenat in figura A 1.8.

1.4. Organe de transmisie

1.4.1. Alegerea raportului de transmisie

Transmisii in sistemele de actionari electrice sunt: angrenaje cu roti dintate, cu melc, transmisii cu lant, curele, cuplaje mecanice si electrice.

Alegerea raportului de transmisie si a organelor de transmisie dintre masina de actionare si masina de lucru este corelata cu viteza nomonala (W_N ). La o anumita putere nominala (P_N ) data W_N influenteaza direct gabaritul, parametrii energetici, deci constructia si costul sistemelor de actionare electrica (SAE). Caracteristicile orietative ale unor transmisii uzuale sunt prezentate in tabelul 1.2.

Tab.1.2.Caracteristcile elementelor de transmisie.

La alegerea unui sistem de actionare electric un criteriu important este domeniul de modificare al turatiei (g). Pentru conversia miscarii de rotatie in translatie si viceversa se utilizeaza urmatoarele mecanisme de transmisie: biela-manivela, roti cu funie, trolii, valturi, role, roti, arbori cotiti, fusuri. Cea mai simpla si sigura este cuplarea directa. De obicei viteza motorului este mai mare decat viteza mecanismului de lucru (W_N > W_LN ) La masina de actionare cu cat W_N este mai mic cu atat gabaritul si greutatea sunt mai mari, iar h si cos j sunt mai mici. Criteriile de alegere a variantei de actionare:

- cu masina de actionare de W mic fara reductor (R) sau cu R cu numar mic de trepte;

- cu masina de actionare de W mare cu reductor (R).

La acelasi volum puterea specifica instalata pe reductor este de 10 ori mai mare decat la masina de actionare.

In concluzie utilizarea reductorului (R) ofera avantaje in sistemul de actionare electric.

La actionarea cu masina de lucru cu W_LN > 3000 rpm in locul multiplicatorului de turatie se prefera alimentarea MAS cu f_N > 50 Hz. Datele transmisiei intr-un sistem de actionare electric sunt : i, J_e , h

Transmisiile sunt: - rigide: de ex. angrenaje cu roti dintate

- elastice: de ex. curele, ambreiaje, cuplaje cu alunecare.

Raportul de transmisie total: pentru o transmisie rigida cu i₁ i_n rapoarte de transmisie partiale ale perechilor de roti dintate este:

La transmisiile elastice se defineste pierderea de viteza relativa (alunecarea)

(1.83)

in care: W ' = viteza unghiulara a arborelui condus

W = viteza unghiulara a motorului, care coincide cu viteza arborelui condus la o transmisie rigida.

Raportul de transmisie la o transmisie elastica este:

(1.84)

Conditiile de optimizare: a transmisiei impune alegerea raportului de transmisie (i) cu impunerea anumitor conditi. De exemplu: sa se determine i

in conditia unei durate minime a proceselor tranzitorii. Ecuatia miscarii la

arborele masinii de lucru este:

(1.85)

Se considera valabile urmatoarele ipoteze simplificatoare: h 1 si se considera M, M_RL , J, J_L constante in timpul pornirii si franarii.

(1.86)

Valoarea lui i pentru care acceleratia este maxima se obtine prin derivare:

(1.87)

Se obtine ecuatia de gradul doi:

Solutiile sunt:

(1.87)

Pentru pornire: (1.88)

La franare cuplul masinii de actionare isi schimba semnul:

La pornirea sau franarea in gol: i₀ = (1.89)

Acceleratia unghiulara maxima se obtine inlocuind i₀ in expresia lui e_L

T

(1.90)

(1.91)

Expresia acceleratiei unghiulare se conserva pentru M_RL = 0

Raportul intre e_Lpornire si e_Lmax este:

(1.91)

Reprezentarea grafica a raportului g = f (i) da o familie de curbe functie de parametrii (M_RL/M) si (J_L/J), din care se trag concluzii referitoare la optimizarea alegerii raportului de transmisie la o actionare electrica. Daca M si M_RL constant relatiiile de calcul se complica. La alegerea raportului de transmisie (i) se tine cont si de limitele impuse de rezistenta mecanica a organelor in miscare, aflate in componenta lantului cinematic al sistemului de actionare electric.

Aplicatia 1.9. La un sistem de actionare electric cu MAS prin modificarea tensiunii se obtine o gama de turatie g = 1 : 0,7. Cum se manifesta aceasta asupra puterii instalate la o pompa cu pistoane, respectiv la o pompa de circulatie pentru o instalatie.

Rezolvare

a) La pompa cu pistoane exista relatiile:

M_R = K; P_R = K W_R = K W_{R 0,7} = 0,7 K W_RN = 0,7 P_RN .

b) La pompa de circulatie (pentru instalatii) exista relatiile:

M_R K W_R ; P_R K W_R = 0,7³ K W_{R N} = 0,34 P_RN

Aplicatia 1-10. Se da un motor de actionare care are cuplul maxim de pornire M_pm= 1000 Nm si antreneaza o masina de lucru cu cuplul rezistent la pornire: M_pR= 800 Nm. Momentele de inertie sunt: J_m= 0,04 kg.m² ; J_R = 8 kg.m². Acceleratia unghiulara la pornire impusa de procesul tehnologic este dW/dt = 500 rad/s. Sa se determine raportul de transmisie al reductorului cu roti dintate astfel incat pierderile de energie in rotorul motorului sa fie minime pe durata unui ciclu (3t₀). Se da in mod grafic diagrama de sarcina (fig.A.1.10)

Rezolvare

Cuplul dezvoltat de motor intr-un ciclu are valorile : la pornire M₁; in mers stationare M₂ ; la franare M₃. Relatiile de calcul sunt: